Vekorer - vinkel mellom vektorer

[Rickman]

Har skuret greit unna mange oppgaver nå, men kommet til en ny jeg ikke forstår så godt. Slik lyder den:

 

Vektorene

>a = [-2,1,0]

>b = [1,-2,2] og

>c = [4,2,-3] er gitt

 

Bestem t slik at >a + t>b står vinkel rett på >c

 

Klarer ikke å helt å visualisere meg denne. Er alle vektorer som starter i samme punkt, er de vektorer i forskjellige punkt? osv.

 

Svaret skal bli -1

 

Har skuret greit unna mange oppgaver nå, men kommet til en ny jeg ikke forstår så godt. Slik lyder den:

 

Vektorene

>a = [-2,1,0]

>b = [1,-2,2] og

>c = [4,2,-3] er gitt

 

Bestem t slik at >a + t>b står vinkel rett på >c

 

Klarer ikke å helt å visualisere meg denne. Er alle vektorer som starter i samme punkt, er de vektorer i forskjellige punkt? osv.

 

Svaret skal bli -1

 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

Edit: En liten til en;

 

A(1,1,0) B(4,.2,1) og C(3,2,5) er hjørner i en trekant. Jeg har funnet:

 

>AC = [2,1,5]

>BC = [-1,4,4]

 

Finn Vinkel C

 

Selv regnet jeg slik:

 

Endret de to vektorene til motsatt, dvs.

>CA = [-2,1,-5]

>CB = [1,-4,-4]

 

Ganget disse og fikk til slutt;

 

cos C = 22/sqrt30 * sqrt33 dvs C = 45,6 grader

 

Men svaret skal bli C = 33,3 grader

 

Hva gjorde jeg feil der?

Endret 7. mars 2008 av Rickman

[bellad76]

Den første:

Prikkproduktet mellom to vektorer er 0 dersom de står vinkelrette på hverandre.

 

>a + t>b = [-2+t, 1-2t, 2t] så vi får:

(>a + t>b) * >c = [-2+t, 1-2t, 2t] * [4, 2, -3] = -8+4t+2-4t-6t = 0

-6 = 6t

t = -1

 

 

Kan ikke se du har gjort noe feil i den andre oppgaven (med unntak av at du har skrevet . i stedet for - i hjørne B, og du har glemt et minustegn foran y-koordinaten i >CA), så enten er fasiten feil eller så har du skrevet av oppgaven feil.

[Rickman]

Satser på at fasiten er feil siden jeg skrev opp litt feil der + at i skalarproduktet har jo ikke fortegnet betydning.

En til jeg ikke fikk til:

 

Parameterlinje:

 

x = 8-t /\ y = -8+3t /\ z = 3+t

 

Finn punktene på l som har avstanden 9 fra origo.

 

Kjempefint at du hjelper

 

BTW: Kan man tegne en parametertrippel på CASIO-kalkulatorene?

[bellad76]

Kjenner ikke til disse avanserte kalkulatorene.

 

Hvis jeg har forstått det riktig: Avstand mellom linjen og origo skal være 9. Altså avstanden mellom punktene [8-t, -8+3t, 3+t] og [0, 0, 0] er lik 9. Vi får ligningen:

sqrt [((8-t)-0)^2 + ((-8+3t)-0)^2 + ((3+t)-0)^2] = 9 - kvadrér så på begge sider:

[((8-t)-0)^2 + ((-8+3)-0)^2 + ((3+t)-0)^2] = 81

11t^2 - 58t + 56 = 0

t = 4 eller t = 14/11, og dette gir punktene:

[4, 4, 7] og [74/11, -46/11, 47/11] som begge er på linjen og har avstand 9 fra origo.

Endret 7. mars 2008 av bellad76

[Rickman]

Kjempe

 

Har en litt vrien nøtt her. Undersøk om l og m har noen fellespunkter:

 

l: x = 2 +3t /\ y = 3-5t /\ z = 2t

 

m: x = 1 + 5s /\ y = -16+2s /\ z = 4+s

[bellad76]

Tja, sikkert mulig å gjøre det enklere enn det jeg nå skal gjøre, men jeg kommer i hvert fall i mål.

Avstandsformelen kjenner du, og avstanden skal altså være 0, for når avstanden mellom to punkt er 0 så er det snakk om det samme punktet.

