Hvor lang tid varer fallet? - En gravitasjonsnøtt

[[email protected]]

Dette emnet er inspirert av tråden:

 

Sylinder gjennom jorda...hvordan ville det funket?

 

Jeg synes problemstillingen er interessant men syntes diskusjonen kokte litt bort i geologi...

 

 

Her er mitt problem:

 

Vi har en punktmasse M (Forenkling av Jorda) og en punktmasse m (Forenkling av deg selv).

 

Vi observerer alt som skjer ut i fra M.

 

Vi tenker oss nå at vi slipper m i en avstand r (tenk gjerne på r som jordradien R) fra M uten startfart, og at m kan falle fritt (gravitasjonskraften er den eneste kraften som virker) mot M og også FORBI M.

 

Dette fallet kan være en forenkling av å falle i vakuum ned i en sylinder langs Jordas akse.

 

Vil dette bli en pendelbevegelse?

Hva blir perioden på pendelbevegelsen?

Hvor lang tid vil falle ta fra ytterpunkt til ytterpunkt?

Hvordan kan man uttrykke bevegelsene matematisk med funksjoner og grafer?

- kraft

- akselerasjon

- fart

eller

- strekning

med hensyn på tid

 

I hvilken grad er det mulig å gjøre et slikt forsøk?

- praktisk/teknologisk mulig

- mulig ut fra naturlovene

 

Til slutt må jeg si at jeg selv ikke har konkrete svar på disse spørsmålene, men har tenkt litt på de.

[kyrsjo]

Kan jo gi deg formlene, så kan du integrere selv

 

Gaus's gravitasjonslov gir at det kun er massen du har innenfor deg som trekker på deg. Det medfører at dersom du anntar at hele jorda har tetthet

rho = Mjord/Vjord, så blir gravitasjonskraften

F = G*Minnenfor*Mifrittfall/r^2, hvor Minnenfor er gitt ved

Minnenfor = rho*Vinnenfor = (Mjord/Vjord)*((4/3)*pi*r^3), hvor r er avstanden fra jordas senter. Dersom vi setter inn dette i F, får vi:

F = (G*Mjord*(4/3)*pi*r^2)/Vjord*r^2 = 4*pi*G*Mjord*r/Vjord.

 

Vi ser altså at innenfor jordskorpen øker kraften proporsjonalt med r.

 

For å finne hvordan dette beveger seg, er det bare å bruke F=ma, integrere, og eventuellt integrere en gang til for å få strekning. Men det er en "exercise to the reader"

 

Om du fremdeles lurer, kan du jo komme på astrofestivalen. Det kommer til å være en stand fra (blant annet) fysisk institutt der, og vi er alltid glade for spørsmål

[Torbjørn]

Hvordan kan man uttrykke bevegelsene matematisk med funksjoner og grafer?

 

En mini-start:

 

Det blir et ikketrivielt-trippelintegral å regne ut gravitasjonskraften etter hvert som du farer innover.

 

Du vil akselerere hele veien mot jordas sentrum, fordi du i netto hele tiden har mer masse foran deg enn bak deg.

 

I jordas sentrum er summen av grafitasjonskreftene null, og akselarasjonen er 0 og farten akkurat gjennom dette punktet er konstant

 

Etter dette vil du sakte bremses opp.

 

Perioden blir ikke like enkel som på overflaten, da g ikke er konstant.

 

Jeg ønsker ikke å starte å regne på dette. Er det noen av dere NTNU-ere som har Maple og vil gjøre en innsats?

 

EDIT: Masse-innenfor gjør det litt lettere etter å ha lest Kyrsjos post

Endret 8. november 2006 av Torbjørn

[kyrsjo]

Jaja, kan løse den på papir i løpet av noen minutter, maks Triviell oppgave egentlig - når man kan sin Gaus. Og det bør jo enhver fysiker