Den store matteleken

[DrKarlsen]

Yay! Ny oppgave:

Finn to elementære funksjoner f og g med egenskapen at

f = f' og

g = g'

samtidig som at f(0) = 1 og g(0) = 0.

 

Forklar også hvorfor f(g) - 1 = g(f).

Hva kan du si om f/g og g/f?

[Abacus]

Diffligninga g = g' har løsning g=ce^x, så da må f=e^x og g=0.

f(g)=e^0 = 1, så f(g)-1 = 0 = g(f).

f/g er ikke definert, og g/f er null overalt.

 

Eller var den en mer elegant måte å gjøre det på?

Endret 23. november 2005 av Abacus

[Abacus]

Ny oppgave:

 

Vis at for a,b > 0, gjelder (der >= betyr større eller lik):

 

(a^2+b^2)/(a+b) >= (a+b)/2

Endret 23. november 2005 av Abacus

[DrKarlsen]

Flott løsning. Var bare en oppgave jeg fant på i farten, og jeg brukte nøyaktig samme metode som deg.

 

(a^2+b^2)/(a+b) >= (a+b)/2

Vi kan gange med 2(a+b) på begge sider (a,b positive gir a+b positivt), dette gir:

2a^2 + 2b^2 >= (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Vi trekker fra a^2 og b^2 på begge sider:

a^2 + b^2 >= 2ab

Hvis vi skriver litt om får vi

a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab, altså

(a-b)^2 + 2ab >= 2ab

(a-b)^2 >= 0.

Og vi er ferdige.

Hvis vi antar a ulik b får vi også

(a-b)^2 > 0.

 

Ny oppgave:

Vis at m^2 + 7n^2 = 30 ikke har heltallsløsninger for m,n.

[Zethyr]

Det har gått lang tid nå, så jeg poster en ny litt enklere oppgave, så vil den første av oppgavene som blir løst få lov til å poste en ny:

 

Vi har en sirkel av papir som skal klippes til en sirkelsektor (kakestykke). Denne sirkelsektoren skal bøyes til det blir en kjegle (prøv selv, enklere å forstå da). Hva må da toppvinkelen i sirkelsektoren bli for at kjegla kan få størst mulig volum?

Svar med 4 gjeldende siffer, det skulle holde.

[DrKarlsen]

Jeg tror ikke geometrien min er på topp, men jeg prøver.

 

I en sirkelsektor har vi vinkel v, buelengde b og radius R. Vi kan sette radius lik 1 uten å fjerne oss fra virkeligheten.

Volumet av en kjegle er gitt ved (1/3)G*h hvor G er grunnflaten og h er høyden.

Buelengden b vil være omkretsen av sirkelen som danner grunnflaten i kjeglen, og vi har at b = 2*pi*r, eller at r = b/(2*pi).

Grunnflaten er da G = pi*r^2 = pi*(b/(2*pi))^2 = b^2/(4*pi).

Høyden h kan vi finne vha. pytagoras.

r^2 + R^2 = h^2, altså

h = sqrt(1 - b^2/(4pi^2)).

Alt i alt har vi nå at volumet V er en funksjon av b.

V(b) = (b^2 * sqrt(4*pi^2 - b^2))/(24*pi^2). (Jeg har ikke med mellomregninger.)

Vi kan nå derivere V for å finne maksimumsverdien. Jeg tar ikke med regningen her heller.

V'(b) = (8*b*pi^2 - 3*b^3)/(24*pi^2 * sqrt(4*pi^2 - b^2)). For å finne når V'(b) = 0, kan vi finne når telleren er 0.

Vi må løse

8*b*pi^2 - 3*b^3 = 0.

En liten digresjon:

Siden vi får dette av en sirkel, vet vi at b må være [0,2pi], for å finne alle min/max-verdier må vi også sjekke endepunktene.

Vi kan sette b utenfor,

b(8*pi^2 - 3*b^2) = 0, en løsning er b = 0.

