Bli flink i matte - på 1 , 2, 3 !

[V_B]

Er det noen som sitter på noen greie tips til divisjon?. Enkle runde tall har jeg ikke problemer med. Men så snart det kommer stykker som ser ca. slik ut: 37 / 11 får jeg problemer med hoderegning.

8597979[/snapback]

 

Kan prøve å forklare en grei måte å tenke det på, dette innebærer at man kan litt ganging.

 

Vi starter med å regne hvor mange ganger vi får 11 i 37.

 

11*3 = 33

11*4 = 44

 

I dette tilfelle er det 3 ganger.

 

Nå står vi igjen med tallet 4, ettersom vi har brukt opp tallene opp til 33 (37-33=4)

 

Ettersom 11 er større enn 4, så må vi nå bruke desimaler.

Siden vi har gått over til desimaler så kan vi sette en 0 bak 4 tallet, så dermed har vi nå 40/11 = 3

 

altså svaret vårt til nå er 3.3

 

40 - 33 = 7

 

70/11 = 6

 

svaret til nå er 3.36

 

70-66 = 4

 

40/11 = 3

 

svaret er nå 3.363 (trenger aldri mer enn 3 desimaler)

 

 

 

Håper du forstod tankegangen, vist ikke så er det bare å spørre.

 

Ps; med litt øving, så sitter nok dette bra =)

Endret 13. mai 2007 av Vbrattla

[arne69]

Hei Melisma

Trikset ditt for å regne sammen to like tosifrede tall som ender på 5 var smart. Det var noen som syntes det var vrient å få med seg forklaringen din, så la meg også forsøke å hjelpe. Jeg elsker matte - har alltid gjort det. Skriver derfor dette i håp om at noe av gleden kan smitte over på andre.

 

Eksempelets makt er kanskje nyttig. Se på mønsteret.

 

Det du sier er at :

15 x 15 = 225 fordi 1x2 = 2 (og 25 skal stå til slutt).

25 x 25 = 625 fordi 2x3 = 6 (og 25 skal stå til slutt).

35 x 35 = 1225 fordi 3x4 = 12 (og 25 skal stå til slutt).

45 x 45 = 2025 fordi 4x5 = 20 (og 25 skal stå til slutt).

55 x 55 = 3025 fordi 5x6 = 30 (og 25 skal stå til slutt).

65 x 65 = 4225 fordi 6x7 = 42 (og 25 skal stå til slutt).

75 x 75 = 5625 fordi 7x8 = 56 (og 25 skal stå til slutt).

85 x 85 = 7225 fordi 8x9 = 72 (og 25 skal stå til slutt).

95 x 95 = 9025 fordi 9x10 = 90 (og 25 skal stå til slutt).

 

Dette forutsetter bare at man kan den lille gangetabellen.

 

OK - de som har forstått det som står frem til hit, kan følge med videre. De som fortsatt strever med å forstå det som står over, kan kanskje få slippe å lese videre. For nå blir det bittelitegrann vanskeligere.

 

----

 

For nå har jeg nemlig tenkt å røpe enda en "magisk" sammenheng, som riktignok er hakket vanskeligere, men som tar utgangspunkt i det dere allerede vet:

 

Vi vet nå at 35 x 35 = 1225

 

En mindre enn 35 er 34, og en mer enn 35 er 36. Mon tro hva svaret blir hvis vi multipliserer disse to tallene, altså:

34 x 36 = ?

 

Prøv å regne ut dette på kalkulator.

Jeg får at svaret er 1224.

 

Pussig, det er jo nesten akkurat det samme som 35 x 35, bare en mindre!

 

Hva om vi multipliserer 33 x 37 (altså to mindre enn 35 med to mer enn 35)?

 

På kalkulatoren får jeg at 33 x 37 = 1221, altså fire mindre enn 35 x 35 som var 1225. Fire er to i annen. Hva om det er sånn at tre mindre enn 35 multiplisert med tre mer enn 35 gir 1225 minus tre i annen, altså 1225 minus 9? Jo, det er faktisk sånn.