 

sqrt[((2+3t)-(1+5s))^2 + ((3-5t)-(-16+2s))^2 + (2t-(4+s))^2] = 0 (kvadrér begge sider)

(1+3t-5s)^2 + (19-5t-2s)^2 + (-4+2t-s)^2 = 0

1+9t^2+25s^2-10s+6t-30st + 361+25t^2+4s^2-190t-76s+20st + 16+4t^2+s^2-16t+8s-4st = 0

378 + 38t^2 + 30s^2 -78s -200t - 14st = 0

38t^2 - (200+14s)t + 30s^2-78s+378

 

Vi har her en andregradsligning i t med a=38, b=-(200+14s) og c=30s^2-78s+378

Vi får ved andregradsformelen:

t = [200+14s +- sqrt((200+14s)^2 - 4*38*(30s^2-78s+378))] / 2*38

Dersom vi nå bare se på det som står under rottegnet, så ender vi opp med:

-4364s^2+17456s-17456, faktoriserser dette:

-4364(s^2-4s+4) = -4364(s-2)^2. Vi får da:

t = [200+14s +- sqrt(-4364(s-2)^2)]/ (2*38)

t = [200+14s +- (s-2)*sqrt(-4364)]/ 76.

Vi kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall, slik at den eneste måten vi kan finne en reell løsning for t, er dersom s=2. Da vil leddet etter +- falle bort, og vi står bare igjen med:

t = (200+14s)/76, og setter inn s=2:

t = (200+14*2)/76 = (200+28)/76 = 228/76 = 3

 

Vi sitter da igjen med én løsning, nemlig s=2 og t=3. Setter du dette inn i l og m ser vi at vi får det samme punktet, som var meningen, nemlig [11, -12, 6].

[bellad76]

Alternativt kan vi alltids sette t = 2 + s/2 (pga z-koordinatene).

Da får vi f.eks. ved å se på x-koordinatene: 2+3t = 1+5s, setter inn for t:

2+3(2+s/2) = 1+5s

2+6+3s/2 = 1+5s

7 = 3,5s

s = 2, og dette gir t = 3.

En del enklere enn våset jeg nettopp gjorde:)

[Rickman]

Hehe, ikke verst, har sett meg fast på en del plan-knoting nå

 

Finn ligningen for et plan som går gjennom punktet (1,-2,3)

 

og står vinkelrett på linja x = 2t, y = 2 + t, og z = 1 + 3t

 

Er så mye oppgaver med plan, vektorer, og linjer som skal være paralelle eller vinkelrette at det går orntlig i spinn for meg her

[Rickman]

Nå star jeg fast på en meget standard oppgave som boka er så inn i *@$%& dårlig å forklare (lettere irritert )

 

Skal enkelt og greit finne likningen for et plan som går gjennom punktene

 

(0,0,0), (3,2,4) og (1,1,1)

 

I bokas eksempel løste de det ved at z-verdien var 0 i en av vektorene, og de kunne sette y til å være et tilfeldig tall og dermed regne ut x-verdien, for så å sette disse verdiene inn i den andre vektoren, og dermed fikk de normalvektoren.

Men hvordan blir det i min oppgave der vi har verdier for x, y og z?

 

Prøvde å sjekke denne siden for hjelp men kom ikke noen vei av det;

www.matematikk.net/ressurser/per/per_oppslag.php?aid=282

 

"Dersom et plan er gitt ved tre punkter som i (1) kan ligningen for planet finnes på flere måter, blant annet ved å bruke vektorprodukt.

 

Et plan er gitt ved punktene p(0,0,0), q(2,3,4) og r(1,1,1). Finn ligningen for planet:

 

Finn to vektorer i planet som ikke er parallelle: pq= [2,3,4] og pr = [1,1,1]

 

Ta vektorproduktet: pq x pr = [(3-4),(4-2),(2-3)] = [-1,2,-1]

 

[-1,2,-1] er en normalvektor til planet. Det er også vektoren [1,-2,1] og vi bruker sistnevnte for å få et penere uttrykk."

 

 

Hvor kom verdiene markert i fet skrift fra?

[bellad76]

Du skal finne ligningen for plan, altså løse ligningen ax+by+cz+d=0 for a, b, c og d.

Du har tre punkter, og kan lage tre ligninger. Vi har fire ukjente, så vi kan få flere løsninger.

0a+0b+0c+d=0

3a+2b+4c+d=0

1a+1b+1c+d=0

Vi ser øverst at vi får d=0, ikke overraskende siden [0,0,0] er et av punktene.