3*b^2 = 8*pi^2,

b^2 = (8/3)*pi^2

b = +\- 2*sqrt(2/3)*pi.

Vi har nå fire punkter vi må sjekke,

b_1 = 0

b_2 = 2*sqrt(2/3)*pi

b_3 = - 2*sqrt(2/3)*pi

b_4 = 2*pi.

V(b_1) = 0

V(b_2) = (2*pi)/(9*sqrt(3))

V(b_3) = (2*pi)/(9*sqrt(3))

V(b_4) = 0.

Verdiene til V(0) og V(2*pi) gir mening, siden vi ikke får noe volum hvis vi ikke har noen buelengde eller hvis buelengden utspenner en hel sirkel.

Vi har derfor at b_2 og b_3 gir oss størst volum, men vi vil ha den positive verdien, så vi kan si at buelengden som gir oss størst volum er

b = 2*sqrt(2/3)*pi.

Siden radien var lik 1, er buelengden lik vinkelen.

v = 2*sqrt(2/3)*pi (= 5.1302, eller i grader blir det 293.9388).

Som sagt, er ikke sikker på at dette er riktig, så jeg poster ingen ny oppgave.

 

PS: beklager sent svar, men jeg er midt oppi eksamenslesing for tiden.

[Zethyr]

Ingen grunn til å beklage, for svaret er så korrekt som det får blitt

[DrKarlsen]

Herlig!

 

Vis at n^5 - n^4 - 1 aldri gir primtall for n > 1.

[DrKarlsen]

Liten interesse her..

Greit, n^5 - n^4 - 1 = (n^2 - n + 1)(n^3 - n - 1), altså et produkt av to tall, og dermed ikke primtall.

¡b00m!

 

Fyr løs med en ny oppgave, hvem som helst!

[Abacus]

Fyr løs med en ny oppgave, hvem som helst!

5236348[/snapback]

 

Ok. For hvilke n er summen av n påfølgende heltall alltid delelig med n?

[DrKarlsen]

Summen av n påfølgende heltall er n(n+1)/2, så hvis [(n(n+1)/2]/n = (n+1)/2 skal være heltall, må altså n være odde.

¡b00m!

 

Ny oppgave: Vis at en og bare en av sidene i et primitivt pytagoreisk trippel er delelig med 5. (Altså, gcd(x,y,z) = 1 og x^2 + y^2 = z^2, og en og bare en av 5|x, 5|y og 5|z er riktig.)

[- mOtz^ -]

Off-topic: Hvor lenge har du holdt på med matte DrKarlsen

 

On-topic: har rett og slett ikke noe svar på dette! Elsker matte, men dette er jo rene atomfysikken innenfor matte!

[sim]

Vi ser først på de ulike mulighetene av kvadrattall modulo 5:

 

a = 0 => a^2 = 0 (mod 5)

a = 1 => a^2 = 1 (mod 5)

a = 2 => a^2 = 4 (mod 5)

a = 3 => a^2 = 9 = 4 (mod 5)

a = 4 => a^2 = 16 = 1 (mod 5)

 

Særskilt har vi at a kan delest på 5 hvis og bare hvis a^2 = 0 (mod 5).

La x, y, z være en primitiv putagoreisk trippel. Hvis z kan delest på 5 er z^2 = 0 = x^2 + y^2 (mod 5), så en av x^2 og y^2 må være kongruent med 1, den andre med 4. Altså kan hverken x eller y delest på 5. Om z^2 = 1 = x^2 + y^2 (mod 5), må en av x^2 og y^2 være kongruent med 1, den andre med 0. Altså må akkurat en av x og y kunne delest på 5. I det siste tilfellet, z^2 = 4 = x^2 + y^2 (mod 5), må en av x^2 og y^2 være kongruent med 4, den andre med 0. Altså må akkurat en av x og y kunne delest på 5.

 

¡b00m!

