Mattenøtter for store og små

[eivind lunder]

I mangel av tex og de greiene der, blir dette stygt:

 

La oss anta at vi har to grenseverdier, lim(x-->b) f(x) = R og lim(x-->b) f(x) = U. Anta at U ikke er lik R. Vi velger en µ>0 slik at |R-U|/3 = µ.

 

|R-U| = |R-U+f(x)-f(x)| = |(R-f(x)) + (f(x)-U)|

|R-U| er mindre eller lik |f(x)-R| + |f(x)-U|. For hver µ>0 vi velger, hører en £>0, slik at 0<|x-b|<£, slik at |f(x)-R| er mindre eller lik µ og |f(x)-U| er mindre eller lik µ, som gir |R-U| < 2µ

|R-U| + µ < 3µ

|R-U| + µ < 3(|R-U|/3)

|R-U| + µ < |R-U|, noe som ikke er sant for µ > 0. Dette viser at vår opprinnelige antakelse er feil, enhver grenseverdi er unik.

 

Sånn ca. riktig? Har sett beviset før og husket derfor litt.

Endret 25. mars 2007 av eivind lunder

[DrKarlsen]

Det ser relativt greit ut dette.

[eivind lunder]

Kult!

 

Ny nøtt: Vis at det er uendelig mange primtall.

Endret 25. mars 2007 av eivind lunder

[endrebjo]

Slikt finner man jo på Wikipedia hvis man har lyst.

[eivind lunder]

Ja, dårlig nøtt.

 

Ny og bedre nøtt: Vis at i en rekke av 18 tresifrete tall som følger etter hverandre i tallrekka vil i det minste ett av tallene være slik at tverrsummen deler tallet.

[eivind lunder]

Svært så lite nøtteinteresserte folk det er, da, det er jo påske!

 

Påskenøtt: Vis at 26 er det eneste tallet som ligger mellom et kvadrat, a^2, hvor a er et heltall, og en kube, b^3, hvor b er heltall.

[DrKarlsen]

Det var litt av en påskenøtt. Spørs om så mange som ikke har vært borti algebraisk tallteori klarer den... (Hvis de ikke har sett beviset før, noe jeg ikke kan nekte for at jeg har gjort.)

 

Eller, vi kan selvsagt referere til "Fermat Elliptic Curve Theorem", som sier at vi bare har en løsning, men det kan jo være artig å friske opp beviset selv:

 

Oppgaven er den samme som å finne alle heltallsløsninger til

x^3 = y^2 + 2

vi kan faktorisere høyresiden;

x^3 = (y - sqrt(-2))(y + sqrt(-2))

Videre kan vi jobbe i heltallsringen Q(sqrt(-2)), dette er en imaginær kvadratisk kropp, og derfor har vi et teorem som sier at de eneste enhetene er +1 og -1, slik at både y - sqrt(-2) og y + sqrt(-2) er tredjepotenser. Vi vil altså vise at de to faktorene er relativt primiske. Q(sqrt(-2)) er videre et unikt faktoriseringsområde.

 

Vi vet at gcd(y-sqrt(-2),y+sqrt(-2)) | [(y - sqrt(-2)) - (y + sqrt(-2))] = -2sqrt(-2) = (sqrt(-2))^3.

Siden sqrt(-2) er et primtall i Q(sqrt(-2)), må dermed gcd'en være en potens av sqrt(-2).

 

Hvis y er et partall, vil 4 dele y^2, slik at y^2 + 2 er et heltall som ikke er delelig på 4, men dette er umulig for en tredjepotens. ((2k)^3 = 8k^3, som tydelig er delelig på 4.)

Derfor må y være odde, men dette går ikke i Q(sqrt(-2)), så vi konkluderer med at gcd = 1.

 

Det finnes et elementært teorem som sier at hvis x^n = a*b, med gcd(a,b) = 1, så må også a og b være n'te potenser, så derfor må y - sqrt(-2) og y + sqrt(-2) være tredjepotenser.

 

Videre i ringen Q(sqrt(-2)) er heltallene på formen a + b*sqrt(-2) med a,b heltall, derfor har vi

y + sqrt(-2) = (a + b*sqrt(-2))^3 = (a^3 - 6ab^2) + (3ba^2 - 2b^3)*sqrt(-2), som videre gir at

1 = (3ba^2 - 2b^3) = b(3a^2 - 2b^2). Da må b = +\- 1, og 3a^2 - 2 = +\- 1, så a = +\- 1.

 

Derfor har vi nå y + sqrt(-2) = (sqrt(-2) + 1)^3 eller y + sqrt(-2) = (sqrt(-2) - 1)^3.

