Samme omkrets - ulikt areal?

[phfjeld]

Nå er det mulig jeg er helt på jordet, men i såfall er de tre flinkeste mattelærerene og alle mine medelever det også.

 

Man må trykke på bildene forresten, orker ikke/ser ikke noe behov for å ordne dette da det ikke har noen relevans til mitt spørsmål (;

 

Hvordan kan to rektangler med samme omkrets ha ulikt areal?

Se for deg følgende:

 

Rektangel As korte sider måler 3 CM, de lange sidene er 7 CM lange.

Rektangel Bs korte sider er 4 CM, de lange sidene er 6 CM.

Figurene ser dermed slik ut.

 

Omkrets av rektangel A (AO) = (3*2) + (7*2) = 20
Omkrets av rektangel B (BO) = (4*2) + (6*2) = 20

Figurene har altså samme omkrets.

 

Areal av rektangel A (AA) = 3 * 7 = 21
Areal av rektangel B (BA) = 4 * 6 = 24

Figurene har ulikt areal.

 

Se nå for deg at vi "bretter ut" firkanten til en lang strek (20 CM).

Så kommer problemet:

 

Hvis vi nå ruller denne streken sammen til en sirkel burde jo den ene av sirklene (sirkel B) ha større areal også?

Det har den jo ikke?

 

Hvor blir det av de 3 CM fra rektangel B?

 

Takk for svar.

[gaardern]

Altså, at de "sammenrullede" strekene har samme areal, er det samme som å si at nettop omkretsen er lik, ikke arealet av de opprinnelige rektanglene.

Endret 25. mai 2007 av gaardern

[Xell]

En sirkel er den geometriske form som har størst areal i forhold til omkrets.

Siden vi har:

 

O=2pi*r

og

A=pi*r^2

så kan vi utlede

A=O^2/(4*pi)

 

Altså vil man ikke kunne endre arealet på en sirkel så lenge omkretsen holdes konstant.

 

For firkanter så har vi

O=x+x+y+y=2x+2y

og

A=x*y

 

siden omkretsen holdes konstant har vi at dersom vi øker lengden på den enen siden (x) må vi redusere lengden på den andre siden (y) tilsvarende.

 

Ved å bestemme at omkretsen er konstant kan vi beskrive den ene siden (y) ved omkretsen og den andre siden (x)

 

y=1/2*O - x

 

Arealet av firkanten kan da beskrives ved:

 

A=x*y=x*(1/2*O - x) = 1/2*O*x - x^2

 

Siden vi har sagt at O er konstant kan vi altså finne ut arealet som en funksjon av x (den ene siden). Ved å tegne opp denne grafen vil man se at den har en topp, altså et maksimalt areal ved en bestemt x. For firkanter har man maksimalt areal når x=y altså når den er kvadratisk.

 

Så de 3cm forskjell på de to firkantene skyldes altså at man beveger seg langs grafen til funksjonen for arealet ved en gitt omkrets.

 

Håper noe av dette var i nærheten av forståelig.

[phfjeld]

En sirkel er den geometriske form som har størst areal i forhold til omkrets.

Siden vi har:

 

O=2pi*r

og

A=pi*r^2

så kan vi utlede

A=O^2/(4*pi)

 

Altså vil man ikke kunne endre arealet på en sirkel så lenge omkretsen holdes konstant.

 

For firkanter så har vi

O=x+x+y+y=2x+2y

og

A=x*y

 

siden omkretsen holdes konstant har vi at dersom vi øker lengden på den enen siden (x) må vi redusere lengden på den andre siden (y) tilsvarende.

 

Ved å bestemme at omkretsen er konstant kan vi beskrive den ene siden (y) ved omkretsen og den andre siden (x)

 

y=1/2*O - x

 

Arealet av firkanten kan da beskrives ved:

 

A=x*y=x*(1/2*O - x) = 1/2*O*x - x^2

 

Siden vi har sagt at O er konstant kan vi altså finne ut arealet som en funksjon av x (den ene siden). Ved å tegne opp denne grafen vil man se at den har en topp, altså et maksimalt areal ved en bestemt x. For firkanter har man maksimalt areal når x=y altså når den er kvadratisk.

 

Så de 3cm forskjell på de to firkantene skyldes altså at man beveger seg langs grafen til funksjonen for arealet ved en gitt omkrets.

 

Håper noe av dette var i nærheten av forståelig.

8698198[/snapback]

 

Takk!

Haha, gleder meg allerede til å demonstrere for mattelæreren, 6'eren er i boks!

[gaardern]

Nå er det mulig jeg er helt på jordet, men i såfall er de tre flinkeste mattelærerene og alle mine medelever det også.

 

Lærerene dine påstår at lik omkrets = likt areal ?

[@ir]

Nå er det mulig jeg er helt på jordet, men i såfall er de tre flinkeste mattelærerene og alle mine medelever det også.

 

Lærerene dine påstår at lik omkrets = likt areal ?

8699697[/snapback]

 

Det stemmer jo ikke

[phfjeld]

Nå er det mulig jeg er helt på jordet, men i såfall er de tre flinkeste mattelærerene og alle mine medelever det også.

 

Lærerene dine påstår at lik omkrets = likt areal ?

8699697[/snapback]

 

Det stemmer jo ikke

8700743[/snapback]

 

Nettopp!

Men fikk klarhet i problemet nå, takket være Xell.

[kloffsk]

Hadde min sønn eller datter hatt en av dine lærere i matematikk, tror jeg at jeg ville vært mer skeptisk enn Hume selv.

Endret 4. juni 2007 av kloffsk