 

---

 

Jeg satte inn et lite pause-symbol her igjen, for jeg antar at dette ble nok for en del av dere. De som vil lese videre, kan hente seg en kopp med noe godt å drikke og lese enda litt videre:

 

---

 

Kan dette brukes til å gjøre hoderegning enklere?

 

Se på følgende eksempler:

 

69 x 71= ?

Det skulle etter regelen over bli en mindre enn 70 ganger 70.

 

Altså: 69 x 71 = 4900 - 1 = 4899. Stemmer det? (Regn på kalkulator!) Magisk?

 

Noen flere eksempler:

 

99 x 101 = en mindre enn 100 ganger 100 (altså 9999)

98 x 102 = fire mindre enn 100 ganger 100 (altså 9996)

25 x 35 = tjuefem mindre enn 30 ganger 30 (altså 875)

 

Med andre ord kommer man veldig langt med den lille gangetabellen og litt subtraksjon!

 

---

 

Nå har jeg lyst til å forklare hvorfor dette blir sånn. Poenget med matte er å forenkle, slik at det blir lettere å se sammenhenger. Men noen ganger kan det virke vanskeligere om man forenkler. Det kan være at noen av dere vil mene at det blir vanskeligere nå, for jeg skal nemlig bruke såkalte likninger og bokstavregning for å forklare den "magiske" sammenhengen. Til dere som nå faller av lasset: fortvil ikke, dere klarte å henge med så langt. Les heller det som står over en gang til, og stopp her. Se på det som en seier hvis dere lærte noe dere ikke tidligere visste. Likninger og bokstavregning kan dere lære mer om en annen gang!!

 

---

 

Nå for de "viderekomne": Jeg forutsetter altså i fortsettelsen at dere kan litt om likninger og bokstavregning. Nå skal jeg nemlig "forenkle" ved å si at bokstaven stor X betyr det samme som et tosifret tall, f.eks. 35. Videre skal vi huske på at et tall multiplisert med seg selv også kan kalles "kvadratet" av dette tallet, altså tallet "i annen". Det er ikke så lett å skrive dette i form av vanlig tekst her på denne diskusjonssiden. Vanligvis skal da to-tallet stå litt høyere på linjen når det betyr "i annen". Men jeg får ikke det til. Jeg lar derfor her to-tallet skille seg ut ved å være større enn de andre tallene, som uttrykk for at jeg egentlig mener "i annen".

Eksempel: 35 x 35 = 352

Dessuten: X x X = X2

 

Da er regelen den at:

 

(X-1)(X+1)=X2-1

Dette leses på følgende måte: X minus 1 ganget med X pluss 1 er lik X i annen minus 1.

 

Hvis vi så bytter ut tallet 1 med bokstaven liten a, får vi følgende generelle regel:

(X-a)(X+a)=X2-a2

 

Dette er faktisk en generell regneregel som ofte skrives med bokstavene a og b i stedet for henholdsvis X og a:

(a-b)(a+b)=a2-b2

 

I vårt eksempel gir det følgende sammenhenger:

(X-1)(X+1)=X2-1

(X-2)(X+2)=X2-4

(X-3)(X+3)=X2-9

(X-4)(X+4)=X2-16

 

Forklaringen på at det virkelig er slik ser vi ved å løse opp parantesen til venstre i likningen, f.eks.:

(X-4)(X+4) = ?

 

De som har klart å følge med så langt vet antakelig at man ved hjelp av vanlige regneregler kan løse opp parantesene på følgende måte:

(x-4)(x+4) = X2 -42

 

----

 

Helt til slutt har jeg lyst til å røpe hvordan det aller første eksempelet til Melisma faktisk kan forklares matematisk:

 

Hvis vi skriver opp hennes regel i form av en formel, får vi følgende:

 

(X + 5)2 = X (X + 10) + 25,

der X er et helt tall delelig med 10 (f.eks. X = 10, 20, 30, 40...)