 

 

Oppgave:

 

Vis ved matematisk induksjon at

holder for alle n

Endret 16. desember 2005 av sim

[Abacus]

Summen av n påfølgende heltall er n(n+1)/2, så hvis [(n(n+1)/2]/n = (n+1)/2 skal være heltall, må altså n være odde.

 

Jeg formulerte meg kanskje litt dårlig, men med summen av n påfølgende heltall mente jeg f.eks. også 7+8+9+10 (n er her 4).

[_hauken_]

]Vis ved matematisk induksjon at

holder for alle n

5299862[/snapback]

 

 

 

Ny oppgåve:

Berekn det ubestemte integralet:

Endret 16. desember 2005 av _hauken_

[inaktiv000]

Orker ikke å løse likningssettet nå, men vi kan vel sette opp nevneren som (x^2 - 4)(x^2 - 1), og videre (x-2)(x+2)(x-1)(x+1), og så bruke delbrøksoppspaltning. Til slutt bør vi sitte med 4 "lette" integral.

[sim]

Vel, cecolon, du bruker så lang tid! Her er svaret

 

-1/6 ln(x - 1) + 1/3 ln(x - 2) + 1/6 ln(x + 1) - 1/3 ln(x + 2) + C

 

Ny induksjonsoppgave:

[inaktiv000]

Å ikke orke å løse likningsettet nå betyr "dette gidder jeg ikke" i mitt vokabular

 

En alternativ oppgave, kanskje veldig enkel: bestem tallet pi ved hjelp av elementære trigonometriske definisjoner/identiteter. (Har ikke løst den selv, men har på følelsen at det lar seg gjøre)

[DrKarlsen]

biig.no, jeg går første året på universitetet, og kom rett fra vgs. Det var vel i GK at interessen for matematikk kom til meg.

 

sim, det var en veldig elegant løsning på problemet. Jeg fikk oppgaven på eksamen, og jeg brukte en helt annen løsning. (Det betyr ikke at løsningen din er feil, den var faktisk bedre! (les: enklere))

 

Abacus, jeg mener fortsatt at svaret er riktig, siden f.eks. 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 (mod 5)... er det noe jeg ikke får med meg her?

 

sim, jeg er ikke i humør for noe induksjon nå!

 

cecolon, oppgaven din er litt uklar, men hvis jeg ikke tar helt feil kan oppgaven din løses på mange måter.

En måte er å bruke Maccins (sp?) formel. Husker ikke i farten hvordan den var, men den bruker ting som tan(1/216) (eller noe slik), og du må nok ha en kalkulator her.

En annen metode er å bruke det Euler sa;

e^(i*z) = cos(z) + i*sin(z), altså:

e^(i*pi) = -1 + i*0 => e^(pi*i) + 1 = 0.

Løser du for pi får du pi = ln(-1)/i, noe som bruker imaginære tall.

 

En annen måte er å bruke enhetssirkelen, da har vi at radien = cos^2(x) + sin^2(x) = 1.

Vi vet at omkretsen av en sirkel er gitt ved O = 2*pi*r, altså i vårt tilfelle: O = 2*pi, men dette må også være lik 2*pi*(cos^2(x) + sin^2(x)), altså hvis du kjenner omkretsen av en sirkel, kan du ta tallet og dele på 2*(cos^2(x) + sin^2(x)) for å få pi. (Merk at bruken av 1 = cos^2(x) + sin^2(x) er helt unødvendig her, men brukes siden cecolon ville ha pi vha. trigonometri.)

 

En siste metode jeg vil nevne er å bruke en linjal. Vi vet at sin(0) = 0, sin(pi/6) = 1/2, sin(pi/4) = sqrt(2)/2, sin(pi/3) = sqrt(2)/2, sin(pi) = 1, og slik fortsetter det på samme måte nedover til sin(pi) = 0, så hvis du kjenner til sinuskurven, kan du tegne dette, og måle opp pi på denne måten.

 

Ingen ny oppgave kommer ut av meg, da det var så mange oppgaver som skulle ha svar her, og alle svarene mine har vært litt på kanten.