Vekorer - vinkel mellom vektorer

[Rickman]

Takk, nå fant jeg feilen ja.

 

2 til;

 

3.57

 

Finn avstanden mellom to kuler (korteste avstand mellom ett punkt på den ene og ett punkt på den andre kuleflaten) gitt ved

 

S1=(-7,1,3) og r1=7 for den ene kula

S2=(5,5,9) og r2=3 for den andre

 

Skal bli 4

 

3.58

 

Ei kuleflate med sentrum S(7,-5,3) og radien r=9 er gitt. Undersøk om punktet A ligger utenfor, på eller innenfor kuleflaten, når

a) A(8,-2,9) (og hvordan ser jeg i så fall dette?)

[bellad76]

3.57)

Du lager en vektor fra sentrum i den ene kula til sentrum i den andre: [12,4,6]. Regner ut lengden av vektoren: sqrt(144+16+36)=14. Det vil si at avstanden mellom de to sentrumene er 14. Trekker fra radius i hver kule for å finne avstand mellom kulene:

14-3-7=4

 

3.58)

a) Du må regne ut hvor langt A ligger fra sentrum. Er A mindre enn r=9 fra sentrum, så må A være innenfor kuleflaten. Og motsatt.

[Rickman]

Takk for hjelpen, har nå gått videre til integrasjon. Kapittelet begynner med noen "enkle" repetiosjonstykker av ubestemte integraler. To av de er slik:

 

x^2 + 1/x dx

 

e^x + 3/e^x dx

 

Og en med multiplikasjon;

 

x^2 * e^x

 

Har ikke mulighet til å skaffe formelsamling der jeg er nå, så lurer på om det er noen formler som kan hjelpe meg med dette?

[bellad76]

Generell formel for å finne antiderivert til x^n er (1/(n+1))*x^(n+1), slik at f.eks.

antider(x^2)= (1/(2+1))*x^(2+1)=(1/3)x^3.

 

1/x kan omskrives til x^-1, men da får vi n+1=-1+1=0 i nemneren, så den generelle regelen går ikke. Det gjelder kun for n=-1. I den situasjonen er det slik: antider(1/x)=ln(x), der ln er den naturlige logaritmen, dvs e som grunntall. Hvorfor det er slik trenger du ikke tenke på foreløpig. Den antideriverte til e^x er e^x, en annen klassisk regel.

 

Har vi f.eks. 3/e^x som under, kan dette skrives om til 3e^-x. Du husker sikkert fra derivasjon, at den deriverte til dette er lik uttrykket ganger den deriverte av eksponenten. Den antideriverte blir lik uttrykket DELT MED den deriverte av eksponenten(i dette tilfellet ingen forskjell siden det å gange med -1 og dele med -1 er det samme). Men denne regelen for antiderivering gjelder bare dersom eksponenten er lineær. e^(-x^2) er f.eks. en funksjon hvor ingen antiderivert i det hele tatt eksisterer.

 

De to første blir da:

int(x^2 + 1/x dx)=(1/3)x^3+lnx+C

int(e^x + 3/e^x dx)=e^x-3/e^x+C

 

Den siste oppgaven, det er sikkert mulig å se at det er et mønster, men delvis integrasjon er hva man ofte bruker om vi har to uttrykk ganget med hverandre som skal integreres.

Les om det for å se hvordan det fungerer. Her utfører vi delvis integrasjon to ganger.

int(x^2 * e^x) = x^2*e^x-int(2x*e^x) = x^2*e^x-[2x*e^x-int(2e*x)] =

= x^2*e^x-2x*e^x+2e^x+C = e^x(x^2-2x+2)+C

Ser at dersom du deriverer dette uttrykket ender du opp med x^2*e^x.

[Rickman]

Takk.

 

Vi vet at int(lnx) dx = x*lnx -x +C

Bruk det til å finne ; int(lnx)^2 dx

 

Svar; x[(lnx)^2 -2lnx +2] + C

Endret 12. mars 2008 av Rickman

[bellad76]

Delvis integrasjon, gidder ikke bry meg om konstantledd underveis, og bare påfører det til slutt.

 

Int((lnx)^2)=Int(lnxlnx)=(x*lnx -x)*lnx - Int((1/x)*(xlnx-x))=(x*lnx -x)*lnx - Int(lnx-1))

=(x*lnx -x)*lnx - (x*lnx -x -x)=x(lnx)^2-xlnx-xlnx+2x=x[(lnx)^2-2lnx+2]+C

[Rickman]

Et par integrasjonsoppgaver;

 

Skal integrere A(X) = (2+0,2x)^2

 

Har bynt på denne, med å bruke variabelskifte, men vet ikke hovrdan jeg gjør u'=0,2 til en variabel for du.