Løser vi disse for y får vi y = +\- 5, som var det vi ønsket. Dette er de eneste løsningene, så vi har at y^2 + 2 = (+\-5)^2 + 2 = 27 = 3^3 = x^3.

Endret 2. april 2007 av DrKarlsen

[eivind lunder]

WOW! Meget imponerende, DrKarlsen!

 

Har ikke lest så mye gruppe-/ringteori enda, falt litt av i de krappeste svingene, så jeg stoler på at beviset ditt er korrekt. Trodde faktisk ikke at man trengte å gå så dypt...kjør på med ny nøtt!

[DrKarlsen]

Jeg kan ikke komme på å ha sett noen enklere måte å vise dette på, men så er det en god del jeg har glemt av slike triks.

 

Teorien om grupper/ringer/kropper er utrolig spennende, så hvis du har tid og vilje burde du sette deg inn i det, en kan vise mange uventede ting med denne teorien.

 

Jeg går ned noen hakk i vanskelighetsgrad, men fortsetter med elementær tallteori:

 

Vis at m^2 + 7n^2 = 30 ikke har heltallsløsninger.

[eivind lunder]

Har boka A First Course in Abstract Algebra av John B. Fraleigh som det leses på. For tiden går det i sykliske grupper

 

Løsningsforslag: m^2 + 7n^2=30. Bruker modulus 7, m^2=2 (mod 7), da ser vi at m=+-3 eller m=+-4, setter inn det i den originale likningen og får n=+-sqrt(3) og n=+-sqrt(2), noe som ikke er et heltall. m^2 vil alltid kunne skrives på formen m^2=7k+2, for k=1,2,3,... Substiterer vi det for m^2 i den originale likningen og løser for n, får vi n=sqrt(4-k), som vi kan bruke for k=1,2,3,4 siden vi jobber i Z, som vil være heltall for k=3, men da vil ikke m være heltall, så likningen har ingen heltallsløsninger.

Endret 3. april 2007 av eivind lunder

[DrKarlsen]

Har 2. og 7. (tror jeg?) versjon av den boka selv. Liker den meget godt.

 

Kan du utdype at m^2 = 7k+2 ?

[Haelas]

Begynner og bli en sånn Real matte nerd tråd

 

Kan det være noen nøtter for de som ikke er utdannet mattematiker

[aspic]

Begynner og bli en sånn Real matte nerd tråd 

 

Kan det være noen nøtter for de som ikke er utdannet mattematiker

8318078[/snapback]

Einig, eg har liksom 2MX, og forstår ikkje beret av kva dykk pratar om..

[eivind lunder]

Har 2. og 7. (tror jeg?) versjon av den boka selv. Liker den meget godt.

 

Kan du utdype at m^2 = 7k+2 ?

8300436[/snapback]

7. versjon her.

 

Vel, m^2 = 2 (mod 7), da vil jo det kunne skrives som m^2 = 7k+2, for k heltall. Vet ikke helt hva du vil ha, jeg. [20 = 2(mod 3), 20 = 3(6)+2]

 

Beklager sent svar.

 

Bzerk1337: Man trenger absolutt ikke å være utdannet matematiker for å løse disse nøttene.

Endret 8. april 2007 av eivind lunder

[aspic]

Bzerk1337: Man trenger absolutt ikke å være utdannet matematiker for å løse disse nøttene.

8331488[/snapback]

Okei, så kor bør ein starte for å lære seg slik rekning dykk gjere på slutten her? =o

[eivind lunder]

Bzerk1337: Man trenger absolutt ikke å være utdannet matematiker for å løse disse nøttene.

8331488[/snapback]

Okei, så kor bør ein starte for å lære seg slik rekning dykk gjere på slutten her? =o

8331670[/snapback]

Du kan f.eks. lese om det her.

[Haelas]

Eller her

[Henrik87]

Noen som kan hjelpe meg, vi bli VELDIG takknemlig

 

1. Lag tabell til begge funksjonene og tegn grafen til funksjonene i samme system.

 

a) y=2x-3

 

b) y=-7,8x+12

 

 

ta med tabellen...

[aspic]

Altså, du ber oss i hovudsak løyse ei oppgåve for deg? Sidan dette ikkje hadde noko som helst med mattenøtter å gjere. Eg orkar ikkje å løyse ei oppgåve for deg (før du truligst ikkje har prøvd sjølv). Her er i alle fall eit hjelpemiddel til oppgåva, om du ikkje har skikkeleg kalkulator.

 

http://www.coolmath.com/graphit/index.html

[DrKarlsen]

Enig med aspic. Proev en av mattehjelp-traadene, der kan du sikkert faa grafen din.

 

 

eivind! Ny noett!