Zeno's Paradox

[Me sjøl]

Greit. Jeg godtar selvsagt ikke begreper som er udefinerte så hvis du ber meg finne et tall mellom 0.99 - med uendelig nitall og 1, så får du prøve på nytt. "Uendelig" avgrenser nemlig ingenting og er derfor ubrukelig. Jeg kan godt finne grenseverdien for deg , tho. Forresten, er 0.0999999... == 0.1 også

"..." er ikke udefinert. 0.x..., hvor x er et siffer, er definert som en kortform for desimalekspansjonen 0.x..., hvor det er et uendelig antall x-er. Uendelig er også definert, ta en titt på Cantors teorier.

 

Forstår du snart at hvis du holder på lenge nok så ender du med 0==1?

Nei.

[fireofawakening]

Uendelig avgrenser ingenting, Me sjøl. Er dette vanskelig for deg å forstår?

[teflonpanne]

Uendelig er ubrukelig, how so?

 

0.099.. = 0.1 ja

0.0099.. = 0.01

0.00099.. = 0.001

 

Men igjen viser du at du har liten forståelse for matte. Dette blir nemlig ikke 0 = 1 men 0.00..9.. = 0.00..1..

[Me sjøl]

Uendelig avgrenser ingenting, Me sjøl. Er dette vanskelig for deg å forstår?

Hva mener du med avgrense, da?

 

Uendelighet er, tro det eller ei, definert og godtatt av alle mainstream matematikere i det 21.århundre.

[teflonpanne]

"teflonpanne: Jeg vise deg at argumentene på wikipedia var sirkelargument der de forutsatte at 0.333 == 1/3. Skal du snart ta deg sammen?"

 

For det første, hva mener du med forutsatte? Det blir det samme som "de forutsetter at 2+2=4". Som sagt, skriv opp den brøken på papiret og prøv å regn den så ser du at 1/3 = 0.333..

 

For det andre, det var haugevis av andre beviser der, hva er din innvending på disse?

[fireofawakening]

Det var et korttenkt eksempel jeg kom med her

Men igjen viser du at du har liten forståelse for matte. [..]

Her skriver klovnen "igjen" men han har ikke mestret å vise at det finnes andre eksempler på at jeg har "liten forståelse for matte" enn dette ene teite eksempelet. Faktisk så er det diametralt motsatte riktig: jeg har vist meg eksepsjonelt god i matte frem til "matte 1". Det er derimot klovnen som har vist seg ubrukelig i matte. Han påstår at det finnes en feil i mine skriverier men har ikke mestret å vise at det finnes en slik feil. Ikke forstår han seg på logikk heller siden han påstår at 0.9999.. == 1. Finnes det grenser for lavmål?

 

Me sjøl. I matematikken så brukes axiom of inifinity, men dette har ingen nytte i filosofiske samtaler. I matten så kan det gi mening å snakke om at 1/inf == 0, men dette er ikke formallogisk riktig, likevel. Matte og logikk er ikke det samme. I en filosofisk samtale er du nødt til å avgrense de begrepene du bruker, og dette er ofte hva som skiller de store ifra de små. Uendelig avgrenser ingenting og oppfyller derfor ikke begrepsteoriens krav til begrepsdanning.

[Me sjøl]

Me sjøl. I matematikken så brukes axiom of inifinity, men dette har ingen nytte i filosofiske samtaler. I matten så kan det gi mening å snakke om at 1/inf == 0, men dette er ikke formallogisk riktig, likevel.

Først. 1/uendelig har intet med axiom of infinity å gjøre. Tror du det, tar du feil, hvis ikke, skjønner jeg ikke hvorfor du tar det opp.

 

For det andre, så er en aksiom nettopp en aksiom, den er tatt for gitt. Når du virker innen ZFC må du godta axiom of infinity (som altså ikke har noe med en delt på uendelig å gjøre), og gjør du det ikke, bør du ha gode matematiske begrunnelser for det.

 

Matte og logikk er ikke det samme. I en filosofisk samtale er du nødt til å avgrense de begrepene du bruker, og dette er ofte hva som skiller de store ifra de små. Uendelig avgrenser ingenting og oppfyller derfor ikke begrepsteoriens krav til begrepsdanning.

For å ta det enkelt: ...-notasjonen denoterer en tellbart uendelig mengde siffer. Altså en mengde med kardinalitet aleph null. Dette er en grei og enkel avgrensning.