 

La oss kalle dette Melismas formel

 

Prøv å løse opp parantesene på begge sider av likhetstegnet, så vil dere se at dere i begge tilfeller kommer frem til:

X2 + 10X + 25

 

Den generelle regneregelen som gjelder her er:

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

 

Siste eksempel: Vi går tilbake til det aller første eksempelet til Melisma og prøver å regne ut 35 x 35 ved hjelp av Melismas formel. Da lar vi X være lik 30 og setter inn i formelen:

(30 + 5)2 = 30 (30 + 10) + 25

Vi summerer nå det som står inne i parantesene og får:

352 = 30x40 + 25

 

30 x 40 er 1200, så da blir det endelige svaret 1225!

 

Arne

 

PS: Dette var antakelig dagens lengste innlegg i forumet... Håper likevel noen har glede av det!

Endret 13. mai 2007 av arne69

[V_B]

Oi, slik at jeg aldri sett på det :O

Takker for ett bra innlegg Arne

[arne69]

Ja, bestemte meg for å begynne enkelt i håp om at de som er like dårlige som meg i matte ikke skal bli så redde for tall og regning

 

Selv var jeg utrolig dårlig i matte..

 

kan jeg spørre dere om hvordan dere ville tenkt eller regnet ut feks. 71x61 ?

8577975[/snapback]

 

71x61 = 70x60 + 1x70 + 1x61 = 4200 + 70 + 61 = 4270 + 61 = 4331

 

33x27 = 30x20 + 7x30 + 27x3 = 600 + 210 + 81 = 891

 

Men det kommer selvsagt ann på hvor god man er til å håndtere tall i hodet. "Metoden" jeg viser her går jo bare på å omskrive regnestykket til hele tiere og mindre multiplikasjoner og legge disse sammen. Det er jo forsåvidt ikke no "triks".

 

Ellers kan jeg nevnte at 11-gangen er jo 10-gangen + 1, altså 54x11 = 54x10 + 54 = 540+54 = 594. Men hvis 540+54 er sikkert vanskelig å ta i hodet for mange, da er jo den metoden trådstarter beskriver enklere.

8578990[/snapback]

 

Enig i at 71 x 61 bør regnes ut slik Gaardern skriver hvis man skal ta det i hodet. Poenget med hoderegning er nemlig å regne fra venstre mot høyre, i motsetning til hvordan vi gjør det når vi skriver. Egentlig kan regnestykket skrives om på følgende måte:

 

(70 + 1) x (60 + 1) = ... og ved vanlige regneregler for å løse opp parantesen følger at dette gir:

70 x 60 +

70 x 1 +

1 x 60 +

1 x 1

=

4200 + 70 + 60 + 1 = 4331

 

La oss ta et litt vanskeligere eksempel:

78 x 54 =

 

70x50 + 70x4 + 8x50 + 8x4 = 3500 + 280 + 400 + 32 = 4212

 

Triks for å få til dette i hodet:

Regnestykket består av fire sifre: 78 x 54 (altså 7, 8, 5, 4). 

Gjør følgende:

1. Multipliser de to sifrene som er lengst fra hverandre (7 og 4), samt de to sifrene som er nærmest hverandre (8 og 5) og legg sammen disse to tallene (28 + 40 = 68).
Ta en bitteliten pause for å være sikker på at du husker dette tallet (se det for deg)!

Du skal nå videre bruke sifferet 6 i trinn 2 og sifferet 8 i trinn 3.

2. Multipliser 7 x 5 (ti-erne) og legg til det første sifferet fra svaret i trinn 1:
7x5=35, pluss 6 er lik 41.
NB: Du vet nå at det endelige svaret sannsynligvis begynner med 41... (to sifre mangler).

