Hjelp meg å forstå funksjonseksempel

[karamasov]

Hei.

 

Kom nettopp over et eksempel i 3MZ-boka jeg ikke forstår. Eksempelet omhandler en bakteriekoloni, og veksten er gitt ved:

 

N(t) = -10t^3 + 120t^2 + 700t + 1000

 

I eksempelet er målet å vise meg hvordan jeg finner ut når bakterieveksten er raskest, og hvor mye den vokser da. For å gjøre dette må jeg først derivere:

 

N'(t) = -30t^2 + 240t +700

 

Nå har jeg funnet vekstfarten. Siden jeg ønsker å vite akkurat når kolonien vokser raskest, deriverer jeg igjen:

 

N''(t) = 60t + 240

 

Nå skal denne dobbeltderiverte funksjonen settes inn i et fortegnsskjema, og jeg skal finne ut ved hvilken X-verdi kolonien vokser raskest. HER kommer problemet mitt. I boka står 4 oppført som X-verdi i fortegnsskjemaet. Jeg skjønner ikke hvorfor! Hvor får de 4 fra? Løsningen deres er jo korrekt. Det er 4 som er X-verdien med høyest vekst i bakteriekolonien, men tallet er ikke nevnt før i oppgaven, og jeg forstår ikke hvordan de får frem tallet. Jeg har laget en kopi av fortegnsskjemaet fra boka i Paint, og lagt filen ved i tråden.

 

Håper dere kan hjelpe meg. Dette skal være ganske enkelt, med tanke på at det er på 3MZ-nivå.

[Kuffe]

60t+240=0

60t=-240

t=-4

[karamasov]

Tusen takk, Kuffe. Nå forstår jeg. Jeg må sette den andrederiverte lik 0 for å finne verdien.

[bellad76]

Du har gjort en liten feil når du har skrevet opp den andrederiverte.

N''(t) = 60t + 240 har du skrevet, men det skal være N''(t) = -60t + 240.

Settes N''(t) lik 0 får du da t=4.

[karamasov]

Ja, det så jeg nå. Takk, bellad.

 

Jeg har forresten et spørsmål til, en lignende funksjonsoppgave. Håper dere kan hjelpe meg. Oppgaven ser slik ut:

 

En bedrift produserer hyller, og når de lager x enheter per dag, er kostnaden K(x) i kroner gitt ved:

 

K(x) = 0,2x^2 + 60x + 4000

 

De selger hyllene for 120 kroner per stykk.

 

OPPGAVESPØRSMÅL: Hva er den minste daglige produksjonsmengden som gir dekning for kostnaden?

 

Jeg forstår ikke helt hvordan jeg skal gjøre dette. Jeg kan jo ikke prøve meg frem til jeg treffer riktig tall. I fasiten står det i hvertfall at svaret er 100 enheter.

Endret 21. april 2008 av Black Adder

[Kuffe]

Du har gjort en liten feil når du har skrevet opp den andrederiverte.

N''(t) = 60t + 240 har du skrevet, men det skal være N''(t) = -60t + 240.

Settes N''(t) lik 0 får du da t=4.

Selvfølgelig,vi ser også at grafen synker når t>4

[bellad76]

En bedrift produserer hyller, og når de lager x enheter per dag, er kostnaden K(x) i kroner gitt ved:

 

K(x) = 0,2x^2 + 60x + 4000

 

De selger hyllene for 120 kroner per stykk.

 

OPPGAVESPØRSMÅL: Hva er den minste daglige produksjonsmengden som gir dekning for kostnaden?

 

Jeg forstår ikke helt hvordan jeg skal gjøre dette. Jeg kan jo ikke prøve meg frem til jeg treffer riktig tall. I fasiten står det i hvertfall at svaret er 100 enheter.

 

Sett kostnad lik inntekt for å finne ut når kostnad er lik inntekt:

 

0,2x^2 + 60x + 4000 = 120x

0,2x^2 - 60x + 4000 = 0, ved andregradsformelen får du x = 100 og x = 200, og siden x = 100 er minst er dét svaret du er ute etter.

Endret 21. april 2008 av bellad76

[karamasov]

Ok. Tusen takk igjen!

[karamasov]

Jeg tar èn til. Blir litt unødvendig å lage en ny tråd for hvert problem jeg har.

 

Lenge siden jeg har hatt derivasjon. Hvordan deriverer jeg denne?

