Er det flest tall OVER eller UNDER 100 ?

[834HF42F242]

Paradokset blir at det skal finnes like mange heltall over 10 som over 11, for å ta et eksempel. Slik jeg ser på evighet, så finnes det verken en start eller slutt. Altså er spørsmålet i seg selv galt, fordi det skaper et paradoks. Det er bedre å spør om det finnes like mange tall over og under X, hvor svaret selvsagt er "Ja".

[inaktiv000]

Paradokset blir at det skal finnes like mange heltall over 10 som over 11, for å ta et eksempel. Slik jeg ser på evighet, så finnes det verken en start eller slutt. Altså er spørsmålet i seg selv galt, fordi det skaper et paradoks. Det er bedre å spør om det finnes like mange tall over og under X, hvor svaret selvsagt er "Ja".

5758251[/snapback]

Trodde det var akkurat det alle har prøvd å overbevise deg om de siste 560 postene :!:

[gspr]

Torbjørn: Han skulle ikke det. Jeg prøvde bare å få litt innsikt i hvordan han tenker ved å se på reaksjonen hans.

 

Hrm... Du kan vel ikke si "like mange" ettersom det er uendelig mange av begge to, og det ikke er mulig å si uendelighet_1 = uendelighet_2. Derimot innen et vist område (f.eks. alle tall mellom 0 og gogolpleks), vil jeg påstå at det finnes flere tall enn kvadrater.

Meget mulig jeg er på tynn is her. Noen som kan daske meg til fornuft?

 

Jeg har selv boken fra Fraleigh (4. utgave), men jeg har dessverre ikke fullført kurset abstrakt algebra enda. Har du det nå, eller har du hatt det før?

Jeg hadde tenkt å ta faget "Algebra og tallteori" (TMA4150) som ekstrafag dette semesteret, men så viste det seg at eksamen var dagen etter eksamen i et obligatorisk fag, noe som ble litt mye pes, så jeg hoppet av etter en uke. Virket forbannet interessant, så det er høyt på listen min over ting som skal tas senere.

Hva studerer/studerte du?

[gspr]

Det er bedre å spør om det finnes like mange tall over og under X, hvor svaret selvsagt er "Ja".

5758251[/snapback]

 

TUSEN TAKK!

Med et pennestrøk kan vi nå legge tråden død:

La X=100. Fra sitatet over ser vi at selv anth nå aksepterer at det finnes like mange heltall over og under 100.

QED, we agree, and we all shout hurrah! Tråd avsluttet.

Endret 15. mars 2006 av gspr

[834HF42F242]

Torbjørn: Han skulle ikke det. Jeg prøvde bare å få litt innsikt i hvordan han tenker ved å se på reaksjonen hans.

5758785[/snapback]

Herregud! Du er ikke lite frekk i utsagnene dine...

 

PS: La X være X og ikke 100. 100 forteller noe om starten.

 

Edit: Hadde du lest bakover i tråden, slik jeg fortalte deg, hadde du sett at jeg har nevnt akkurat det samme før. Her for eksempel!

Endret 15. mars 2006 av anth

[gspr]

Ehm, hva er X da? Jeg trodde du nå endelig innså at X kunne være et hvilket som helst tall - hvorpå det du sa om X faktisk er fornuftig og riktig.

Får X lov til å være 1, for eksempel? Hvorfor ikke 100? Eller 95? Eller -26? Eller 0? Eller 2?

Endret 15. mars 2006 av gspr

[Torbjørn]

problemstillingen handler vel ikke om å knipe noen i en skjev formulering for deretter skynde seg å legge diskusjonen død.

 

anth: det vi da svarer deg med er at gitt at vi står på 0, kan vi telle like langt, like fort, like mye, like lite oppover som nedover. kort sagt alle mulige måter å telle tall på.

 

står vi på 100 kan vi fortsatt telle like langt, like kort, like fort og like langsomt oppover og nedover.

 

gspr - det er ikke like mange tall over og under - det er hveken likt eller forskjellig antall - mengdene er ikke sammenlignbare, de er uendelige.

[gspr]

Torbjørn: Han skulle ikke det. Jeg prøvde bare å få litt innsikt i hvordan han tenker ved å se på reaksjonen hans.

5758785[/snapback]

Herregud! Du er ikke lite frekk i utsagnene dine...

Er det frekt? Jeg prøver bare å få innsikt i hvordan du tenker, slik at jeg kan forstå hvorfor du ikke forstår det som er blitt repetert ørten ganger over de foregående 30 sidene.