Videre får vi nederst a = -b-c, og setter dette inn i den andre ligningen:

-3b-3c+2b+4c=0 --> b=c. Dette gir a = -2b (= -2c) i den siste ligningen. Velger vi f.eks. b=1, får vi b=c=1 og a=-2, som gir:

-2x + y + z = 0 som ligning. Ser at om vi f.eks. hadde valgt b=2 så ville vi fått

-4x + 2y + 2z = 0, altså alle ledd doblet, noe som i praksis vil være det samme, akkurat som at 5x = 0 og 10x = 0 går for det samme. Vi kunne valgt hva som helst. Det er det samme hvilken av a, b og c vi velger først. Velg det som virker enklest, i dette tilfellet åpenbart b=c=1.

 

Angående normalvektoren nederst: For å finne normalvektor brukes vektorprodukt. Du har de to vektorene pq og pr, som begge ligger i planet men som ikke er parallelle. Krysser du de vektorene vil du få en vektor som er vinkelrett på planet de to vektorene ligger i. Les om vektorprodukt i boka di. Meningen er at vi skal få en ny vektor hvis prikkprodukt er lik 0 til begge de to opprinnelige vektorene. Når det står pq x pr, så sier vi at pq er vektor nr 1 og pr vektor nr 2. For å finne x-verdien til den nye vektoren tar du (y1*z2 - z1*y2) = (3*1-4*1) = (3-4) = (-1).

y-verdien: (z1*x2 - x1*z2) = (4*1-2*1) = (4-2) = (2).

z-verdien: (x1*y2 - y1*x2) = (2*1-3*1) = (2-3) = (-1).

Vi ender opp med vektoren (-1,2,-1) som normalvektor

Grunnen til at man kan bytte alle fortegnene er siden om vi hadde krysset vektorene i motsatt rekkefølge, altså pr x pq, så ville vi fått en normalvektor som går i motsatt retning, nemlig (1,-2,1). Hvis den ene går rett ut fra planet oppover, så vil den andre gå rett ut av planet nedover.

 

For normalvektoren til planet -2x + y + z = 0 blir det da:

Du lager to vektorer, kan kalle den pq og pr igjen, (3,2,4) og (1,1,1) og gjør det samme som over:

pq x pr = (-2,1,1) blir normalvektor.

Endret 8. mars 2008 av bellad76

[bellad76]

Hehe, ikke verst, har sett meg fast på en del plan-knoting nå

 

Finn ligningen for et plan som går gjennom punktet (1,-2,3)

 

og står vinkelrett på linja x = 2t, y = 2 + t, og z = 1 + 3t

 

Er så mye oppgaver med plan, vektorer, og linjer som skal være paralelle eller vinkelrette at det går orntlig i spinn for meg her

 

Okei, du har normalvektoren, kaller den n, og ett punkt, kaller det p. Normalvektoren skal være vinkelrett på alle mulige vektorer i dette planet. Lager vi en generell vektor pr i planet, der r=(x,y,z) så vil planet inneholde alle punkter (x,y,z) som tilfredsstiller ligningen n*pr = 0, da skalarproduktet er lik 0 når vektorene står vinkelrett på hverandre.

Setter nå inn for n og pr og regner ut:

[2t,2+t,1+3t]*[x-1,y-(-2),z-3] = 0

2t(x-1) + (2+t)(y+2) + (1+3t)(z-3) = 0

(2t)*x + (2+t)*y + (1+3t)*z + (1-9t) = 0 blir ligningen for planet.

[Rickman]

Ikke heelt riktig den siste der, skal bli 2x+y+3z-9 = 0

[Rickman]

En rett linje l skal ligge i planet 3x-4y+2z+4=0

 

Finn en parameterframstilling for l

[bellad76]

Ikke heelt riktig den siste der, skal bli 2x+y+3z-9 = 0

 

 

Sannelig, dette var slurv fra min side. Å si at linja [2t,2+t,1+3t] blir normalvektor til planet siden planet skal stå vinkelrett på denne linja, blir naturligvis feil. Vi må lage en vektor ut fra denne linja som står normalt på planet. Det gjøres ved å velge to punkt på denne linja, f.eks. for t=0 og t=1, nemlig [0,2,1] og [2,3,4]. Vi lager så en vektor ut fra disse to punktene: [2-0,3-2,4-1] = [2,1,3]. Dette er en normalvektor til planet. Videre gjør vi akkurat som jeg gjorde i sted, slik at vi får:

[2,1,3]*[x-1,y-(-2),z-3] = 0

2(x-1) + y+2 + 3(z-3) = 0

2x + y + 3z - 9 = 0

Endret 9. mars 2008 av bellad76

[bellad76]

En rett linje l skal ligge i planet 3x-4y+2z+4=0

 

Finn en parameterframstilling for l

 

Hm.. ingen anelse men man kan jo alltids prøve seg fram. Velg x=t og y=t. Grunnen til at dette må gå, er fordi man i et plan alltid kan velge to av koordinatene fritt, men den tredje koordinaten er da avhengig av de to første. At jeg velger x og y, og at jeg setter begge lik t er for enkelhets skyld.