3. Multipliser 8 x 4 (enerne) og legg til ti ganger det andre sifferet fra svaret i trinn 1:
8x4=32, pluss 80, og vi får da 112. 
Her hadde det vært enklest hvis svaret i trinn 3 ble mindre enn hundre, men i eksempler som her må hundrern vurderes som "i mente" og legges til svaret i trinn 2. 

4. Det endelige svaret består av 
hundrerne: 41 + 1
og til slutt: 12 (de to siste sifrene)

Altså: 4212

 

Arne

[666=TRIPPLE-SEX]

Omg. Var desverre ikke den tråden her jeg hadde håpet på når det kommer til matte. Jeg kunne gjøre alt fett jeg i matte men jeg strøyk i matte pga lignings stykker så det blir privat skole til høsten.

 

Jævli fatti men men samma faen. Skulle ha fått min velsignelse om du begynnte å lære ligninger her i denne tråden. I og med at tråden heter bli flink i matte.

[doofhetz]

Fikk meg en liten ahaopplevelse der. Bra forklart arne69.

Har aldri tenkt på gangestykker iform av kvadratsetningene, men jeg ser jo at det fort gjør hoderegning med store tall en del lettere.

 

Kunne du kommet med litt mer udtyping av delestykker og flere eksempler på hoderegning. Føler det siste eksempelt du tar (78x54), blir like lett/vanskelig å regne på den generelle måten. Det var derfor jeg var litt kritisk til melisma sine metoder, nettopp fordi det ble for mange steg til å ta i hodet.

[Melisma]

merkelig.. jeg synes de andre forklaringene her var vanskelige for mitt hode og skjønne haha, jeg trenger det enkelt og greit barneskole stadiet liksom

[3evel]

Prøv å forklar dette til en dysletiker så ville du revet av deg håret av fortvilelse..Selv om du sikkert har litt tålmodighet...

 

Jeg har selv dysleksi og jeg skjønte ikke en drit av det du prøver å forklare her..selv om det sikkert virker enkelt for de fleste her inne...

8561630[/snapback]

jeg har dysleksi.. jeg skjønner alt jeg har så sterk dysleksi at jeg fikk pc av skolen eller 15 000 til å kjøpe en

[arne69]

Hoderegning på 1, 2, 3 - øvelse gjør mester. For dyslektikere og andre som ønsker en samlet oversikt eller repetisjon, har jeg skrevet opp alle reglene for multiplikasjon av to tosifrede tall som er gjennomgått tidligere i denne tråden.

 

Helt til slutt er det noen øvingsoppgaver.

NB! helt essensielt å regne på oppgaver hvis man vil lære seg dette!

 

----

 

Regler for multiplikasjon av to tosifrede tall:

1. Det holder å kunne den lille gangetabellen.

2. Det hjelper å "se" regnestykkene for seg i hodet.

3. Hvis det fins en forenkling av regnestykket, så vurder å bruke den.

4. Ikke bruk for mye tid på pønske ut forenklinger av regnestykket...

5. Hvis det ikke fins en forenkling av regnestykket, så bruk "standardmetoden" (se nedenfor)

 

--

 

Utdypning av punkt 3:

Tre forenklinger som kan vurderes:

 

i. Kvadratet av et tosifret tall som ender på 5 (f.eks. 35x35):

Svaret består av tieren ganget med en mer enn tieren (altså 3x4=12 i dette eksempelet), samt 25 til slutt (altså 1225 i dette eksempelet).

Altså:

15 x 15 = 225

25 x 25 = 625

35 x 35 = 1225

45 x 45 = 2025

55 x 55 = 3025

etc

 

ii. Hvis forskjellen mellom de to tallene som skal multipliseres er et lite partall og på "hver sin side" av et helt ti-tall (f.eks. 49x51, 28x32, 79x81 eller 68x72), så kan du raskt regne ut produktet ved å kvadrere ti-tallet (henholdsvis 50, 30, 80 eller 70 i eksemplene i forrige parantes) og trekke fra kvadratet av "avstanden" til tier'n (helholdsvis 1, 4, 1 og 4).

