Sannsynlighet - en enkel oppgave

[Torbjørn]

Jeg håpet du skulle innse at idet du velger har du mange å velge fra. sjansen er liten. sjansen er fortsatt liten selvom det kommer en programleder og leser opp de andre som heller ikke var riktige.

 

De vet du jo er der likevel, enten han leser dem opp eller ikke.

[VikingF]

På grunn av det VikingF (tror jeg) resonerte på forrige side.

 

Vi har at det er et rett valg ( R ) og to gale valg (G1 og G2). Det finnes ialt 3 mulige utfall:

 

1) Man tar det rette valget ( R ) og programlederen avslører et av de to andre gale (G1 eller G2).

2) Man velger G1, og programlederen avslører G2.

3) Man velger G2, og programlederen avslører G1.

 

Det er bare i utfall 1) som man vinner på å beholde sitt opprinnelige valg, mens både i utfall 2) og 3) så må man ombestemme seg for å vinne. Selv om man har valgt R, G1 eller G2 i starten og programlederen har avslørt et galt alternativ, så vet man fremdeles ikke om det er utfall 1), 2) eller 3) som er tilfelle, så utfallsmengden er fremdeles 3 og hvert av de tre utfallene er fremdeles like sannsynlige.

 

I 2/3 av tilfellene er det lurest å ombestemme seg og i 1/3 av tilfellene gjør man lurest i å beholde sitt opprinnelige valg.

 

Ok, forklar meg hvorfor dette blir det samme, har lest det i uthevet skrift mange ganger, men får det ikke til å stemme

 

edit: dette må tilsie at man ikke får vite hvilken dør som er "fake", men får vite at en av dem er det?

5430283[/snapback]

 

 

Altså, utfallsmengden er ikke antall dører, men antall scenarioer.

 

De tre som jeg skrev er de ulike scenarioene/utfallene, og når man har tatt et valg og en gal dør er avslørt, så er fremdeles samtlige av de tre scenarioene/utfallene like sannsynlig. Mao, det er ikke avslørt noe som sier om det er scenario 1, 2 eller 3 som er tilfellet. Selv om ant dører har minsket så har ikke antall mulige scenarioer minsket.

 

Derfor er det 2/3 sjanse for å måtte bytte for å vinne.

P=Antall(2,3)/Antall(1,2,3)=2/3

[ManagHead]

Skjønte det i dag, tenkte på det før jeg stod opp

 

Fant ut på den 1000 lodd - saken, at det er alltid 999/1000 sjanse for at lodde er i boksen, selv om 998 gale blir tatt ut... Så når jeg tok den så skjønner jeg og den andre.

 

Noen som har en formel for dette?

[Torbjørn]

se den innerste quoten til forige post av Viking'en

[gaardern]

Formelverket som trengs er veldig enkelt:

P(ikke valgt) = 1 - P(valgt)

 

Det man derimot må skjønne, er at P(ikke valgt) forblir 2/3 pågrunn av at programlederen viser deg en luke som har 0 sjangs for å være riktig.

Hvis han hadde vist deg den luken med premie i, hadde den luken du kunne bytte til hatt sannsynlighet 0.

 

Hvis heller ikke programledrern visste hvor premien var, og den han viser tilfeldigvis er tom, da hadde det blitt 1/2.

[krister461]

Hvis heller ikke programledrern visste hvor premien var, og den han viser tilfeldigvis er tom, da hadde det blitt 1/2.

5431791[/snapback]

[gaardern]

Hvis heller ikke programledrern visste hvor premien var, og den han viser tilfeldigvis er tom, da hadde det blitt 1/2.

5431791[/snapback]

5431885[/snapback]

 

Ola per og Kari trekker hver sitt lodd. Ett av disse er vinnerlodd.

Kari viser sitt lodd, det var feil.

Hvor stor sjangs har Ola og Per? 1/2

 

Dette er det samme som at programlederen ikke vet hvor premien ligger og

tilfeldigvis viser deg en tom. (Her representert ved at Kari ikke vant)

 

Prøver å forklare hva som skal til for at det skal bli 50/50 sjangs, men hvis man ikke ser forskjellen på denne typen oppgave, og det som faktisk skjer i Mony Hall-oppgaven, så skjønner man det bare ikke. Hvis Ola og Per VET at Kari alltid har uflaks og trekker feil lodd, da blir det slik som Monty.

