Vektorer i 3MX

[Lanka]

Vi skal finne avstanden fra punktet A(7,5) til linja l som er gitt ved y = -2x+4

 

Jeg finner først et vilkårlig punkt på linja l som jeg kaller P(x,y) og finner vektoren AP. Oki sålangt er jeg med. Så står det at AP skal stå vinkelrett på retningsvektoren til linja l. Oki det skjønte jeg også.

 

Men når det står at retningsvektoren er [1,-2], da skjønner jeg ikke helt.

 

Men forstår at de to skal plusses sammen = 0 slik at jeg finner ut hva x er.

[HolgerL]

Retningsvektoren til linja l er [1, -2] fordi stigningstallet til linja er -2 (fra y = -2x+4).

 

Stigningstall er den lengden en graf går opp (i y-retnng) når den går 1 frem (i x-retning). Derfor er retningsvektoren (en vektor parallell med linja) lik [1, -2]. Med andre ord går retningsvektoren to ned når man går en frem.

 

EDIT: Vektorene skal forresten ganges sammen for å bli 0, ikke legges sammen, slik som du har skrevet.

Endret 1. november 2005 av HolgerLudvigsen

[Lanka]

Aha oki.

 

Beklager, var en liten miss av meg det med at de skulle legges sammen.

 

Men da skjønner jeg ikke neste eksempel som er gitt. Denne gangen er det på parameterform.

 

x = 2t og y=3-t

 

og punktet B(2,4)

 

Da får jeg [2t-2, 3 - t - 4] = [2t - 1, -t - 1]

 

Da skal jeg visstnok sette [2t - 1, -t - 1] * [2,-1] = 0

 

Trodde x-verdien i en retningsvektor alltid skal være 1 jeg? Eller er det skrivefeil i boka?

[DrKarlsen]

For oppgave 1 der har du r = (1,-2) og linja l gitt ved y = -2x + 5. Finn avstanden fra y til P(7,5).

Vi vil først finne en sammenheng mellom P og l. Vi vil finne punktet Q(x_1,y_1) på linja l som gir oss den minste avstanden. Det skjer når linja som går perpendikulært fra l går igjennom punktet P.

Vektoren fra P til Q er gitt ved PQ = (7-x_1,5-y_1). Siden r er en retningsvektor for l må indreproduktet av PQ og l bli 0. Altså

(7-x_1)*1 + (5-y_1)*(-2) = 0.

Dette gir oss en ny funksjon

y_1 = (x_1+3)/2.

Hvis vi setter y_1 = y finner vi hvor PQ og l krysser. (Merk at her vil x-koordinatene være like.)

-2x + 4 = (x+3)/2

-4x + 8 = x+3

5x = 5

x = 1 => y = 2

Avstanden fra Q(1,2) til P(7,5) = sqrt((7-1)^2 + (5-2)^2) = sqrt(36 + 9) = sqrt(9(4+1)) = 3*sqrt(5), som er korteste avstand fra punktet (7,5) til linja y = -2x + 4.

[Lanka]

Hææææ? Det siste der skjønte jeg ikke bæret av =S

[DrKarlsen]

Fortell hva du ikke forstod, så skal jeg utdype.

[Lanka]

Nei alt mener jeg. Altså jeg skjønte den første oppgaven.

Den du har utdypt utenfor min rekkevidde. Er den neste jeg ikke skjønner :

 

x = 2t og y=3-t er gitt for linja l

 

og punktet B(2,4)

 

Da får jeg [2t-2, 3 - t - 4] = [2t - 1, -t - 1]

 

Da skal jeg visstnok sette [2t - 1, -t - 1] * [2,-1] = 0

 

Trodde x-verdien i en retningsvektor alltid skal være 1 jeg? Eller er det skrivefeil i boka?

 

Skjønner ikke hvordan man kan få 2,-1 som retningsvektor til l

[Zethyr]

q = |AP x Vl| / |Vl|

 

Altså avstanden fra et punkt P til linja L er:

 

Absoluttverdien av vektoren fra et punkt A på linja til punktet P kryssganget med fartsvektoren til linja l, dividert på absoluttverdien til fartsvektoren til linja l.

 

edit: Siden dette krever et 3-dimensjonalt rom, legger vil til en null for z på alle vektorer og punkter.

 

 

 

Om jeg ikke tar feil er retningsvektor et annen navn på fartsvektor, og den finner man ved å derivere den vektoren som gir deg linja. Da får du [2, -1]

Endret 1. november 2005 av Zethyr

[Lanka]

Er det virkelig det? Hmm altså det syns jeg er meget rart fordi man pleier å finne retningsvektor uten å derivere. På eksempel en her fks. Da fant man det bare ved å lese av?

[Zethyr]

Prøv å deriver og se hva man får Det er lett å se i hodet hva retningsvektor blir når man har lineære uttrykk, det er derfor man "bare leser det av" ved å se hvilket tall som står multiplisert med t.

 

edit: Får du 11/sqrt(5) ? Det var det jeg fikk nå etter et kjapt forsøk. Hva sier fasit?

Endret 1. november 2005 av Zethyr