A*sin(w*t)+B*sin(w*t) -> C*sin(wt+phi)

[kyrsjo]

Som tittelen sier, hvordan gjør man følgende omskrivning:

A*sin(w*t)+B*sin(w*t) -> C*sin(w*t+phi)

 

Ønsker å skrive om den spesifikke løsningen av en difflikning til en enkelt sin/cosinus-funksjon med en fase...

 

EDIT: Om det går (generellt) da. Har hørt rykter om det

EDIT2: la til noen * for klarhetens skyld

Endret 27. november 2006 av kyrsjo

[trøls]

Slik du har skrevet det blir C=A+B og phi=0. Men du mener kanskje at det skal være forskjell på sinusleddene på venstre side - annet enn amplitude?

[kyrsjo]

oops. leif.

 

mente selvsagt:

A*sin(w*t)+B*cos(w*t) -> C*sin(w*t+phi)

[GeO]

Regner med dette er noe annet enn det vi har drevet med i 3MX nå? Uttrykket så jo helt likt ut, men jeg regner med du jobber på et litt høyere nivå enn som så ...

 

Edit: Det vi har drevet med er altså omskrivning slik du skriver over, og der C = sqrt(A² + B²) og tan(phi)=B/A (bruker enhetssirkel for å finne den rette av de to vinklene).

Endret 28. november 2006 av TwinMOS

[kyrsjo]

Ser det, og når du sier det, så står det skrevet i 3MX-formelsamlingen min

 

Så da var det bare å sette i gang å bevise da

[GeO]

Åhoi, skjønner hva du mener. Læreren vår var veldig misfornøyd med at det ikke stod noen "skikkelig" utledning av den i boka vår, så han demonstrerte like godt tre forskjellige fremgangsmåter på tavla da vi skulle gå gjennom det.Tror det var få som hang med på slutten av den timen.

[kyrsjo]

Hadde en 3MX-lærer som var motstander av bevis... Hun gjennomgikk (nesten) alle bevisene på tavla i løpet av to-tre timer, hele klassen satt under pulten (russetid) i en av dem...

[DrKarlsen]

Skal vise: A*sin(w*t)+B*cos(w*t) -> C*sin(w*t+phi)

 

Se på addisjonsformelen til sinus;

sin(a+b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)

 

Jeg lar w*t = u her, så slipper jeg å skrive så mye.

Vi vil altså få A*sin(u) + B*cos(u) på formen C*sin(u+phi)

 

sin(u+phi) = sin(u)cos(phi) + sin(phi)cos(u).

dvs. A = cos(phi) og B = sin(phi)

 

Videre ser vi at C = sqrt(A^2 + B^2).

 

Bruk dette, så finner du fort ut at det er riktig.

[kyrsjo]

Fant også en annen, geometrisk måte å vise det på for et par dager siden. Gikk på å omskrive den ene sinusen/cosinusen til "omvendt" funksjon (slik at man fikk to sinus eller cosinus-ledd), og så "felle" de opp til to vektorer som roterte rundt, og sto 90° på hverandre.

 

Derifra fulgte resten lett

[GeO]

Vi brukte også en geometrisk utledning, der du skriver om uttrykket som et skalarprodukt av to vektorer. Den ene er [cos(x) , sin(x)] og den andre er de respektive koeffisientene i uttrykket. Vinkelen mellom vektorene blir x-phi (hvis du bruker phi som faseforskyvning i det nye uttrykket).

 

Litt vrient å forklare dette, merker jeg.