3MX vektorer og parameterframstilling

[Rickman]

Jeg trenger litt hjelp til vektorer. Jeg har 3MX som privatist, og 3MZ fra før. Boka forventer mye av meg synes jeg, jeg skjønner ikke en kløyva døyt om vektorer som er nytt for meg. Begynner først med et eksempel jeg ikke skjønner bæret av:

 

Hvis vi skal finne en parameterfremstilling for en rett linje som går gjennom punktene A(-1,2) og B(2,4).

Da er >AB = [3,2] (retningsvektor for linja). Som svar får vi:

 

Vektorligningen er ekvivalent med:

 

x = -1+3x /\ y = 2+2x

 

Problemet er at boka ikke gir den minste aning på hva dette betyr. Jeg ser ingen sammenheng mellom disse to svarene, og hva de har med retningsvektoren å gjøre. Kan noen hjelpe meg? Jeg blir ganske fortvilt

 

EDIT: Hvis jeg har en parameterverdi;

 

x=2+3x /\ y= 6-2x ---- Hvordan finner jeg da avstanden fra linja til punkt A (3,-8) ?

[endrebjo]

Er du sikker på at parameterfremstillingen er gitt som:

x = -1 + 3x

y = 2 + 2x

 

og ikke som:

x = -1 + 3t

y = 2 + 2t

 

?

[Rickman]

Jo du har rett, blingsa litt i farta her, men har det noe betydning egentlig?

Vet du hvordan jeg løser oppgaven?

[GeO]

Det skal garantert være som endrebjorsvik sier.

 

Prinsippet er at vi legger sammen to vektorer. Den ene er for å komme oss fra origo til et punkt på linjen (vi velger A), og den andre er for å komme oss fra A og til et vilkårlig punkt på linjen mellom A og B. Vi kaller summen av vektorene (altså den nye vektoren) for v:

 

v = <-1 , 2> + t·<3 , 2> = <-1 + 3t , 2 + 2t>

 

Hvis du setter inn en verdi for t, så har du nå en vektor som fører deg til et punkt på linjen, siden du alltid starter med å gå til A, og deretter beveger deg parallelt med retningsvektoren. Hvis vi lar t være en parameter, og varierer denne, har vi en vektorligning for linjen. Du ser at vektoren vi kom frem til er den parametriseringen du skulle ha:

 

x(t) = -1 + 3t

y(t) = 2 + 2t

 

Du kan også legge merke til hvordan koordinatene til punktet A og retningsvektoren kommer frem i denne parametriseringen.

 

Edit: skrivefeil.

Endret 28. februar 2008 av TwinMOS

[endrebjo]

Dette er 2MX-pensum, så om du mangler det kan jeg godt skjønne at du sliter litt.

Du må først forstå hva en parameterfremstilling er. Du lar t variere og får koordinatpar av x og y når du putter samme t inn i dem. Koordinatparene danner en linje/graf.

Hvis vi tar utgangspunkt i:

x = -1 + 3t

y = 2 + 2t

Dette er en lineær graf, så da klarer vi oss med tre punkter.

t = -1:

x = -1 + 3*-1 = -1 - 3 = -4

y = 2 + 2*-1 = 2 - 2 = 0

punktet for t = -1 er: (-4, 0)

 

t = 0:

x = -1 + 3*0 = -1

y = 2 + 2*0 = 2

punktet for t = 0 er: (-1, 2)

 

t = 1

x = -1 + 3*1 = -1 + 3 = 2

y = 2 + 2*1 = 2 + 2 = 4

punktet for t = 1 er (2,4)

 

Så plotter du punktene (-4, 0) (-1, 2) (2, 4) inn i et koordinatsystem og ser at de danner en rett linje.

 

Skjønner du nå hva en parameterfremstilling er?

[Jaffe]

Jo du har rett, blingsa litt i farta her, men har det noe betydning egentlig?

 

Ja, det blir et ukorrekt utsagn at x = -1 + 3x. Denne likninga stemmer ikke for noen verdier av x. På samme måte blir det også feil å bruke y som navn på en parameter. Men andre symboler som ikke er med i en annen sammenheng, kan brukes.

 

Når det gjelder forståelsen av en parameterframstilling så kan det være verdt å merke seg at den har to frittstående funksjoner for henholdsvis x- og y-koordinat, i stedet for én funksjon som beskriver en relasjon mellom x (argument) og y (funksjonsverdi). Det gjør det mulig å beskrive kurver mye friere enn man kan med en vanlig funksjon der man bare kan ha én y-verdi for hver x-verdi.

[Rickman]

Takk nå skjønner jeg litt mer. Men jeg klarer fortsatt ikke å løse oppgaven;

 

Hvis jeg har en parameterverdi;

 

x=2+3x /\ y= 6-2x ---- Hvordan finner jeg da avstanden fra linja til punkt A (3,-8) ?

 

Noen som kan se på denne? (Svaret skal bli ca. 11,09)

[bellad76]

Takk nå skjønner jeg litt mer. Men jeg klarer fortsatt ikke å løse oppgaven;

 

Hvis jeg har en parameterverdi;

 

x=2+3x /\ y= 6-2x ---- Hvordan finner jeg da avstanden fra linja til punkt A (3,-8) ?

 

Noen som kan se på denne? (Svaret skal bli ca. 11,09)

 

x=2+3t /\ y= 6-2t, ikke skriv parameteren som x.

Avstand mellom to punkt er sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 ).

 

Avstand = sqrt( ( (2+3t)-3 )^2 + ( (6-2t)-(-8) )^2 )

Avstand = sqrt( (-1+3t)^2 + (14-2t)^2 )

Avstand = sqrt( 1-6t+9t^2 + 196-56t+4t^2 )

Avstand = sqrt( 13t^2 - 62t + 197 )

 

For å finne minste avstand, derivér og sett lik 0. For å finne hvilken t som gir minste avstand trenger vi først bare se på det som står under rottegnet, da x > y gir sqrt(x) > sqrt(y).

26t-62=0 gir t = 62/26 = 31/13, setter dette inn i Avstand:

Avstand = sqrt( 13*(31/13)^2 - 62*31/13 + 197) = sqrt(961/13 - 1922/13 + 2561/13) = sqrt(1600/13) = sqrt(123,0769) = 11,094

Endret 29. februar 2008 av bellad76