Sannsynlighetsregning med varians

[Rickman]

Gått meg litt fast på en oppgave her;

 

Vi har ett pengespill der spilleren kaster en trening og ett kronestykke.

 

-Innsatsen er 55kr

-Spilleren får 10kr per øye terningen viser

-Spilleren får 50 kroner hvis kronestykket viser krone.

 

Vi har de to stokastiske variablene X og Y:

 

X: Antall øyne terningen viser

Y = 1 hvis kronestykket viser krone

y = 0 hvis det viser mynt

 

Nettogevinsten V kroner i ett spill blir;

 

V= -55+10X+50Y

 

Finn variansen til nettogevinsten.

 

(vet at svaret skal bli 916,67 kr^2)

[bellad76]

VarV = Var(-55+10X+50Y) = 100VarX + 2500VarY (X og Y er åpenbart uavhengige, så Cov(X,Y)=0)

Først VarX. VarX = EX^2 - (EX)^2 = (1/6)*(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2) - [(1/6)*(1+2+3+4+5+6)]^2 = 91/6 - (21/6)^2 = 91/6 - (7/2)^2 = 91/6 - 49/4 = 182/12 -147/12 = 35/12

Så VarY. VarY = EY^2 - (EY)^2 = (1/2)*(0^2+1^2) - [(1/2)*(0+1)]^2 = 1/2 - 1/4 = 1/4

VarV = 100*35/12 + 2500*1/4 = 291,67 + 625 = 916,67.

Endret 21. mars 2008 av bellad76

[Alpakasso]

Hvilken klasse går du i? Vil bare vite når dette blir pensum.

 

- Takk.

[bellad76]

Tror det er snakk om 3MX.

[Rickman]

3MX ja, en til

 

Skal finne Var(X) der X er en stokastisk variabel med tetthetsfunksjonen på formen f(x) = k*(1-x^2) for (x mellom eller lik -1 og 1)

 

a) Bestem konstanten k (hvordan gjør jeg dette?)

 

d) Finn Var(X) (Konstanten i a) er 3/4)

 

Svaret skal bli 1/5 men jeg får 0.

Hvordan kan det bli 1/5, når (1-x^2) =0 for både x=1 og x=-1?

Endret 21. mars 2008 av Rickman

[bellad76]

a)

Integrerer du en tetthet over definisjonsområdet, så må du få 1, ellers er det ikke en tetthet. Samlet sannsynlighet for alle mulige eventualiteter er 1.

Får da k*Int[-1 til 1]{(1-x^2)} = 1

k*[x-(1/3)x^3]{fra -1 til 1} = 1

k[2/3 +2/3] = 1

4k/3 = 1

k = 3/4

Får da f(x) = (3/4)*(1-x^2)

 

d)

VarX = EX^2 - (EX)^2

Det du sikter til betyr at EX må være 0, siden vi har en jevn, symmetrisk graf med endepunkter -1 og 1. Men variansen blir annerledes. Variansen er null for konstanter, men ikke for varierende tettheter som den vi har her.

 

EX^2 = (3/4)*Int{-1 til 1}[x^2-x^4] = (3/4)*[(1/3)x^3 - (1/5)x^5]{fra -1 til 1} = (3/4)*[(1/3-1/5) - (-1/3+1/5)] = (3/4)*(2/15+2/15) = 3/15 = 1/5

EX = 0

VarX = EX^2 = 1/5

Endret 22. mars 2008 av bellad76