Den store matteleken

[sim]

Fint! Du er så flink *kosepå* <3

 

Ny oppgave!

[DrKarlsen]

Du kommer med for lette oppgaver! Her er en liten nøtt:

 

Finn det minste tallet skrevet med bare 1'ere og 0'ere, som er delbart på 225.

Finn uendelig mange slik tall.

Endret 10. november 2005 av DrKarlsen

[sim]

225 = 9 * 25 = 3^2 * 5^2

 

 

 

25 | a hvis og bare hvis a = 0, 25, 50, 75 (mod 100)

 

Tallet vårt har bare 1-ere og 0-ere. Vi har derfor at x = 0 (mod 100). Et tall er delelig på 9 hvis og bare hvis 9 | tverrsummen av tallet. Bare 1-ere og 0-er gir oss at tallet vi ønsker å finne må ha 9 1-tall.

 

Siden tallet må ha 9 1-tall, og x = 0 (mod 100) må det minste tallet være 11111111100.

 

Vi kan finne uendelig mange slike tall hvis vi lar tallene = 0 (mod 100) (slutter på 00) og inneholder 9k 1-ere for k=1,2,3,....

 

 

Om dette er rett så kommer ny oppgave her:

 

En mann står 43 fot fra en helikopterlandingsplass og ser en helikopter som tar av fra denne landingsplassen. Hvis helikopteret tar av vertikalt og stiger med en fart på 41 ft/s når høyden er 111 fot, hvor fort endres avstanden mellom helikopteret og mannen som observerer?

Endret 11. november 2005 av sim

[DrKarlsen]

Flott løsning på oppgaven!

 

Her er et forslag til løsning på din oppgave:

Vi ser at i punktet når t = 0 er avstanden gitt ved sqrt(43^2 + 111^2). Videre ser vi at høyden er gitt ved 111 + 41t for en eller annen t.

Da har vi at avstanden mellom mannen og helikopteret er gitt ved

sqrt(43^2 + (111+41t)^2). Nå kan vi derivere denne, dette gir:

82(111+41t)/(2*sqrt(43^2 + (111+41t)^2)) = 41(111+41t)/sqrt(43^2 + (111+41t)^2). Dette er altså den deriverte til avstanden, dvs. hvor for avstanden øker.

Vi er ute etter farten på økningen i punktet t = 0, så vi plugger inn.

Dette gir oss:

41*111/sqrt(43^2 + 111^2) = 38.23155041.

[sim]

Guddedi gudd gudd. Meget bra.

Kom med ny oppgave.

[DrKarlsen]

Finn en Pytagoreisk trekant hvis innskrevet sirkel har radius 3.

[DrKarlsen]

Siden ingen ville løse denne så kommer jeg med løsningsforslag:

 

En trekant har sider x,y,z. Den er pytagoreisk hvis x^2 + y^2 = z^2 for heltall x,y,z.

 

Vi kan skrive om x,y,z som x = 2st, y = s^2 - t^2, z = s^2 + t^2. (Dette kan bevises om noen ønsker det )

Inradien til en sirkel er gitt ved r = (1/2)(x+y-z). (Kan også bevises.)

Da har vi at 3 = (1/2)(2st+s^2-t^2-s^2-t^2) = (1/2)(2st - 2t^2) = t(s-t).

Siden vi har t(s-t) = 3, må enten t = 1 eller (s-t) = 1.

Hvis t = 1, er s = 4, og vi får: x = 8, y = 15, z = 17.

Hvis s-t = 1, får vi t = 3 og s = 4, som gir: x = 24, y = 7, z = 25.

Den siste løsningen kan vi finne vha. den den første primitive tripletten, x=4, y=3, z=5. Da har vi x = 4*3 = 12, y = 3*3 = 9, z = 5*3 = 15.

Altså, de ønskede løsningene er:

(8,15,17),

(24,7,25),

(12,9,15).

[DrKarlsen]

Ny oppgave:

http://www.math.ntnu.no/tex2gif.php?%5Clim...5Csin%7Bx%7D%7D

Endret 14. november 2005 av DrKarlsen

[sim]

Forslag til løsning. L'Hôpital ble brukt.

 

Endret 15. november 2005 av sim

[DrKarlsen]

Helt riktig!

En alternativ metode for å unngå LH så mye, så kan du bruke taylor-rekkene for cos(x) og e^(x^2), da kan du avrunde dette til cos(x) = 1 - x^2/2 og e^(x^2) = 1 + x^2. Dette gir samme løsning.

 

Kom med en ny og morsom oppgave!

[sim]

Vis at en todelt graf med et odde antall hjørner ikke inneholder en Hamilton-krets.

[DrKarlsen]

Vi kan først la m og n være antall hjørner i K_(m,n).

Dette gir to muligheter, m = n og m != n.

Hvis n = m, vil antall hjørner være 2n hjørner, altså partall. Det vil da finnes en Hamilton-krets.

Hvis m != n, ser vi lett at vi ikke kan gå fra et punkt a tilbake til a uten å krysse samme punkt to ganger. (Dette vises mye enklere med en tegning, men du forstår sikkert hva jeg mener!)

[sim]

Hvis vi har et odde antall hjørner ender vi opp på samme side som vi startet. Siden grafen er todelt kommer vi oss ikke tilbake til utgangspunktet. Det finnes derfor ingen Hamilton-krets.

Jeg godkjenner svart.

 

Kom med ny oppgave!

[DrKarlsen]

Summen av to ikkenegative tall har sum n. Finn den minste mulige verdien av summen av kvadratene.

Endret 15. november 2005 av DrKarlsen

[Abacus]

Summen av to ikkenegative tall har sum n. Finn den minste mulige verdien av summen av kvadratene.

5156029[/snapback]

 

(n^2)/2

[Zethyr]

Kom frem til det jeg også når jeg fikk tenkt litt. Utregning i tilfelle noen ikke klarte nøtta (slik som jeg ikke gjorde første gangen):

 

Summen av kvadratene blir minst hvis de to tallene er like. Vi kaller dem for m:

 

m + m = n

 

summen av kvadratene:

 

m^2 + m^2 = 2*m^2

 

setter inn m = n/2

 

2* ( (n/2)^2)

 

setter egen potens oppe og nede:

 

2*(n^2/4)

 

ganger inn to, og *vips* ferdig:

 

n^2/2

[sim]

Kom med nye oppgaver!

[Zethyr]

I en hage er det epletrær, og det er et antall fugler (mer enn én) i hvert tre.

 

Det er like mange fugler i hvert tre, og det er flere trær enn ett

 

Hvis du visste summen av fugler i hagen ville du vite summen av trær

 

Det er mellom 200 og 300 fugler i hagen.

 

Hvor mange fugler er det egentlig?

[DrKarlsen]

Jeg antar at du vil ha et unikt svar.

Vi må finne et kvadrattall k som gir oss at k*k ligger mellom 200 og 300. Hvis vi hadde hatt k*n kunne vi bare bare byttet om på tallene.

Uansett, vi vet at kvadrattall i intervallet er 15^2 = 225, 16^2 = 256 og 17^2 = 289.

225 kan faktoriseres i flere distinkte primtall, så dette er ikke en løsning vi er ute etter. Det samme kan vi si om 256.

Hvis vi ser på 289 er dette et semiprimtall, og dette er løsningen vi er ute etter!

[Zethyr]

Fullstendig riktig!