[teflonpanne]

Det at du har liten forståelse for matte trekker jeg fra at du tror at 0.333... er en tilnærming til 1/3.

 

Jeg påstår ikke at 0.999.. = 1, jeg sier det er et faktum, bevist. Det virker som det er du som har problemer med å forstå forskjellen på en påstand og et bevis.

 

Så den eneste klovnen her som bedriver lavmål må vel være deg som hele tiden omtaler meg som en klovn og viser total mangel på matematisk forståelse og innsikt i uendelighet.

 

Dette blir som å argumentere mot kreasjonister; det er umulig fordi de ikke kan innrømme feil selv når beviser blir lagt foran øynene dems.

 

Du får ha et en fortsatt ignorant kveld.

[fireofawakening]

[...]

Jeg ser at for et utrent øye så kan det tolkes slik at det jeg skrev om 1/inf skulle ha sammenheng med den teksten hvor jeg nevnte axiom of inf. Men det er ikke tilfellet: jeg snakker bare generelt om uendelighet i matematikken - og at det her brukes. Bare se bortifra misforståelsen.

 

Og når du "definerer" et uendelig matematisk uttrykk, eller hva du nå prøver på så inngår ordet "uendelig" i definisjonen trass jeg har påpekt at dette ordet ikke betyr noe. Det er akkurat som ordet "rimelig". Det har ingen avgrensning. Dette kommer jeg ikke til å fortelle deg flere ganger: ta det til deg.

[Me sjøl]

Du har sagt at uendelig ikke betyr noe, og jeg har gjentatte ganger pekt deg til teorier om hva uendelig er og hvordan det oppfører seg som gir mening. Dette gidder jeg ikke mer.

 

God natt.

[fireofawakening]

Det at du har liten forståelse for matte trekker jeg fra at du tror at 0.333... er en tilnærming til 1/3.

 

Jeg påstår ikke at 0.999.. = 1, jeg sier det er et faktum, bevist. Det virker som det er du som har problemer med å forstå forskjellen på en påstand og et bevis.

 

Så den eneste klovnen her som bedriver lavmål må vel være deg som hele tiden omtaler meg som en klovn og viser total mangel på matematisk forståelse og innsikt i uendelighet.

 

Dette blir som å argumentere mot kreasjonister; det er umulig fordi de ikke kan innrømme feil selv når beviser blir lagt foran øynene dems.

 

Du får ha et en fortsatt ignorant kveld.

Jøye meg! Jeg sitter bare og himler med øynene når jeg leser dette sprøytet. Er du virkelig så virkelighetsfjern som du her viser?

Først: Jeg har konsekvent bruke notasjonen "==" når jeg har omtalt 0.333 == 1/3, hvilket betyr at jeg ikke snakker om "tilnærming" men "ekvivalent". Dette forstod selvsagt ikke den tafatte.

 

Og så etterpå skriver han at han har påstått at 0.999 == 1 er bevist, hvilket vi generelt sett må gi han rett i at han har påstått men vi må derimot gi han feil i at dette er bevist. Jeg har vist han at dette er sirkelargument, men selv dette mestret han ikke å forstå. Han tror at hvis en påstår at 0.333 == 1/3 på en side på wikipedia, og skriver dette på fire forskjellige idiotiske måter, så er dette "bevist". Med samme logikk kan jeg påstå at jorden er flat fire ganger med litt forskjellig ordbruk og tro at dette er et bevis for at jorden er flat.

 

Etter å ha lagt denne oppførselen for dagen så blir han mannevond og forsøker å likestille meg med religiøse, men han forstår ikke at det er hans egen argumentajson som i realiteten er likedan som religiøse argumenter der han bare påstår og påstår, og sier at to ulike tall er det samme tallet og forsøker å bevise dette med påstand om at to andre tall er like: som om denne påstanden er noe mere sann enn den forrige.

Endret 15. oktober 2007 av vinterriket

[teflonpanne]

Jøye meg! Jeg sitter bare og himler med øynene når jeg leser dette sprøytet. Er du virkelig så virkelighetsfjern som du her viser?

Da har vi hvertfall noe til felles.

 

Først: Jeg har konsekvent bruke notasjonen "==" når jeg har omtalt 0.333 == 1/3, hvilket betyr at jeg ikke snakker om "tilnærming" men "ekvivalent". Dette forstod selvsagt ikke den tafatte.