Altså:

49x51 = 50x50 - 1 = 2499

28x32 = 30x30 - 4 = 896

79x81 = 80x80 - 1 = 6399

68x72 = 70x70 - 4 = 4896

Dessuten:

56x64 = 60x60 - 16 = 3584

15x25 = 20x20 - 25 = 375

85x95 = 90x90 - 25 = 8075

83x77 = 80x80 - 9 = 6391

etc

 

iii. Multiplikasjon av et tosifret tall (f.eks. 68) med 11 gjøres ved legge sammen det tosifrede tallet multiplisert med 10 (68x10) med tallet (altså: 680 + 68).

Altså: 68x11 = 68x10 + 68 = 680 + 68 = 748

I enkle tilfeller (hvis tverrsummen av det tosifrede tallet er mindre enn 10), er svaret på regnestykket et tresifret tall der tverrsummen av det tosifrede tallet plasseres i midten og venstre og høyre siffer beholdes, f.eks. 34x11=374 (3+4 er 7, som plasseres i midten).

Altså:

54x11=594

12x11=132

89x11=979 (8+9 er 17, så 1 må legges til det første sifferet og 7 plasseres i midten)

 

I vanskeligere tilfeller (hvis tverrsummen av det tosifrede tallet er 10 eller mer), må vi gjøre som i det siste eksempelet (89x11).

Flere eksempler:

76x11=...? (tverrsummen er 7+6=13, så 1 må legges til det første sifferet og 3 plasseres i midten)

Svaret er altså: 76x11=836

84x11=924

 

(*****Ekstrautfordring

Enda vanskeligere, for de som vil ha en ekstra utfordring:

Det morsomme er at man kan gjøre akkurat det samme for å multiplisere et tresifret tall med 11:

 

Eksempel: 234x11=?

I enkle tilfeller er svaret et firesifret tall bestående av 2??4, der spørsmålstegnene er henholdsvis summen av de to første sifrene og summen av de to siste sifrene: altså 2+3=5 og 3+4=7.

 

Hvis noen av summene blir mer enn 10 må 1 legges til "i mente", f.eks.:

834x11=9174 (det første sifferet i svaret måtte være 9 i stedet for 8 fordi 8+3>10, og de to midterste sifrene i svaret ble henholdsvis 1 og 7 fordi 8+3=11 og 3+4=7)

 

slutt på ekstrautfordringen*****)

 

--

 

Utdypning av punkt 5:

"Standardmetoden" for multiplikasjon av to tosifrede tall

(Her er bare eksempler på bruk av "oppskriften" - hvis man vil forstå hvorfor det går an å gjøre som vist i eksemplene, må man nok lese tidligere innlegg om dette i denne tråden. Men det skulle ikke være nødvendig å forstå alt... prøv likevel om du får dette til ved å følge logikken i eksemplene! Dette er den universelle metoden for å regne ut produktet av hvilke som helst to-sifrede tall!)

 

Eksempler:

68x43=?

Mellomregning: 6x3 + 8x4 = 50, husk 5 og 0 (5 hundrere og 0 tiere)

Endelig utregning:

Hundrerne er 60x40=2400 + 5 hundrere "i mente" (=2900), og

resten er 8x3 (pluss 0 tiere "i mente") = 24, altså er svaret 2924

 

73x94=?

Mellomregning: 7x4 + 3x9 = 55, husk 5 og 5 (NB det eneste du må huske!)

Hundrerne er 70x90=6300 + 5 hundrere "i mente" (=6800), og

resten er 3x4 pluss 5 tiere "i mente" = 62, altså er svaret 6862

 

46x87=?

Mellomregning: 4x7 + 6x8 = 76, husk 7 hundrere og 6 tiere "i mente"!

