Hva skjer med kulen?

[LostOblivion]

Jeg tenker på funksjonen jeg. Hvordan ville den blitt om man slapp en gjenstand fra avstand s_i fra en partikkel med masse, men som er uendelig liten.

[dravisher]

LostOblivion: Det har vel Chub allerede svart på. Siden dette uendelig lille objektet høres veldig ut som et sort hull, vil gjenstanden forsvinne inn i det sorte hullet, og det kommer ikke ut igjen med det første.

 

Edit: Det var kanskje funksjonsuttrykket s(t) du var ute etter. Ble litt usikker her, men når man opererer med et sort hull vil vel dette bli relativistisk når gjenstanden nærmer seg?

Endret 25. april 2007 av dravisher

[Chub]

Regner med LostOblivion bare tenker på s(t) i fritt fall mot et massesenter, og ser bort i fra at vi faller "inn" i gjenstanden. Synes ikke vi kan begynne på relativistiske effekter og Schwarzschildsmetrikk i denne tråden, så vi ser på det helt Newtonsk, det gir enkelt en differensialligning:

 

a = GM/r^2

 

En diff.ligning jeg ikke er mann til å løse (selv om den sikkert er enkelt for de som kan den)...

Så her må jeg sende ballen videre til de som er mer matematisk anlagt enn meg.

[Pe2]

Skal man løse dette, antar man (feilaktig) at Jorden har en konstant tetthet, så bruker man Newtons gravitasjonslov og stiller opp den i Newtons 2. (Gidder ikke utlede nøyaktig, er vel ikke TeX i dette forumet?). Gauss lov for gravitasjon sier at bare massen i kuleskallet innenfor deg bidrar med tyngdeakselerasjon, så du må finne et uttrykk M® som gir massen innenfor en gitt radius inni Jorden, dette bruker du det vanlige uttrykket for massetetthet til å finne.

Da ender man opp med en enkel diff. ligning som ser slik ut:

 

a = -GMr/R^3  ,hvor R er Jordens radius.

 

Dette gir løsningen:

 

s(t) = A cos(kt +phi) hvor k= sqrt(GM/R^3)

 

Intertialbetingelsne gir phi=0 og A=R.

 

Altså:

 

s(t) = R cos(kt)

 

En pen harmonisk svingning.

 

Føl dere fri til å dobbelsjekke dette, jeg garanterer ingenting...

 

EDIT: Fortegnsfeil.

8462617[/snapback]

 

Da har du ikke tatt hensyn til at kulen nødvendigvis må bevege seg i et system som roterer. Og dermed vil vi få ekstra krefter som vil gi en bevegelse normalt på rotasjonen og hastigheten.

 

Litt usikker på hvor mye det har å si, men det vil påvirke bevegelsen slik at den får en spiralaktig bane gjennom jorden.

[Chub]

Da har du ikke tatt hensyn til at kulen nødvendigvis må bevege seg i et system som roterer. Og dermed vil vi få ekstra krefter som vil gi en bevegelse normalt på rotasjonen og hastigheten.

 

Litt usikker på hvor mye det har å si, men det vil påvirke bevegelsen slik at den får en spiralaktig bane gjennom jorden.

 

I slike tankeeksperiment ser man (selvfølgelig) bort i fra coriolis-krefter, luftmotstand og hva-det-nå-enn-måtte-være, da kjernen i oppgaven ikke omhandler rotasjonen, men fall gjennom massiv kule.

 

Derimot OM man også skulle regne med rotasjon, ville ikke det gå å slippe en kule gjennom et hull gjennom Jorden, siden kulen ville kræsje i en av veggene. Og om man da igjen skal se bort i fra veggene, regner jeg med kulen ville endt opp i en elliptisk bane med stor eksentrisitet rundt Jordens massesenter, og ville aldri passert Jordens massesenter.