Jaha, er '==' annerledes enn '='? '=' betyr nemlig også ekvivalent. Er f.eks 2 = 2 og 2 == 2 det samme?

 

Men jo, du snakket om tilnærming:

 

"Eks at 0.33333.... == 1/3. Dette holder som tilnærming i mattematikken, men ikke formallogisk."

 

Her tar du feil. 0.33 er en tilnærming til 1/3 i matematikken. 0.333 er en tilnærming, 0.33333 er en tilnærming osv. 0.33... derimot er ekvivalent med 1/3 (som jeg skal vise senere)

 

Og så etterpå skriver han at han har påstått at 0.999 == 1 er bevist, hvilket vi generelt sett må gi han rett i at han har påstått men vi må derimot gi han feil i at dette er bevist.

Nei, det er ikke feil. Det er bevist. Spør en hvilken som helst matematiker.

 

Jeg har vist han at dette er sirkelargument, men selv dette mestret han ikke å forstå. Han tror at hvis en påstår at 0.333 == 1/3 på en side på wikipedia, og skriver dette på fire forskjellige idiotiske måter, så er dette "bevist". Med samme logikk kan jeg påstå at jorden er flat fire ganger med litt forskjellig ordbruk og tro at dette er et bevis for at jorden er flat.

Igjen, spør en hvilken som helst matematiker. 0.33.. er ekvivalent med 1/3. Og jeg føler jeg gjentar meg selv til det kjedsommelige når jeg sier at beviset som bruker 0.33.. ikke var det eneste på wikipedia. Det var mange andre som ikke benyttet seg av dette, men disse har du glatt valgt å ignorere.

 

Etter å ha lagt denne oppførselen for dagen så blir han mannevond og forsøker å likestille meg med religiøse, men han forstår ikke at det er hans egen argumentajson som i realiteten er likedan som religiøse argumenter der han bare påstår og påstår, og sier at to ulike tall er det samme tallet og forsøker å bevise dette med påstand om at to andre tall er like: som om denne påstanden er noe mere sann enn den forrige.

Ja, jeg kan ikke annet enn å sammenligne deg med religiøse ettersom de er de eneste jeg har observert som bruker samme argumentasjonsteknikk som deg og ikke forstår forskjellen på påstander og bevis.

 

Men nå, la oss prøve å bevise at 0.999... = 1 (er ekvivalent, for å ikke skape flere misforståelser). Det er et ganske enkelt bevis som DrKarlsen var så snill og minnet meg på. Og nå håper jeg du tar deg bryet med å sette deg ned og faktisk prøver å finne ut av hva som foregår. Jeg skal ta dette stegvis og så vil jeg at du skal si i hvilket steg du evt. er uenig med beviset. Men hvis du klarte deg bra i matte fram til matte1 som du sier så vil det meste her være kjent for deg fra videregående.

 

Først skriver vi bare 0.999... på en annen måte:

0.999... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... = 9/10 + 9/10^2 + 9/10^3 + ... + 9/10^n + ...

enig?

 

Så trekker vi ut (faktoriserer) 9:

0.999... = 9 * (1/10 + 1/10^2 + ... + 1/10^n + ...)

fortsatt enig?

 

Det vi nå har over kan egentlig skrives som en geometrisk rekke. En geometrisk rekke er en sum av mange tall som er multipler av seg selv. F.eks 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... er en geometrisk rekke hvor tallene er multipler av seg selv siden du må gange det foregående tallet med 1/10 for å få det neste.

 

Hvis vi antar at vi har en geometrisk rekke:

 

SUM[n=0..inf] (r^n * a0)

 

hvor 'r' her er lik multiplen (i vårt tilfelle 1/10) og 'a0' er det første tallet i rekken (i vårt tilfelle også 1/10). Denne rekken konvergerer hvis |r| < 1 så vår rekke må konvergere siden vår r = 1/10 < 1. Det viser seg også at for å finne summen som rekken konvergerer til så har man en formel:

 

a0 / (1 - r) [a0 = 1/10 og r = 1/10 for oss]

 

Nå kan vi sette opp rekken vår og finne summen den konvergerer til:

 

1/10 + 1/10^2 + ... + 1/10^n + ... = SUM[n=0..inf] ((1/10)^n * 1/10) = 1/10 / (1 - 1/10)