 

Den andre lyder slik;

 

En snittflate av et drikkehorn fra vikingtiden er vinkelrett på x-aksen, og er en sirkel med radius x/6.

"Hvor mye mjød var det plass til i hornet?"

 

(Hornet er 24cm høyt)

[Jaffe]

A(x) = (2 + 0,2x)^2 = u^2

 

du = 0,2dx

 

dx = du/0,2

 

int((2 + 0,2x)^2 dx) = int(u^2 dx) = int(u^2 du/0,2) = 5*int(u^2 du) = 5*1/3u^3 + C = 5/3*u^3 + C = 5/3*(2 + 0,2x)^3

[Rickman]

Vet du hvordan jeg løser den med drikkehornet?

[teveslave]

En snittflate av et drikkehorn fra vikingtiden er vinkelrett på x-aksen, og er en sirkel med radius x/6.

"Hvor mye mjød var det plass til i hornet?"

(Hornet er 24cm høyt)

 

Integrer arealet til snittflaten (som her er en sirkel) over området (her: x=0 til x=24) for å finne volumet.

[Rickman]

Takk for svar. Denne skjønner jeg ikke kløyva døyt av;

 

Skal utlede formelen for volumet av en kjegle med høyde h og grunnflateradius R.

 

Start med å vise at en snittflate vinkelrett på x-aksen blir en sirkel med radius r x= (R/h)x (r x betyr ikke r*x)

 

Svar; (1/3)*pi*R^2*h

[Rickman]

1 til dessverre :/ ;

 

Har en vispebolle med form som tegnet. Innvendig høyde er 15 cm, og innvendig radius av grunnflaten er 6 cm.

Den innvendige konturen av bollen føger grafen til funksjonen; f(x) = sqrt(8x+52)

 

Når vi dreier grafen 360 grader om x-aksen får vi dannet et omdreiningslegeme. Finn volumet av bollen.

 

Svar; 4524 cm^3

[bellad76]

Synes ikke tegningen din hjelper mye. Denne fine tegningen hjelper nok mye mer:D

Altså, du skal integrere i x-retning. I den ene enden er radiusen 6 cm, først finner vi venstre endepunkt: 6=sqrt(8x+52) som gir x=-2. 15 cm høy, dermed må det andre endepunktet være ved x=13. Så må vi finne ut volumet av hvert vertikale tverrsnitt. Hvert tverrsnitt er sirkelformet, dvs plateformet, med radius lik sqrt(8x+52). Vi får da arealet, som er lik pi*r^2 til å bli pi*(8x+52), og volumet for hver plate blir dette ganger dx, og for å finne totalt volum integrerer vi i x-retning i intervallet fra x=-2 til x=13, som jo er det samme som å legge sammen volumet til alle platene, når platene går mot uendelig mange og tykkelsen på hver går mot null,

 

Volum totalt = Int[fra -2 til 13]{pi*(8x+52)dx} = pi*(4x^2+52x)[fra -2 til 13] = pi*(1352-(-88)) = pi*1440 = 4524 cm^3

Endret 17. mars 2008 av bellad76

[bellad76]

Takk for svar. Denne skjønner jeg ikke kløyva døyt av;

 

Skal utlede formelen for volumet av en kjegle med høyde h og grunnflateradius R.

 

Start med å vise at en snittflate vinkelrett på x-aksen blir en sirkel med radius r x= (R/h)x (r x betyr ikke r*x)

 

Svar; (1/3)*pi*R^2*h

 

Overså denne i går.

Kjeglen ser slik ut:

 

Som du ser forandrer r seg alt etter hvor vi er på x-aksen. Derfor har du altså en formel r(x) som viser hva r er for gitt x. r=R når x=h, og r=0 når x=0, og den oppgitte formelen gir riktig verdi for r for rett x-verdi, det er jo bare en enkel, lineær ligning med stigningstall R/h. Som i oppgaven jeg gjorde over: Hvert vertikale tverrsnitt får grunnflatearealet pi*r^2 = pi*((R/h)*x)^2, og ganger vi med dx, som er bredden for hvert tverrsnitt i x-retning, så får vi volumet. Lar vi dx gå mot null kan det totale volumet regnes ut ved å integrere over alle tverrsnittene, som nå går mot uendelig mange. Vi integrerer over x, altså fra x=0 til x=h:

 

V = int[fra 0 til h]{pi*((R/h)*x)^2}dx = pi*R^2/h^2((1/3)x^3)[fra 0 til h] =

V = pi*R^2/h^2((1/3)h^3 - 0) = (1/3)*pi*h*R^2

Endret 17. mars 2008 av bellad76