Endret 13. januar 2006 av gaardern

[krister461]

Beklager, leste feil! Trodde det stod 1/3 der...1/2 er selvfølgelig rett!

[gaardern]

okei da er vi enige

[orjanbeats]

Etter mine beregninger er det 50% sjangse for at vinnerloddet er i lomma ( i oppgave 2) fordi det er jo et av de to loddene, uasnett hvor mange det var i utganspunktet.

5318196[/snapback]

 

 

Men hvordan kan det bli forskjellige sannsynligheter i de to tilfellene? I begge tilfellene munner det jo ut i 2 alternativer hvor det ene er det gunstige...

Endret 26. april 2006 av orjanbeats

[Ole_Brumm]

Morsom lesning. Prøver meg på en oppfølger:

 

En enda mer utspekulert programleder gir deg to konvolutter. Du får beskjed om at det er penger i begge to, og at det er dobbelt så mye i den ene som i den andre konvolutten. Du skal få velge en konvolutt og beholde pengene i den.

 

Du velger den ene, åpner den, og ser at det er 100 kroner i den.

 

Programlederen gir deg nå valget: Du kan få gi fra deg den konvolutten og få den andre i stedet.

 

I den andre konvolutten er det altså 50kr med 50% sannsynlighet eller 200kr med 50% sannsynlighet. Forventet verdi er altså 50kr + 200kr / 2 = 125kr. Og da lønner det seg jo å bytte, eller? Men hva er det vi har lært som skulle tilsi det?

 

Hva er feil med resonnementet? Lønner det seg å bytte?

[JBlack]

Drittsekk! Resonnementet er åpenbart feil. Men jeg klarer ikke å finne feilen.

 

Grunnen til at resonnementet er feil er at det gjelder uten at man åpner konvolutten. Tar man en konvolutt, så er summen x. Bytter man så satser man .5x og kan vinne 1.5x med 50% sansynlighet. Man vinner altså 3 ganger innsatsen med 50% sansynlighet. Forventing blir da 1.5 ganger innsatsen. (Innsatsen av en hundrelapp er 50 kroner. Forventet gevinst er 1.5*50kr=75kr. 50kr + 75 kr = 125 kr som hos Ole_Brumm. Bare for å vise at denne alternative måten å sette det opp på gir samme resultat.)

 

Problemet er at jeg har ikke åpnet og sett på innholdet. Jeg har bare valgt en konvolutt. Og uansett hvilken konvolutt jeg har valgt, uten å se på innholdet, så lønner det seg å bytte. Og det virker for meg åpenbart at sånn kan det ikke være. Så resonnementet må være feil. Men hvordan?

[trøls]

Hvis man setter opp sannsynlighetstre, hvor X er største mulige beløp, blir det slik:

 

          ------ X
    X ---
 -        ------ X/2
--
 -        ------ X
    X/2 -
          ------ X/2

 

Med forventningsverdi 3X/4 uansett hvilken konvolutt man velger i første omgang.

 

Jeg lurer på om man har blandet to scenarioer som ikke bør blandes - 100 kroner kan ikke være både minste og største beløp på en gang. Enten er det 50 og (X=)100 kroner i konvoluttene, eller så er det (X=)200 og 100. (Innholdet i den ikke-valgte konvolutten endres altså IKKE underveis.) I begge tilfeller vil forventningsverdien være 3X/4, uavhengig av hvilken konvolutt man velger først, som vi så av treet ovenfor.

 

Men jeg skjønner fortsatt ikke helt hvorfor Ole_Brumms greie blir feil...

Endret 19. mai 2006 av trøls

[freerun]

Det som skal til for at det blir 50/50 er at den luken som programleder velger bort, tilfeldigvis var feil. Men i vårt tilfelle er den alltid feil, noe du også vet på forhånd.

 

 

Hvordan blir dette når jeg overfører denne tanken til

 

1000 skrapelodd i en bøtte som jeg selger. Jeg tar lodd 1 først, så selger jeg 998 lodd som ingen vinner på(jeg vet ikke hvilke som vinner). Burde jeg da bytte? I dette tilfellet er det jo tilfeldig hvilket lodd som er trukket ut. . .

 

Da er det hipp som happ om jeg bytter eller ikke?