Hundrerne blir da: 40x80 +7 hundre = 3900, og

resten er 6x7=42 + 6 tiere = 102... oops, når det blir mer enn hundre må hundreren legges til hundrerne, altså er svaret 4002.

 

12x23=?

Mellomregning: 1x3 + 2x2 = 07, husk 0 hundrere og 7 tiere

Svaret består av hundrerne 10x20=200, samt

2x3=6, pluss 7 tiere, altså 76. Til sammen: 276.

 

----

 

Øvingsoppgaver

(økende vanskelighetsgrad)

35x35=

35x11=

65x65=

75x75=

70x80=

19x21=

29x31=

23x24=

55x87=

63x98=

etc (skriv opp flere regnestykker, prøv å regne i hodet og sjekk svaret med kalkulator)

 

Når du har fått litt trening, så prøv å skrive opp ti regnestykker og ta tiden på hvor lang tid du bruker på å regne ut svarene!

 

Lykke til!

 

Arne

[specnaz91]

Arne du er en fryd for dette forumet, tusen takk, holder på med din metode nå .

[nabbskall]

Jaja, dette var jo ikke så altfor lett....

 

 

Får vell bare se livet mitt passere, mens jeg fortsetter å få 2'ere i matte...

[arne69]

Har laget et lite javascript, i tilfelle noen har lyst til å øve seg i hoderegning med to-sifrede tall:

Mattomaten - multiplikasjon med tosifrede tall!

 

 

Si fra hvis dere vil at det skal være mulig å registrere navn og resultat i en ti-på-topp-liste eller lignende.

 

Arne

[varmit]

Et tips fra meg:

 

Det nytter ikke, til en fiss grad, å lese matte.

Man må gjøre oppgaver.

Jeg pleier å gjøre fjordårets heldagsprøve en gang til som øving ti den neste.

[arne69]

Både og. Jeg trodde jeg kunne en del matte (har blant annet grunnkurs i matte på universitetet), men merker at det meste har gått i glemmeboken. De siste dagene har jeg tittet litt på regneregler og forklaringer på matematikk.net og brukt dette til å klare oppgaver på Matteknekker'n. Og jeg tror både oppgavelesing og ren "teori"-lesing er nødvendig, hånd i hånd.

 

Det virker som de fleste i dette diskusjonsforumet er langt yngre enn jeg ( ) og kanskje vil ha mer glede av førstnevnte enn sistnevnte lenke. Men Mattomaten kan nok de fleste klare! Noen som har prøvd den og har lyst til å si sin mening? Husk regnereglene for multiplikasjon med tosifrede tall, post 29.

[Ingeniørstudent]

Skal man bli bedre i matte så er det bare hard jobbing jevnt og trutt som hjelper imo.

Men fint med en guide her for de som må ha det med teskje

[Goscinny]

Haha! Mange artige gimmicks her! Mitt årskull og eldre trenger ikke å kunne hoderegning på videregående (kanskje med unntak av muntlig eksamen hvor en kan briljere litt). Her har man jo kalkulatoren hele tiden! Det har gjort at jeg er ganske avhengig av den. De som er ett år yngre enn meg (de som er født i 1990) har todelt tenamen - en del med og en uten kalkulator og hjelpemidler (mulig det bare var på en prøve på skolen min, da ). Da er jo disse reglene ganske greie.

 

Jeg er relativt elendig i hoderegning. Det jeg sliter med er å huske ett tall mens jeg tar en annen utregning i hodet. Altså hvis jeg skal ta delestykker i hodet slik som Vbrattla sier i innlegg nummer 21, sliter jeg skikkelig. Dersom jeg kan skrive ned, er det hele en smal sak, men hvis ikke sliter jeg. Dette kan kanskje trenes opp, men det trenger jeg ikke siden jeg hele tiden har tilgang til Casio-en. Ganske dumt, egentlig.

 

Artige guider, Melisma!

 

Goscinny

 

Goscinny