 

f(x) 24000 + 200x - 4500 : x + 5

 

Kolon er brøkstrek.

Endret 21. april 2008 av Black Adder

[K..]

Her bruker du kvotientregelen. Om du skal derivere en brøk u/v er det lik:

 

f(x) = u/v

 

f'(x) = (u'v - uv')/v^2

[karamasov]

Tusen takk, Knut Erik.

 

Jeg har enda et spørsmål;

 

Jeg har en funksjon

 

f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x

 

Denne funksjonen skal jeg finne topp- og bunnpunkt på.

 

Derfor deriverer jeg for å finne ut når grafen stiger og synker.

 

f'(x) = -6x^2 + 6x + 12

 

Nå er jeg klar for å sette funksjonen inn i fortegnsskjemaet. Men hvordan finner jeg utifra dette ut hvilke punkter jeg skal sette på x-linja i skjemaet? Jeg klarer enda ikke å forstå dette.

 

Tusen takk for hjelpen, alle sammen!

 

EDIT: Der fant jeg det ut! Jeg bare løser funksjonen -6x^2+6x + 12 som en annengradsligning, og finner ut at x1= -1 v x2= 2

 

Men takk fordet.

Endret 24. april 2008 av Black Adder

[karamasov]

Æsj, jeg lurer på en hel del til. Jeg er ikke noe god på dette. Og dette kommer jeg ikke til å finne ut av på egen hånd før dere får svart, slik som den forrige. Lover! I matteboka er det to eksempler på en funksjon i fortegnsskjema. Jeg har nok en gang tegnet fortegnsskjemaene i Paint, slik at dere kan se det jeg ser.

 

Eksempel 1:

(TEGNING 1) Funksjonen er som følger:

f'(x) = -6x^2 + 6x + 12

Denne funksjonen står det at jeg må faktorisere for å kunne finne ut topp- og bunnpunkt. Hvorfor? Dermed blir funksjonen som følger:

f'(x) = -6 (x+1) (x-2)

Dermed blir fortegnsskjemaet som dere ser i tegning 1.

 

Eksempel 2:

(TEGNING 2) Funksjonen er som følger:

f'(x) = -3x^2 + 6x

Dermed blir fortegnsskjemaet som dere ser i tegning 2. Her står det ikke noe om at jeg må faktorisere for at jeg skal kunne finne topp- og bunnpunkt. Hvorfor?

 

Mitt hovedspørsmål er: Se på fortegnsskjemaene. Hvorfor må jeg skrive alle leddene i funksjonen inn separat under x-linjen i fortegnsskjema 1, når jeg bare kan skrive f'(x) inn i fortegnsskjema 2?

 

Bare spør, om dere ikke forstår forklaringen min, så skal jeg prøve å gjøre det litt klarere.

Endret 24. april 2008 av Black Adder

[karamasov]

Jeg har heldagsprøve i morgen! Kan noen forbarme seg over meg? Takk.

[v3g4rd]

Nå har jeg ikke gjort dette her siden 2MX, og det begynner å bli en del år siden, så ikke skyt meg om jeg tar feil.

 

Jeg tror hele poenget her er at du skal kunne se direkte av fortegnsskjemaet hvordan f'(x) blir seende ut ved å "summere" de forskjellige funksjonene.

 

eksempel:

---------- (negativ)
---------- (negativ)
=
__________(positiv)

 

eller

----------- (negativ)
----------- (negativ)
__________ (positiv)
=
__________(positiv)

 

eller

----------(negativ)
__________(positiv)
__________(positiv)
=
--------------(negativ)

 

Var det det du lurte på?

[karamasov]

Ja, det var det! Tusen takk, Vegard!

[v3g4rd]

Verdiene du har brukt på fortegnsskjema 2 er forresten feil. Det skal være 0 og 2.

 

Grunnen til at de ikke skriver at du må faktorisere på eksempel 2, er nok fordi de allerede viste deg i eksempel 1 at du må faktorisere

 

f'(x)= -3x^2 + 6x = -3x(x-2)
Vi får dermed to fortegnslinjer hvorav -3x er negativ så lenge x er større enn 0 og positiv når x er mindre enn 0. (x-2) er positiv så lenge x er større enn 2, og negativ hvis ikke.


		  0		 2
-3x:   _______------------------
x-2:   -----------------________

=	  -------__________--------

Bare hyggelig å være til hjelp