Fjerdegradsligning, nullpunkt og kryssningspunkt?

[MC2]

Lurer på hvis det er noen pent alegrabisk måte å finne x coordinaten til første nullpunktet (evt. siste) på en fjerdegrads ligning, som har fire nullpunkt. (Uten å bruke kalkulator).

 

I akkurat dette tilfellet er funksjonen: f(x) = x^4 - 8x³ + 18x² - 8x - 3

 

Koordinatene til de to andre nullpunktene er points of inflextion (vet ikke hva det heter på norsk), men er når f''(x) = 0 (andre derivasjonen).

 

Eller:

Hvordan finner jeg ut hvor f(x) = x^4 - 8x³ + 18x² - 12x + 24 krysser g(x) = -4x + 27 for første eller siste gang. Dem krysser fire ganger.

 

Koordinatene til de to andre kryssningspunktene er points of inflexsion (vet ikke hva det heter på norsk), men er når f''(x) = 0 (andre derivasjonen).

Endret 6. februar 2007 av MC2

[Janhaa]

Lurer på hvis det er noen pent alegrabisk måte å finne x coordinaten til første nullpunktet (evt. siste) på en fjerdegrads ligning, som har fire nullpunkt. (Uten å bruke kalkulator).

I akkurat dette tilfellet er funksjonen: f(x) = x^4 - 8x³ + 18x² - 8x - 3

Koordinatene til de to andre nullpunktene er points of inflextion (vet ikke hva det heter på norsk), men er når f''(x) = 0 (andre derivasjonen).

Eller:

Hvordan finner jeg ut hvor f(x) = x^4 - 8x³ + 18x² - 12x + 24 krysser g(x) = -4x + 27 for første eller siste gang. Dem krysser fire ganger.

Koordinatene til de to andre kryssningspunktene er points of inflexsion (vet ikke hva det heter på norsk), men er når f''(x) = 0 (andre derivasjonen).

7886646[/snapback]

 

Newtons approksimasjonsmetode er nok den enkleste (numeriske) måten å finne nullpunktene på.

Men siden du spør om algebraisk metode sender jeg en link, vdr løsning på 4. gradslik. Egentlig ikke så vanskelig (hvis oppskriften følges), men tunga må holdes rett i munnen.

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_equation

 

f(x) = g(x) løses på vanelig måte, bare samle alt på venstre- sida - og en litt annen 4. gradslikning genereres.

 

 

f '' (x) heter vendepunkter på norsk.

 

http://www.matematikk.net/ressurser/per/pe...lag.php?aid=418

 

Hvis 4. gradspolynomer deriveres 2 ganger fås jo 2. gradspolynomer. Og i ditt tilfelle en 2. gradslikning som løses lett vha ABC-formelen.

[MC2]

Takk for svar. Har sett på den løsningen før, men det finnes en annen måte.

 

Hvis man har fjerdegradsligninen, koordinatene til vendepunktene (r og s) og vet at den har fire nullpunkt, så er dette sitasjonen:

ax^4 + bx³ + cx² + dx + e = (x - r)(x - s)(x - t)(x - u)

 

Da er t og u x koordinatene til de to andre nullpunktene. Den lignina øver blir forkortet til en andregradsligning som man enkelt kan løse for t og u.

Endret 8. februar 2007 av MC2