[oppvaskkost]

Det som skal til for at det blir 50/50 er at den luken som programleder velger bort, tilfeldigvis var feil. Men i vårt tilfelle er den alltid feil, noe du også vet på forhånd.

 

 

Hvordan blir dette når jeg overfører denne tanken til

 

1000 skrapelodd i en bøtte som jeg selger. Jeg tar lodd 1 først, så selger jeg 998 lodd som ingen vinner på(jeg vet ikke hvilke som vinner). Burde jeg da bytte? I dette tilfellet er det jo tilfeldig hvilket lodd som er trukket ut. . .

 

Da er det hipp som happ om jeg bytter eller ikke?

Sannsynligheten for at du ikke trakk vinnerloddet er 999/1000. Forutsatt at ingen av de 998 loddene som deretter trekkes er vinnerloddet, er sannsynligheten for at vinnerloddet fortsatt ligger i bøtta akkurat den samme, altså 999/1000. Sannsynligheten for at du har vinnerloddet i lomma er usle 1/1000. Valget om bytting burde dermed være enkelt.

[freerun]

gaardern mener motsatt hvis jeg har fortsått han riktig?

 

Kan noen bekrefte dette?

 

Det viktige her er om utvelgelsen er tilfeldig eller styrt. Hvis det er en som velger bort taperloddene er jeg iallfall enig med deg.

[oppvaskkost]

gaardern mener motsatt hvis jeg har fortsått han riktig?

 

Kan noen bekrefte dette?

 

Det viktige her er om utvelgelsen er tilfeldig eller styrt. Hvis det er en som velger bort taperloddene er jeg iallfall enig med deg.

OK, men når du skriver "så selger jeg 998 lodd som ingen vinner på", tolker jeg det som en forutsetning at vinnerloddet ikke er blant de 998, men enten fortsatt er i bøtta eller i lomma di. Da blir det helt analogt til de tre dørene, bare at her er det 1000 dører, og det gir deg mye større grunn til å bytte.

Endret 18. januar 2010 av oppvaskkost

[henbruas]

Jeg har skjønt hvorfor sannsynligheten er 2/3 for at å bytte lønner seg, men hvorfor er sannsynligheten 1/2 hvis programlederen ganske enkelt gjetter, men likevel greier å ta ut en luke hvor det ikke er premie? Scenarioene ser helt like ut i mine øyne.

[freerun]

Jeg synes også senarioet virker likt, men se her hva de sier om det.

 

Det er riktig som jeg sier at vinnerloddene ikke er blant de 998 jeg selger.

 

Wikipedia sier dette om de tre dørene.

 

"Etter at Marilyn vos Savant skrev om problemet i 1990, og presenterte den riktige løsningen, fikk hun tusenvis av brev fra lesere, deriblant flere hundre matematikkprofessorer, som mente at løsningen hennes var gal, og at det riktige svaret er at deltageren vinner bilen med sannsynlighet ½ uansett om han bytter eller lar være. Noe av grunnen til kontroversen var at problemet, som det var presentert i vos Savants spalte, kunne forstås på den måten at programlederen ikke vet hvor bilen befinner seg, og at han derfor velger å åpne en dør tilfeldig. I dette tilfellet øker ikke deltagerens sannsynlighet for å vinne dersom han velger å bytte dør."

Endret 18. januar 2010 av freerun

[Habitats]

Husker vi fikk denne oppgaven på skolen en gang, er overrasket over hvor mange som gikk rett i fella - som viking.

 

1/3 for å velge riktig første gang. Sjansen for at gevinsten er blant de 2 andre dørene er dobbelt så stor som den første døren (1+1 = 2 dører = større sjans for gevinst). Om du velger å ta bort en dør gjør ingen forskjell, da det uansett ikke kan endre det faktum at du valgte med 1/3 utgangspunkt i starten.

 

Se på det som om de valgte å sette en av dørene forran de andre, slik at om du åpnet en av de var gevinsten der.

 

Det folk ikke tenker over er at uansett hva som skjer etter du har valgt første gang, kan uansett aldri endre hva sjansen for at du trakk akkurat det kortet/valgte akkurat den døren i utgangspunktet.

 

Imponret over at denne tråden har 6 sider

Endret 19. januar 2010 av Habitats