forklaring på grenseverdier?

[gspr]

"Metamatematikk" - matte møter filosofi og fantasi.

[inaktiv000]

Evt metamatikk Og naturligvis matemagi!

[sim]

"Metamatematikk" - matte møter filosofi og fantasi.

5857193[/snapback]

 

Dragvoll-matte!

[inaktiv000]

Haha "Hva føler du pi er i dag?"

[orginal]

Du leier en bil. Det koster 100 kr å leie den, + 5 kr pr kilometer. Du kjører 1000 km og vil regne ut den egentlige kilometerprisen:

 

100+5*1000

-------------- = 5,1

1000

 

Kjører du 100 000 000 000 km, blir snittprisen:

 

100 + 5*100 000 000 000

----------------------------- = 5,000 000 001

100 000 000 000

 

Kjører du enda fler kilometer, blir prisen mer lik 5, men den vil aldri bli 5, ettersom du må plusse på 100 kr ekstra.

 

-------------------------------------------------

 

Noe alà dette fikk vi (1AA) som eksempel på dette.......

[DrKarlsen]

Godt eksempel, dog ikke relevant til grenseverdier som omhandler uendelig. Hvis du kjører uendelig langt, vil du betale 5kr/km, men dette er selvfølgelig ikke mulig.

[gspr]

Her var det snakk om en lineær funksjon, men dersom funksjonen er eksponensiell får man ofte konvergens så raskt at en lett kan betrakte en lettbehandlelig endelig verdi som tilstrekkelig stor at den er tilnærmet uendelig. Dette er selvsagt ikke god matematikk, men fint i anvendte områder.

[bfisk]

For å gi et annet eksempel, som trådstarter kanskje finner forklarende:

 

Vi har følgende funksjon:

 

         x^2  +x -6
f(x) = --------------
              x-2

 

Vi plotter grafen:

 

Det ser ut til å være en rett, fin, lineær, og ikke minst kontinuerlig graf. La oss undersøke:

 

f(-1)=((-1)^2 -1 -6) / (-1-2) = -6/-3 = 2. Dette stemmer.

f(0)=(0^2 + 0 -6) / (0-2) = -6/-2 = 3. Dette stemmer også.

f(1)=(1^2 + 1 -6) / (1-2) = -4/-1 = 4. Dette stemmer også.

 

Det ser ut til at det ikke er noe i veien med denne problemstillingen så langt.

f(2)=(2^2 + 2 -6) / (2-2) = 0/0. Her er det noe muffens!

 

Vi ser tydelig at det ikke eksisterer noen verdi for f(2). Likevel ser vi på grafen at det burde bli f(2)=5. Hvordan kan dette ha seg? La oss prøve på noen tall som ikke er 2, men svært nærme. Vil vi komme nærme 5, da?

 

f(1,9)=4,9

f(1,99)=4,99

f(1,99999)=4,99999

 

f(2,1)=5,1

f(2,01)5,01

f(2,00001)=5,00001

 

f(2) = ?!??

 

Vi ser altså igjen at funksjonen ikke gir oss noen verdi for f(2). Vi får verdier for alle f(svært nærme 2), men ikke for f(2). For grafens vedkommende går streken uendelig nærme punktet (2,5), men er ikke i akkurat dette punktet. Så nærme, så nærme, men akk: punktet (2,5) er IKKE på grafen.

 

La oss nå tenke oss: hvis vi skulle forestille oss att grafen faktisk hadde vært kontinuerlig, altså gitt verdier for alle punkter, ville vi da fått f(2)=5? Vi ser tydelig av både grafen og utregninge at det var denne verdien vi ville fått. Vi sier det slik:

 

Når x nærmer seg 2, nærmer funksjonen f(x) seg 5.

 

Vi skriver det matematisk slik:

 

Dette er en grenseverdi. Det er ikke det samme som å si at f(2)=5, fordi f(2) finnes ikke. Litt abstrakt, men ikke helt umulig å skjønne.

 

Rent matematisk er det ikke særlig vanskelig å løse. Vi forkorter f(x) med (x-2), og kaller den g(x). Da blir g(x)=x+3. Merk igjen at f(x) er ikke LIK g(x), men likeheten er jo slående. Det er "samme funksjonen", bortsett fra at g(x) er kontinuerlig, og f(x) ikke er. Og hva er g(2)? Jo, nettopp 5.

 

 

Problemene begynner når man trekker inn "uendelighet". I tilfellet vi har pratet om kunne vi nærme oss og nærme oss og nærme oss (2,5), og det ble tydeligere jo nærmere vi kom. La oss si at vi skal nærme oss "uendelig". Det blir straks litt mer abstrakt å tenke på.

 

h(x)=1/x gir oss en funksjon som minker og minker når x øker og øker. Hvis vi øker x til 10, vil h(x) gi oss 0,1. Hvis vi øker x til 100.000 vil h(x) gi oss 0,000001. Vi ser at h(x) går mot null, men vi skjønner at uansett hvor mye vi øker, vil det aldri bli null. Her kommer uendeligheten inn: Hvis vi øker til uendelig, vil det bli null.

 

Om vi i praksis kan la noe bli uendelig er vel usikkert, men vi kan tenke oss det. Vi kan tenke oss at når x er uendelig, er h(x)=0.

 

Abstrakt? Ja. Mulig å anvende? Absolutt.

 

Håper dette kunne være til hjelp for å spore tankegangen litt inn på hva det dreier seg om

[DrKarlsen]

Kan forøvrig nevne at f(x) er kontinuerlig der den er definert. Altså, kontinuerlig for alle x bortsett fra x=2.

 

Forøvrig en fin forklaring.