Hva menes med at 1+1 ikke er lik 2?

[AnaXyd]

Gratulerer..

[Captn Jack Yarr'ow !]

For de som har DES, så kalles det Boolsk Algebra

[DaddyYankee]

Men jeg har en oppgave som dere kan prøve å løse (dem som kan):

 

3 hus skal males av to malere, en malemester og en malelærling.

Malemesteren er rask og maler det ene huset på 3 timer, mens lærlingen trenger 5 timer på det andre huset.

 

Hvor lang tid bruker dem hvis dem maler det siste huset sammen???

 

(Hint: Der er ikke 3 timer + 5 timer...hehe)

 

Tar det ikke flere dager å male et hus??

 

4 timer ? Hvis de tar halvparten hver for seg?

[nercix]

Viss husene er like bør det vel være mer i retning av 1 time og 56 minutt, altså omtrent 2 timer... Men i praksis vil det ikke stemme ....

[Imsvale]

Oppgaven kan tolkes på flere måter. Jeg sikter meg inn på to, selv om det er blitt sagt at den første her er den riktige:

 

6:52:30 (6,875 t) totalt hvis mesteren venter slik at de tar hele det siste huset sammen. Det gir 1:52:30 (1,875 t) totalt på det siste huset.

5:37:30 (5,625 t) totalt hvis mesteren går rett på det siste huset etter sitt hus, og lærlingen hjelper til først etter han er ferdig med sitt (da er det siste huset allerede 2/3 ferdigmalt).

 

 

En litt mer utfyllende forklaring enn de sammentrykte tallene som er å finne tidligere i tråden. Det går an å se seg blind på mindre.

 

Mesteren maler hus med hastighet 1/3 hus/t. Lærlingen har hastighet 1/5 hus/t.

 

3 hus skal males med total hastighet:

1/3 + 1/5 = 5/15 + 3/15 = 8/15

 

Av s = vt får vi mengde = hastighet∙tid => tid = mengde/hastighet

 

Mesteren venter ikke:

 

3 hus/(8/15 hus/t) = 5,625 t = 5 t 37 min 30 s

 

Mesteren venter (vi ignorerer mesterens hus fordi han tar en pause etter sitt og bruker i praksis like lang tid som lærlingen):

 

1 hus/(1/5 hus/t) + 1 hus/(8/15 hus/t) = 6,875 t = 6 t 52 min 30 s

 

 

[SeaLion]

There are only 10 kinds of people in the world. Those who understand binary and those who don't.

There are only 2 kinds of people in the world: Those who understand binary and those who get laid.

Det er bare tre typer mennesker i verden, de som kan telle, og de som ikke kan ...

[Captn Jack Yarr'ow !]

There are only 10 kinds of people in the world. Those who understand binary and those who don't.

There are only 2 kinds of people in the world: Those who understand binary and those who get laid.

Det er bare tre typer mennesker i verden, de som kan telle, og de som ikke kan ...

 

Kan tydeligvis telle jeg da, siden det ikke er tre?

[laohu]

haha, huffda, her er det mye forvirring ute og går. Ikke rart, siden de færreste vet hva et matematisk bevis er for noe eller hva det ser ut som. Det eksisterer ingen "uenighet blant matematikere" rund peanoaksiomene. Spørsmålet som ble stilt har null og niks med avrundinger å gjøre.

 

Man kan bevise at 1+1 = 2. Men hva er et matematisk bevis?

Kort fortalt er det en matematisk "forklaring" på hvorfor et gitt resultat stemmer. En påstand som er bevist matematisk kalles et "teorem" (Vel, enkelte ganger kalles de og "lemmaer" eller et "korollarer." Kjært barn har mange navn.) Det Pythagoreiske teoremet er et eksempel på et slikt "resultat." Matematikken bygger på at man bruker tidligere beviste teoremer til å bevise nye matematiske teoremer.

 

Her er så forvirringen oppstår. Hvis teoremer bygger på tidligere teoremer, hvor starter det hele? Det må jo være noen "første teoremer"? Og dette stemmer - de kalles aksiomer. Dette er påstander vi aksepterer som sanne og som vi bygger vår matematikk på. De kan ikke bevises, de aksepteres bare. Vi bruker så disse aksiomene til å lage de første teoremene, vi bruker disse teoremene til å lage nye teoremer, osv, osv.

 

I Geometrien bruker man de følgende aksiomene:

1. Et unikt linjestykke kan bli tegnet mellom to punkter

2. Et hvert linjestykke kan forlenges til en (uendelig) linje

3. Hvis du har et linjestykke kan du lage en sirkel med ett endepunkt som senter, der linjestykket er radius i sirkelen.

4. En rett vinkel er en vinkel skapt mellom to linjestykker slik at vinklene på hver side av møtepunktet er like store. Alle rette vinkler er nøyaktig like store.

5. To linjer som ikke er parallelle vil møtes i et punkt.

 

Hvis vi godtar disse aksiomene følger det at gradene i en trekant summer til 180. Alt annet du har lært om geometri følger også som en logisk konsekvens!

 

Her er det mange stiller spørsmålet: "Men hva hvis aksiomene er feil? Hvordan sikrer vi oss mot det."

Det finnes ikke noe som heter "feil aksiomer" - med ett unntak: dersom aksiomene motsier hverandre! Altså, hvis du kan bevise både at en påstand stemmer og ikke stemmer med de samme aksiomene, er noe galt. Ellers så er alt helt i orden. I et hvert univers der de 5 påstandene over stemmer, vil all geometrien også stemme med resultatene vi har utledet. Hvis det viser seg at i vårt univers møtes linjer som ikke er parallelle i 2 punkter, javel! Geometrien over stemmer alikevel i et "teoretisk univers." Du kan gjerne forandre aksiomene - da ender du opp med en ny form for matematikk som beskriver en annen type "univers." Dette har blitt gjort, og resultatet er såkalt ikke-Euklidisk geometri.

