Hva er galt med denne wronskianen?

[HolgerL]

Jeg har to funskjoner:

 

y1=sin x

y2=sin 2x

 

Jeg har et teorem som sier at om det finnes en verdi for x som gjør at wronskien til funksjonene ikke er null betyr det at wronskien aldri er lik null. (Bilde av teorem er vedlagt.)

 

Wronskien er W=y1*y2'- y2*y1' hvor ' betyr derivert.

 

y1'=cos x

y2'=2*cos 2x

 

W=sin x*2*cos 2x - sin 2x*cos x

 

Når x=1 er W noe annet enn null. Altså sier teoremet at W aldri er null. Men, når x=0 er W lik null.

 

Hva har jeg gjort galt?

[Torbjørn]

bildet gjengir ikke det du sier med ord.

 

bildet sier at hvis wronskien er forskjellig fra 0 for alle x ("every"), så ...

[HolgerL]

bildet gjengir ikke det du sier med ord.

 

bildet sier at hvis wronskien er forskjellig fra 0 for alle x ("every"), så ...

5731044[/snapback]

Det er dobbel implikasjonspil der. Altså gjelder det også den andre veien.

[JeffK]

Det ser ikke ut som om du har gjort noe feil. Er det noen flere bibetingelser?

 

Om du ser på det andre eksemplet her, så skjer det samme der.

[Torbjørn]

ser det ja

 

det virker rart. jeg husker fint lite fra wronskian desverre.

 

teoremet er kanskje feil?

[DrKarlsen]

Det der ser ut som et tilfeldig teorem. Hvis det finnes en x_0 sånn at W(x_0)=0, så vil W(x)=0 for alle x?

 

sin(x)*2*cos(2x) - sin(2x)*cos(x) = -sin^2(x)

som er 0 når x = pi*n, derfor er funksjonene lin.avh. når x har denne verdien, og ikke ellers.

[HolgerL]

Det ser ikke ut som om du har gjort noe feil. Er det noen flere bibetingelser?

 

Om du ser på det andre eksemplet her, så skjer det samme der.

5731389[/snapback]

Hmm, merkelig. Jeg synes både teoremet i boken min og (det samme) teoremet jeg postet i første innlegg helt klart sier at om det finnes én x hvor W=0, så er W alltid 0.

 

Her fant jeg teoremet igjen på nett.

 

http://www.sosmath.com/diffeq/second/linea.../linearind.html

 

Som du sier, det må være noe jeg har oversett. Hadde vært flott om noen oppdaget det eller opplyste meg på noen måte.

[....]

Det ser ikke ut som om du har gjort noe feil. Er det noen flere bibetingelser?

<{POST_SNAPBACK}>

Ja. y₁ og y₂ må begge være løsninger av ligningen y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0.

 

Her fant jeg teoremet igjen på nett.

 

http://www.sosmath.com/diffeq/second/linea.../linearind.html

<{POST_SNAPBACK}>

Som det står på nettsiden du refererer til: «If y₁ and y₂ are two solutions of the equation y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0, then W(y₁, y₂)(x) ≠ 0 for every x ⇔ ∃x₀ such that W(y₁, y₂)(x₀) ≠ 0».

Endret 10. februar 2012 av ....

[sim]

Herlig bump

Endret 18. november 2006 av sim