 

Edit: Hadde du lest bakover i tråden, slik jeg fortalte deg, hadde du sett at jeg har nevnt akkurat det samme før. Her for eksempel!

5758815[/snapback]

Beklager. Det skulle jeg ha sett.

[834HF42F242]

For n'te gang må jeg presisere at jeg skjønner hva du mener 100%. Utrolig. Jeg nekter ikke for at det som blir sagt er rett. Det jeg påpeker er at det ikke finnes ett riktig svar i et abstrakt spørsmål som dette.

[sim]

Jeg stusser litt på at «Ja, det er like mange» og «Nei, det er forskjellig antall» begge er rette svar på samme spørsmål.

[834HF42F242]

Ja, sim, et paradoks.

[Torbjørn]

vel det er ikke sant. og problemet ditt er at ditt svar har direkte implikasjoner for din matematikk. ganske enkelt fordi matematikken dekker denne situasjonen.

 

det er ingenting som sier at du skal ta spesielle hensyn til tallet 0 når du teller dine tall - hvis du likevel spesifiserer at du vil gjøre dette, så får det noe å si.

 

ditt eneste problem er at du bruker ord som "større enn", "mindre enn", "like store som", ord som har en direkte veldefinert matematisk betydning og som følgelig får implikasjoner i din matematiske hverdag hvis du velger deg et svar uten å tenke deg om.

 

jeg skal prøve å vri hjernen for å komme opp med en forståelig demo for hva dette innebærer.

[834HF42F242]

100 er en verdi. Man har 100 mer enn i forhold til 0. 100 endrer dermed situasjonen, og den er ikke lik 0. Om man derimot ikke har definert noen verdi, er situasjonen ikke den samme.

[Torbjørn]

du ordlegger deg med en absolutthet som om du har noen form for tyngde eller autoritet - for en person i ditt sted som uttalt ikke ønsker å snakke om den rent matematiske siden av saken, ville jeg formulert meg noe mer ydmykt.

 

eks: "100 er 100 større enn 0 - derfor mener jeg det endrer bildet i forhold til en ukjent størrelse X" eller hva det er du mener.

 

men videre,

 

tallet 100 har ingenting med 0 å gjøre... ikke mer enn 100 har med tallet 99 eller -2000 å gjøre.

 

du trekker inn 0 uten å si hvorfor.

 

matematisk gyldig kan man formulere det med et såkallt induksjonsbevis, men ikke heng deg opp i akkurat det navnet (fremmedord fremmedgjør samtalen):

 

1) gitt at vi teller antall tall som er over 100 og under 100.

 

2) for ett gitt tall over 100 kan vi telle like langt under 100, f.eks for 1200 kan vil tilsvarende telle like langt nedover, til -1000

 

3) punkt 2 gjelder også for tallet 1 høyere, dvs 1201 i eksemplet (vi kan uten videre telle tall til -1001 og være like langt)

 

Det betyr - for alle mulige tall over 100 kan du telle like mange tall under 100

 

4) samme bevisføring kan gjøres for negative tall

 

Følgelig vet jeg at for alle tall over 100 kan jeg alltid finne flere tall under 100.

 

Jeg vet også at jeg for alle tall under 100 kan jeg alltid finne flere tall over 100.

 

Rent matematisk er mao svaret at det ikke finnes noe svar.

 

Er du med på hvert steg i utledningen? Det sier ikke mer enn det man enkelt kan forstå med normale ord, det er et meget enkelt fenomen. Men det er den komplette matematiske betrakgningen rundt problemet.

 

Du kan gjerne innføre at du skal ha 0 som midtpunkt på talllinja du teller langs, dvs hele tiden like mange tall over og under 0. Men det blir ikke mer enn det - en betraktning rundt en tilleggs-ide.

 

 

Hvorfor så terpe på den rent matematiske siden - jo fordi den er som tidligere sagt knyttet direkte til problemstillingen - velger du et annet svar, vil du få problemer med selv trivelle ikke-relaterte matematiske betraktninger (dvs hvis du sier at en uendelig er lik en annen uendelig, eller at de ikke er det)

 

Jeg tror du skjønner alt dette og du skal ha for at du klarer å lirke ut utgreiing på utgreiing av meg (og andre) om ikke annet. Men til tider ser du ut til å formulere utspekulerte betraktninger.

[gspr]

100 er en verdi. Man har 100 mer enn i forhold til 0. 100 endrer dermed situasjonen, og den er ikke lik 0. Om man derimot ikke har definert noen verdi, er situasjonen ikke den samme.

5761354[/snapback]

 

Hva mener du med ikke definert noen verdi? Hvis X er et (hel)tall, er da X en definert verdi, nemlig X. X er X større enn 0. Det er vel åpenbart?