 

men vi har glemt å gange med 9-tallet som vi faktoriserte over så vi tar med det:

 

9 * (1/10) / (1 - 1/10)

 

da får vi:

 

0.999... = 9 * (1/10 + 1/10^2 + ... + 1/10^n + ...) = 9 * SUM[n=0..inf] ((1/10)^n * 1/10) = 9 * (1/10) / (1 - 1/10) = (9/10) / (9/10) = 9/9 = 1

 

Så du ser, 0.999... er bare en annen måte å skrive tallet 1 på, akkurat som 2/2 og 3/3 er andre måter å skrive tallet 1 på. Begge sider av likhetstegnet er ekvivalente, det samme. Det gjelder selvsagt også med 0.33... = 1/3

 

Nå, er det noe du ikke er enig i eller ikke forstod? Skrik ut.

Endret 16. oktober 2007 av teflonpanne

[fireofawakening]

teflonpanne: Metoden du bruker har definert deg utav problemet ved å gi deg en formel som lar deg kalle grensen som summen konvergerer imot for sum. Din oppgave er derimot å bevise et argument som lar deg sette likhetstegn mellom en uendelig rekke desimaler som går imot en grense og denne grensen. Du skal altså ikke bruke konvergensmetoden innen uendelige rekker for å vise at denne metoden støtter din påstand, men bevise at selve metoden er holdbar.

 

Me sjøl:

Hvis du gjør krav på at "uendelig" har en avgrensning og er definert matematisk så kan du enkelt vise dette ved å omgjøre den matematiske nomenklaturen formelen inneholder om til norsk for derretter å se om du er nødt til å bruke ord som "uendelig" i denne redegjørelsen.

[teflonpanne]

Jeg "kaller ikke grensen som den konvergerer mot for sum", jeg finner summen. Den formelen er også matematisk bevist. Hvis du ikke vil godta dette må du forkaste store deler av all moderne matematikk. Du er fortsatt like forvirret over uendelig ser jeg. For å sitere fra wikipedia om folk som ikke godtar at 0.99... = 1:

* Students are often "mentally committed to the notion that a number can be represented in one and only one way by a decimal." Seeing two manifestly different decimals representing the same number appears to be a paradox, which is amplified by the appearance of the seemingly well-understood number 1.[1]

* Some students interpret "0.999…" (or similar notation) as a large but finite string of 9s, possibly with a variable, unspecified length. If they accept an infinite string of nines, they may still expect a last 9 "at infinity".[2]

* Intuition and ambiguous teaching lead students to think of the limit of a sequence as a kind of infinite process rather than a fixed value, since a sequence need not reach its limit. Where students accept the difference between a sequence of numbers and its limit, they might read "0.999…" as meaning the sequence rather than its limit.[3]

* Some students regard 0.999… as having a fixed value which is less than 1 by an infinitely small amount.

* Some students believe that the value of a convergent series is an approximation, not the actual value.

 

Se f.eks på den siste.

 

Men dette gidder jeg ikke mer. Du tar feil. 100% feil. Du kan godt sitte å ignorere det i evigheter, eller så kan du prøve å forstå hvorfor du tar feil og faktisk lære deg noe nytt. Jeg driter i hva du tror. Hvem tror du taper på at du går rundt og er ignorant fordi egoet ditt er for stort til at du kan innrømme feil?

 

Hejdå.

[fireofawakening]

Jeg "kaller ikke grensen som den konvergerer mot for sum", jeg finner summen. Den formelen er også matematisk bevist. [...]

Du får forsøke å konsentrere deg, teflonpanne. Hvis det stemmer som du sier at der finnes bevis for denne formelen så er det nettop dette beviset du skal fremlegge og ikke "vise" at du kommer frem til din ønskelige konklusjon ved å bruke formelen. Hvis du har rett så skal det ligge ved bevis som ikke holder som premiss at 1/3 == 0.333... eller liknende, og den skal bevise nettop at dette er det samme tallet. Du har å vise til et slikt bevis og ikke komme trekkende med en uendelig rekke hvis formel har "definert" at en konvergerende rekke er lik den verdien den konvergerer imot. Hvis du ikke forstår dette, så er det en viss sjanse for "Me sjøl" forstår det og kan få trøkt det inn i skallen din, men jeg er ikke håpefull. Hvis du tenker litt så kanskje du ville forstått at hvis det faktisk fantes et slikt bevis så hadde det vert nettop dette som lå på wikipedias 0.999... artikkel istedetfor den rekkeformelen du bruker som bare har "definert" at to forskjellige tall er det samme tallet. Jeg regner ikke med at du forstår dette etter din prestasjon i denne tråden å dømme, men kanskje de andre leserne forstår det.

