Funksjoner over det komplekse plan

[kyrsjo]

Jeg har ikke hatt noe kompleks analyse, men koser meg litt med enkle funksjoner i det komplekse plan likevel.

 

Ta funksjonen

z = x² = (a+ib)² = a² + i*2ab - b²

Re(z) = a² - b²

Im(z) = 2ab

 

Noen fine plott av funksjonen:

 

Re(z):

Im(z):

Begge i samme plott:

 

Anyway, prøver å (analytisk) finne en funksjon som beskriver for hvilke x=a+ib de er like. Setter

Re(z) = Im(z) =>

a²-b² = 2ab =>

a² - 2ab - b² = 0

 

Da jeg ikke umiddelbart ser hva dette er, skriver jeg om polynomet (matlab-notasjon av matrisene!):

[a b] [1 -1; -1 -1] [a;b] = 0

Diagonaliserer matrisa, starter med å finne egenverdiene. Får (L betyr lambda):

(1-L)(-1-L) - 1 = -1 -L +L +L² -1 = L² -2 = 0 => L = ±sqrt(2)

 

Diagonalmatrisa blir da (f.eks) [sqrt(2) 0; 0 -sqrt(2)], og P en eller annen ekkel matrise (jeg regna ut egenrommet til L=sqrt(2), ikke helt pent), altså får vi på ett-eller-annet rotert og antagelig strukket koordinatsystem med koordinater (y1, y2):

sqrt(2)*y1 - sqrt(2)*y2 = 0 => y1 = y2

 

Hmm... En rett linje igjennom origo. Greit nok. Men dersom vi går opp og ser på det nederste plottet, har vi *to* rette linjer igjennom origo. Wtf?

[kyrsjo]

nevermind. Funksjonen over det alternative koord-systemet er jo faktisk sqrt(2)*y1² - sqrt(2)*y2² = 0 => y_1 = ± y2, og alt er bare fryd und gammen.

 

Forøvrig så normaliseres egenvektorene i P, så de blir ikke strukket, noe som medfører at linjene står 90° på hverandre, slik figuren viser.

[kyrsjo]

Et lite spm:

Hva er navnene på flatene i plott 1 (x²-y²) og plott 2 (x*y)?

 

Begge er vel iogforseg sadelflater, men hva heter de?

[trøls]

En fin måte å analysere romlige figurer på, er å sette én variabel lik en konstant, og se hva slags kurve man får ut.

 

z=x²-y²

 

Plan parallelle med xy-planet: z=k => x²-y²=k , altså hyperbler.

Plan parallelle med yz-planet: x=k => k²-y²=z => z=-y²+c , altså parabler.

Plan parallelle med xz-planet: y=k => x²-k²=z => z=x²+c , altså parabler.

 

Denne kalles derfor hyperbolsk paraboloide, om jeg husker rett.

 

z=xy har jeg ikke vært borti før.