[834HF42F242]

Er så fullstendig med på den tesen, Torbjørn. Men hva med en logisk refleksjon:

 

1: Det er X antall heltall over 100

2: Det er Y antall heltall over 0

3a: X-Y=0

3b: X-Y=Z

Et syn støtter 3a mens et annet syn støtter 3b. Det er 3b som er logisk, mens 3a er ren hypotetisk tankegang.

[gspr]

... mens 3a er riktig.

[834HF42F242]

Nei, 3a er slik du ser på det som riktig isåfall. X er 100 heltall større enn Y, dog vi ikke kjenner størrelsene. Så enkelt er det...

[b-urn]

Det første og mest intuitive svaret på spørsmålet, slik jeg ser det, var vel at det er like mange tall over og under uavhengig av hvor man setter "balansepunktet".

 

Så i mitt stille sinn, og med svake minner fra ungdomsskolematematikken, tenkte jeg at dette måtte det da være mulig å føre et enkelt, men gyldig matematisk bevis for.

 

 

Påstanden er at:

 

x+100 > x-100 , X E R

 

Omformer til til formen f(x) > k for å kunne gjøre en grensebetraktning.

 

Venstre side:

f(x) = (x-x)  = 0

 

Høyre side:

k = -100-100 = -200

 

 

Grensebetraktning:

lim f(x) , x->inf  = 0

 

Det vil si at f(x)>k for alle x.

Ergo, x+100 > x-100 for alle verdier av x.

 

Men da blir vel 3b riktig da, stikk i strid med min intuitive oppfatning av problemet.

Skal ikke være lett med uendelige tall nei,

 

 

 

Edit:

 

Aha!

 

Korrekt formulering må vel bli noe slikt:

 

Gitt tall-linje med tre markerte punkter, som vist under:

 

            x1                a                x2

----------|---------------|--------------|----------

 

 

Påstanden er at linjestykket  x1-a skal være forskjellig fra a-x2, når x1 og x2 beveger seg mot uendelige i hver sin retning.

 

Dvs:

 

( x2-a ) < ( a-x1 ), gitt at a = 100

 

 

Samme fremgangsmåte som i forrige eksempel gir:

 

Søker å fremstille på formen  f(x1,x2) < k for grensebetraktning.

 

Venstre side:

f(x1,x2) = x2+x1

 

Høyre side:

k = a+a = 2a = 200

 

Grensebetraktning:

lim f(x1,x2) , x1->-inf, x2->+inf = inf - inf = udefinert ( iht matematiske regler ) .

 

Ergo likningen er uløselig.

 

 

 

... men det beviser vel egentlig ikke noe som helst.

..... kanskje hvis jeg partiellderiverer og drøfter...

 

Ah well... på tide å starte arbeidsdagen.

Endret 16. mars 2006 av b-urn

[kjellfp]

... mens 3a er riktig.

5761503[/snapback]

 

He, he, faktisk ikke. Både 3a og 3b er meningsløst. Begge utsagnene bruker en regneoperasjon (minus) på et argumentsett (uendelig og uendelig) der den ikke er definert.

 

Det som skaper forvirring, og som er hovedårsaken til at anth snubler i matematikken, er bruk av uendelig. Vi er alle vant til å bruke regneoperasjoner ukritisk på de definisjonsområdene de er ment, vel og bra, men om vi utvider anvendelsesområdet uten å skjønne konsekvensene blir det lett krøll.

 

Her er det snakk om å innføre uendeligheter. Begrepet like mange er lett å forstå på endelige mengder, men på uendelige fungerer det ikke slik vi er vant til å tenke. Matematikere skjønner at ting må formaliseres for at vi kan snakke samme språk så ikke alt blir en graut av synsing, og dette har man klart utmerket gjennom kardinalitetsbegrepet, og ved å si at to mengder er like store/har like mange elementer/har samme kardinalitet hvis det er en bijeksjon mellom dem. Dette er det mange som har forklart tidligere i tråden.

 

Det vil naturlig nok oppstå en del resultater som er litt merkelige. F.eks. at en uendelig mengde kan komme til å være like stor som en ekte delmengde av seg selv (denne egenskapen er faktisk definisjonen av uendelig mengde). Blant annet er mengden av heltall større enn 0 like stor som mengden av heltall større enn 100.

 

Den er faktisk like stor som mengden av alle heltall. Eller mengden av alle primtall større enn 10000. Eller mengden av alle rasjonale tall (brøker). Men beviselig ikke like stor som mengden av reelle tall.