Likninger med parenteser, vanskelig oppgave

[willbend]

Det er 150 km fra by A til by B målt langs jernbanen. Kl. 1500 går det et persontog fra by A. Det bruker 3 timer til by B. Kl. 1600 går det et godstog fra by B. Det bruker 5 timer til by A. Togene møtes på stasjon C, som ligger i mellom A og B.

 

Hvor lang er det fra by A til stasjon C?

 

Dette er 10. klasse, kat. 3

Endret 14. januar 2006 av willbend

[svalbard]

Hvor lang er det fra by A til stasjon C?

5436833[/snapback]

 

Svaret er 112,5

[willbend]

Å tosk, jeg vil vite hvordan man regner det ut. Skjønte ikke det du.

[what_no2000]

Stasjonene ligger slik A - C - B.

 

Fart:

 

PersontogFart = 150 km/t / 3 t = 50 km/t

 

GodstogFart = 150 km/t / 5 t = 30 km/t

 

Lengde:

 

Siden LengdeFraATilC = 150 km må:

 

LengdeFraAtilC + LengdeFraCtilB = 150 km, som gir

 

LengdeFraAtilC = 150 km - LengdeFraCtilB (*)

 

Når er togene til C?

 

PersontogiC = 15 + tidFraATilC = 15 + LengdeFraAtilC / PersontogFart = 15 + LengdeFraAtilC / 50 (**)

 

GodstogiC = 16 + tidFraBTilC = 16 + LengdeFraBtilC / GodstogFart = 16 + LengdeFraBtilC / 30 (***)

 

Men vi vet også at der er der samtidig, dermed kan vi si:

 

PersontogiC = GodstogiC, fra (**) og (***) har vi et annet uttrykk for PersontogiC og GodstogiC som vi bytter ut med:

 

15 + LengdeFraAtilC / 50 = 16 + LengdeFraBtilC / 30, fra (*) har vi et annet uttrykk for LengdeFraAtilC som vi bytter ut med:

 

15 + (150 - LengdeFraBtilC ) / 50 = 16 + LengdeFraBtilC / 30, dermed har vi en ligning med bare en ukjent

 

Så må vi "bare" regne ut den ligningen:

 

15 + (150-LengdeFraBtilC ) / 50 = 16 + LengdeFraBtilC /30

 

(150-LengdeFraBtilC ) / 50 - LengdeFraBtilC / 30 = 16 - 15

 

150/50 - LengdeFraBtilC/50 - LengdeFraBtilC/30 = 1

 

3 + (-30*LengdeFraBtilC - 50*LengdeFraBtilC)/(30*50) = 1

 

3-1 = -(-30*LengdeFraBtilC - 50*LengdeFraBtilC)/(30*50)

 

2 = 80*LengdeFraBtilC /1500

 

2*1500/80 = LengdeFraBtilC

 

37,5 = LengdeFraBtilC

 

Men vi ville ha LengdeFraAtilC, bruk (*):

 

LengdeFraAtilC = 150 km - LengdeFraCtilB

 

LengdeFraAtilC = 150 km - 37,5 km = 112,5

[what_no2000]

Essensen er vel dette:

 

Fart:

 

Ren regning.

 

Lengde:

 

Ren ligning med en ukjent.

 

Når er togene til C?

 

Det vanskligste er vel her.

 

Vi greier å finne en ligning som sier når de to togene er i C basert på lengden til C:

 

PersontogiC = 15 + tidFraATilC = 15 + LengdeFraAtilC / PersontogFart = 15 + LengdeFraAtilC / 50

 

GodstogiC = 16 + tidFraBTilC = 16 + LengdeFraBtilC / GodstogFart = 16 + LengdeFraBtilC / 30

 

Siden vi vet at de er i C samtidig "PersontogiC = GodstogiC" får vi en ligning som beskriver forholdet mellom LengdeFraAtilC og LengdeFraBtilC:

 

15 + LengdeFraAtilC / 50 = 16 + LengdeFraBtilC / 30

 

Siden vi igjen har en enkel ligning mellom LengdeFraAtilC og LengdeFraBtilC, nemlig "LengdeFraAtilC = 150 km - LengdeFraCtilB" byter vi ut LengdeFraAtilC og får en ligning med en ukjent :

 

15 + (150 - LengdeFraBtilC ) / 50 = 16 + LengdeFraBtilC / 30

 

Så må vi "bare" regne ut den ligningen:

 

Ren ligning med en ukjent (men jeg regnet feil første gang).

 

Men vi ville ha LengdeFraAtilC, bruk (*):

 

Ren ligning med en ukjent.