 

Nå er jeg ikke med her lenger, jeg heller!

Endret 16. oktober 2007 av vinterriket

[Me sjøl]

Jeg "kaller ikke grensen som den konvergerer mot for sum", jeg finner summen. Den formelen er også matematisk bevist. [...]

Du får forsøke å konsentrere deg, teflonpanne. Hvis det stemmer som du sier at der finnes bevis for denne formelen så er det nettop dette beviset du skal fremlegge og ikke "vise" at du kommer frem til din ønskelige konklusjon ved å bruke formelen. Hvis du har rett så skal det ligge ved bevis som ikke holder som premiss at 1/3 == 0.333... eller liknende, og den skal bevise nettop at dette er det samme tallet. Du har å vise til et slikt bevis og ikke komme trekkende med en uendelig rekke hvis formel har "definert" at en konvergerende rekke er lik den verdien den konvergerer imot. Hvis du ikke forstår dette, så er det en viss sjanse for "Me sjøl" forstår det og kan få trøkt det inn i skallen din, men jeg er ikke håpefull. Hvis du tenker litt så kanskje du ville forstått at hvis det faktisk fantes et slikt bevis så hadde det vert nettop dette som lå på wikipedias 0.999... artikkel istedetfor den rekkeformelen du bruker som bare har "definert" at to forskjellige tall er det samme tallet. Jeg regner ikke med at du forstår dette etter din prestasjon i denne tråden å dømme, men kanskje de andre leserne forstår det.

 

Nå er jeg ikke med her lenger, jeg heller!

Nå fant jeg et fra wiki som dere tydeligvis ikke har fått med dere:

 

The meaning of "…" (ellipsis) in 0.999… must be precisely specified. The use here is different from the usage in language or in 0.99…9, in which the ellipsis specifies that some finite portion is left unstated or otherwise omitted. When used to specify a recurring decimal, "…" means that some infinite portion is left unstated. In particular, 0.999… indicates the limit of the sequence (0.9,0.99,0.999,0.9999,…) (or, equivalently, the sum of all terms of the form 9 × 0.1k for integers k=1 to infinity).

 

Dette er altså definisjonen på elipsen. Det er altså lov å anta at denne uendelige serien er den samme som tallet 0.999..., siden den er definert slik.

 

Du sier videre at to forskjellige tall er det samme tallet. Det kan høres ut som du begår feilen å anta at et tall har en unik desimalrepresentasjon, men det er ikke sant. 1.0 og 1.00 og 1/1 og 10/10 er alle samme tall.

 

Videre lurer jeg på om du kan bevise at 1 og 0.999... er forskjellige tall når vi antar at de begge er standard, reelle tall. Kan du ikke si meg differansen mellom tallene? For om den absolutte differansen mellom to tall ikke er positiv, så er tallene like.

[Jarmo]

Da er det slutt med uhøflige fraser og personfokusering. Flere poster bør redigeres og alleslags kallenavn bør fjernes. Vi er vel siviliserte folk, antar jeg...?

Spark ballen og ikke mannen sier nå jeg...

[chokke]

Så dersom 0.99... = 1, da må vel 0.99... * 2 = 2? Det blir da vitterlig feil, siden det blir 1.99...8.

Ta den, verdens ledende matematikere!

[Me sjøl]

Så dersom 0.99... = 1, da må vel 0.99... * 2 = 2? Det blir da vitterlig feil, siden det blir 1.99...8.

Håper det var spøk, for det er umulig. Det kan ikke være et åttetall på slutten av en uendelig rekke niere, for rekken av niere slutter ikke.

[chokke]

Så dersom 0.99... = 1, da må vel 0.99... * 2 = 2? Det blir da vitterlig feil, siden det blir 1.99...8.

Håper det var spøk, for det er umulig. Det kan ikke være et åttetall på slutten av en uendelig rekke niere, for rekken av niere slutter ikke.

Var nok et (dårlig) forsøk på en spøk ja. Men to nitall vil ende med et 8-tall på slutten, uansett hvor langt det er.