IQ-trim i Dagbladet

[29989]

I Dagbladets lørdagsmagasin kan man i dag finne en interessant oppgave i IQ-trimmen. Jeg sikter til den vanskelige oppgaven, der man ser 7 sirkelformede felter som ligger oppå hverandre. Man får oppgitt at den minste sirkelen har diameter d, og at avstanden fra omkretsen av en sirkel til omkretsen av den neste er d/2. Oppgaven er å finne to par av sirkel- eller ringformede figurer som har samme areal.

 

For å tallfeste arealet av de ulike sirklene kan man forestille seg at diameteren til den innerste sirkelen er 1, slik at den nr. n innerste sirkelen har diameter n. Arealet av den sirkelen vil være pi*(n/2)^2 = pi/4 * n^2. Fordi forholdet mellom arealene vil være det samme, kan man fjerne "koeffisienten" pi/4, og heller regne ut n^2 for de 7 sirklene. Man får da:

 

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49

 

Oppgaven er altså å finne to figurer, en sirkel og/eller en/to ringformet(e) figurer (differansen mellom en sirkel og en mindre sirkel), og det er to løsninger. Det er ganske enkelt å finne løsningen ved å prøve seg frem:

 

Fordi det alltid må være med en ringfigur (det er umulig å finne to like store sirkler), kan begynne ytterst, med 49. Arealet blir da lik differansen mellom 49 og et av de andre kvadrattallene. For 1, 4 og 9 blir det umulig å finne en figur med like stort areal, siden at differansen mellom 49 og et annet kvadrattall ikke vil bli det samme og arealet dermed må være mindre enn eller lik 36. For 16 blir arealet 49 - 16 = 33, men da må kvadrattallet x i 36 - x = 33 være 3, hvilket ikke er mulig. For 25 får man 24, som da enten er 36 - x = 24 eller 25 - x = 24, og da finner man muligheten x = 1. Dersom x = 0, er det tale om en sirkel. Man fortsetter på samme måte, og finner til slutt for 25 at 25 - 9 = 16 - 0 eller 25 - 16 = 9 - 0. Her er altså den andre figuren en sirkel. Dermed er det vel egentlig 3 forskjellige løsninger, og ikke to, som det står i Dagbladet:

 

49 - 25 = 25 - 1

25 - 9 = 16 - 0

25 - 16 = 9 - 0

 

Uansett: det jeg lurer på, er om det er mulig å løse oppgaven uten å prøve seg frem, for eksempel ved hjelp av ligninger. Da må man løse ligningen x^2 - y^2 = a^2 - b^2, der x er større enn y og a er større enn b, og x, y, a og b er heltall fra og med 0 til og med 7. Akkurat denne oppgaven var lett å løse ved å prøve seg frem, men dersom man skal løse oppgaven for flere sirkler og finne flere løsninger, er det greit å ha en mer systematisk fremgangsmåte.

[29989]

Er det ingen som har noe forslag?

[DrKarlsen]

Jeg leste ikke hele oppgaven, men antar at du er ute etter å løse

x^2 - y^2 = a^2 - b^2

Dersom du har hatt litt tallteori vil dette hjelpe ganske mye.

(x-y)(x+y) = (a-b)(a+b)

 

Begge sider her er produkt av to tall som er differanse og sum av kvadrattall.

 

La oss se på to kvadrattall, si 25 og 9, her får vi altså x = 5 og y = 3.

(5-3)(5+3) = 2*8 = 16 = 4*4

Vi ser at vi kan skrive 16 som (4-0)(4+0), så x=5, y=3, a=4, b=0 er en løsning.

 

Se på 16 og 4. x = 4, y = 2

(4-2)(4+2) = 2*6 = 12 = 4*3, her kan vi ikke finne løsninger.

 

Se på 9 og 4. x = 49, y = 25

(7-5)(7+5) = 2*12 = 24 = 4*6

24 og 1 er greie tall, da vi har

24*1 = (5-1)(5+1)

Vi har altså

x=49, y = 25, a = 25, b = 1

 

Og slik kan du fortsette.

Endret 9. oktober 2006 av DrKarlsen