 

Hvilke aksiomer er det som brukes for å vise at 1+1=2?

 

Man bygger matematikken på konseptet "mengde." Hvis du vil lære mer om hva en mengde er ("set" på Engelsk) finnes det mye på nett. Jeg presenterer her aksiomene som leder opp til vår matematikk:

 

- To mengder er like hvis og bare hvis de inneholder de samme elementene

- Gitt en mengde A kan du lage en ny mengde B der elementene i B er de elementene i A en gitt påstand stemmer for (Hva som er en gyldig matematisk påstand spesifiseres også nøyaktig. Man beskriver hva ord som "og", "ikke", "hvis X så Y" osv. betyr, og hvilke påstander som er gyldige).

- Gitt to mengder, finnes det en tredje mengde som inneholder de forrige to.

- Gitt en samling med mengder, finnes den en mengde som inneholder elementene i de forrige mengdene

 

Dete likner nok ikke på matematikk du kjenner i det hele tatt. Ikke rart. For det er dette man bruker til å konstruere tallene, og kontruksjonen av tallsystemet er det få som kjenner til. Der er dette det originale spørsmålet retter seg mot. Hva bygger påstanden "1+1=2" på? Jeg skal veldig, veldig kjapt konstruere tallene her, uten å gå i dybden. Man godtar aksiomene presentert over, og sier:

 

0 er den første mengden du starter med. Neste tall er mengden som inneholder alle de forrige tallene. Dermed:

1 = {0}

2 = {0, 1} = {0, {0}}

3 = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0,{0}} }

4 = {0, 1, 2, 3} = ...

osv osv.

 

Og slik kan du fortsette å konstruere nye tall. Når du konstruerer et nytt tall kalles dette tallet suksessoren til forrige tall. 4 er suksessoren til 3, 5 suksessoren til 4. Pluss defineres, kort forklart, slik: Hvis du plusser m og n, (m+n), se på hvilke tall som finnes inni m. Lag en ny suksessor til n for hvert tall du finner inni m. Tallet du ender opp med til slutt er resultatet av plussingen.

 

Ved å bruke denne definisjonen av pluss kan man vise alle egenskaper som gjelder. at a + b = b + a, at (a + b) + c = a + (b + c), osv. Og her er svaret på spørsmålet! Slik er nemlig pluss definert! Gitt de forrige aksiomene og definisjonen av pluss, har vi at 1 + 1 = 2

 

Det er selvsagt helt tilfeldig at symbolene er som de er. Hvis vi hadde blitt enige om å kalle {0, {0}} for 7, så hadde 1+1 = 7. Hadde vi kalt {0, {0}} for Bjarne, hadde 1+1=Bjarne.

 

Pluss er definer på en slik måte at det skal korrespondere med det vi har erfart når vi putter epler i en kurv - men mens man i matematikken kan si med hundre prosent sikkerhet at 500 000 + 1 er 500 001 fra måten pluss er definert, vet man ikke om der er slik at dersom man teller 500 000 i en kurv og ett eple i en annen, og deretter putter eplene i samme kurv kan finne 500 001 epler. Om dette er sant for universet vårt vet vi bare dersom vi prøver! Det er nok sannsynligvis slik, men det kan man ikke vite med sikkerhet. Matematikken er uansett på trygg grunn, siden matematikk bare bryr seg med å utlede resultatene som følger hvis vi godtar de gitte aksiomene.

 

Fra tallene vi har konstruert over kan man konstruere negative tall ved hjelp av noe som heter ekvivalensklasser. Fra dette kan man lage en ny type ekvivalensklasse som definerer alle rasjonelle tall. Derifra bruker man dedekindkutt til å skape de reelle tallene. Jeg bare slenger ut begrepene, så du kan slå dem opp senere hvis du er interessert

 

- Hilsen matematikkstudent

Endret 30. mars 2009 av laohu

[sindrefs]

1+1=11

[Te'om]

Hvis vi godtar disse aksiomene følger det at gradene i en trekant summer til 180.

Vil vi ikke være avhengig av ett til aksiom for å kunne si dette, nemlig at en sirkel er delt i 360 grader?

 

Ellers en fin nok gjennomgang av aksiom/teoremsystemet.

[laohu]

Hvis vi godtar disse aksiomene følger det at gradene i en trekant summer til 180.

Vil vi ikke være avhengig av ett til aksiom for å kunne si dette, nemlig at en sirkel er delt i 360 grader?

 

Ellers en fin nok gjennomgang av aksiom/teoremsystemet.

 

Du har rett, det kreves en ny definisjon, men du er ikke avhengig av et nytt aksiom. Matematikken er helt uforandret om du finner på å si at det er 360 grader, 2009 laohu-grader eller 2Pi radianer i en sirkel. Det er derfor addisjonsfunksjonen ikke er listet blant aksiomene. Eksistensen av addisjonsfunksjonen bygger egentlig på spesifikasjonsaksiomet. Du kjenner antakeligvis til definisjonen av en funksjon fra en mengde A til en mengde B som en delmengde av det kartesiske produktet AxB som oppfølger visse kriterer? Det er her man trenger spesifikasjonsaksiomet. Addisjon er den delmengden av (N x N) x N som tilfredsstiller beskrivelsen over.

 

Siden den eneste vinkelen som er "unik" ifølge aksiomene er den rette vinkelen, tror det er denne man tilordner verdien 90. Men jeg skal ikke si dette for sikkert, jeg har ikke studert geometri i dybden.

Endret 29. mars 2009 av laohu

[laohu]

--------

Endret 29. mars 2009 av laohu