Vi får 3t-4t+2z+4=0

-t+2z+4=0

2z=t-4

Dette gir z=t/2-2, og vi har kommet fram til linja [t, t, t/2-2], som er én løsning av uendelig mange mulige. Som en sjekk ser vi at for t=0 får vi punktet [0,0,-2] som vi ser ligger i planet, for t=1 får vi punktet [1,1,-3/2] som også ligger i planet, for f.eks. t=5/2 får vi puktet [5/2, 5/2, -3/4] som også ligger i planet. Alt skulle tyde på at alle punkt på linja [t, t, t/2-2] ligger i det oppgitte planet.

[Rickman]

Nå sitter jeg fast på en meget enkel oppgave igjen;

 

Finn avstanden fra punktet P(6,8,10) til planet 4y-8z = 12

 

Slik har jeg begynt å regne:

 

>n [0.4.-8]

 

x=6, y=8+4t, z=10-8t

 

0*6 + 4(8+4t) -8(10-8t) = 12

24+16t-80+64t = 12 --> t=17/20

 

MEN, jeg sjekker dette opp mot formelen for planet med y=57/5 og z=16/5, bare for å få

20=12 som resultat. Hva gjør jeg feil?

Endret 9. mars 2008 av Rickman

[bellad76]

Avstanden fra et plan ax+by+cz+d=0 til et punkt (x1,y1,z1) er

D= |ax1+by1+cz1+d| / sqrt(a^2+b^2+c^2)

Denne formelen bør stå i boken din.

 

Du har altså a=0 og b=4 og c=-8 og d=-12 i ditt plan.

D=|4*8-8*10-12| / sqrt(16+64)

D=|32-80-12| / sqrt(80)

D=60/(4sqrt(5))=6,708

Endret 9. mars 2008 av bellad76

[bellad76]

Nå sitter jeg fast på en meget enkel oppgave igjen;

 

Finn avstanden fra punktet P(6,8,10) til planet 4y-8z = 12

 

Slik har jeg begynt å regne:

 

>n [0.4.-8]

 

x=6, y=8+4t, z=10-8t

 

0*6 + 4(8+4t) -8(10-8t) = 12

24+16t-80+64t = 12 --> t=17/20

 

MEN, jeg sjekker dette opp mot formelen for planet med y=57/5 og z=16/5, bare for å få

20=12 som resultat. Hva gjør jeg feil?

 

 

Du har for øvrig rett i at man kan gjøre det slik du gjør det også, men du har gjort en liten feil.

Du har funnet normalvektoren [0,4,-8]. Du må finne den vektoren som sørger for at når man tar den fra punktet P, så kommer ved helt ned i planet. Avstandsvektoren blir da [0,4t,-8t] og vi må finne hva t er for at den skal nå planet. Du har gjort nesten alt riktig. Den eneste feilen du har gjort, er at 4*8 ikke er lik 24, derimot er det 32. Da får du på nederste linje: 32+16t-80+64t = 12 --> t=3/4. Setter dette inn i n:

[0,4*3/4,-8*3/4]=[0,3,-6] og lengden av denne vektoren er sqrt(3^2+(-6)^2)=sqrt(45)=6,708.

Endret 9. mars 2008 av bellad76

[Rickman]

Den formelen står ikke i boken min nei! Kan virkelig ikke skjønne at denne boka ble anbefalt på voksenopplæringen

 

Har en annen jeg lurer på om jeg gjør rett;

 

Finn skjæringspunktene mellom kula: (x+2)^2 + (y-6)^2 + (z-3)^2 = 50

 

og linja: x= -1+2t y= 4-t z=4-2t

 

Blir det da riktig å bare gå rett på, og sette inn de forskjellige verdiene til linja i formelen for kula, for så å regne ut t-verdiene og sette de inn i linja?

 

Fasiten har punkter de fant ved hjelp av t= 2 og t= -22/9

 

Grunnen til at jeg spørr er fordi jeg ikke fikk de t-verdiene.

[bellad76]

Jeg får t=2 og t=-22/9 når jeg setter rett inn, så du må nok har gjort noe feil under utregningen. Skal ende opp med andregradsligningen 9t^2+4t-44=0.