Den store matteleken

[sim]

Ok, ny oppgave.

 

Tegningen nedenfor er en skisse av Trondheim. Det røde er broer over elva. Du har lyst til å gå en tur. På turen skal du gå over alle broene og du vil havne på samme side av elven som du startet. Du skal kun gå over hver bro én gang. Hvis mulig, finn en rute for turen. Hvis ikke, hvorfor?

[DrKarlsen]

Vi kan jo anta at vi vil starte i den lille hvite øya i midten der. Da må vi også slutte der, men det er ikke mulig siden det er et odde antall bruer som går ut fra øya. Jeg antar også at vi ikke kan gå utenfor bildet.

Hvis vi nå starter på høyre side har vi også at det er et odde antall bruer som kobler høyre side med resten, så da vil vi ikke kunne kommet tilbake der.

Hvis vi nå starter på venstre side ser vi at vi har et jevnt antall bruer som kobler venstre side med resten, derfor har vi en teoretisk mulighet her, men igjen ser vi at vi ikke kan komme oss på og av den øya oppe i midten, grunnet mitt tidligere argument.

Derfor vil jeg påstå at det ikke er mulig. (Du kan jo alltids svømme, men det er juks.)

[Zethyr]

Vi må innom "øya" med 5 bruer. Begynner man med å gå inn, må man gå den siste brua til øya inn. Da begynner man utenfor, og ender opp inni. Eller man kan begynne på øya, men da ender man opp utenfor. Denne øya med 5 bruer gjør oppgaven umulig.

 

edit: damn, Karlsen.

 

edit2: nei, jeg kommer ikke på noen oppgaver uansett, og denne fortjener du siden du var først

Endret 9. november 2005 av Zethyr

[DrKarlsen]

Sorry

Du kan få poste neste oppgave hvis du vil. (Dersom dette er riktig, da!)

[sim]

Hihi. Det stemmer. Vi hadde denne oppgaven i timen i dag.

 

Jeg legger ved et bilde for å illustrere. Bildet består av 4 hjørner. Disse hjørnene representerer "øyene" på kartet. Mellom hjørnene er det kanter. Kantene representerer bruer.

Hjørnet nederst til venstre representerer vestsida. Hjørnet nederst til høyre er østsida. Hjørnet øverst til høyre er den lille øya med 5 bruer, og den siste sier seg vel selv.

 

Definisjon:

En Eulersykel i en graf er en vei som går gjennom hver kant en og bare en gang og starter og slutter i samme hjørne.

 

Det vi ser på bildet (bortsett fra utrolig stygge streker ) er en sammenhengende endelig graf.

 

En sammenhengende endelig graf har en Eulersykel hvis og bare hvis alle hjørner har en jamn grad (alle hjørner har partall grad). Dette vil si, som dere har sagt tidligere, at det må være et partall antall bruer mellom de forskjellige øyene.

 

 

Well done. Kom med ny oppgave!

Endret 9. november 2005 av sim

[DrKarlsen]

Se på kurven y = x^2, anta at vi har en tangent i punktet (a,b). Vis at normalen til denne tangenten alltid krysser y i to forskjellige punkter hvis a ikke er lik 0.

[Zethyr]

Ikke sikker på hva du mener her.. tenker du på kurven y eller aksen y?

 

Jeg trodde det het seg for å være en sekant dersom den krysset en linje i flere punkter?

edit: overså "normalen til" Huff å være så klumsete!

Endret 9. november 2005 av Zethyr

[DrKarlsen]

Med kurven y mener jeg y = x^2. Normalen til tangenten er ikke en sekant, men normalen til tangenten! Tangenten i oppgaven er tangenten i punktet (a,b) når a ikke er lik 0.

[sim]

Prøver meg på en løsning.

 

Vi har funksjonen y = x^2. Først vil jeg finne den deriverte i et punkt (a, b) der a != 0.

 

dy/dx = 2x

 

Stigningstallet for tangenten er da 2a. Ved å bruke ettpunktsformelen kan vi finne en ligning for tangenten.

 

y - y_1 = m(x - x_1), der m er stigningstallet

 

Vi får da

 

y - b = 2a(x - a)

 

Normalen til denne vil være en ligning der stigningtallet m_2 = 1/m_1. Vi får da

 

y - b = (-1/2a)(x - a)

 

I den opprinnelige funksjonen har vi at y = x^2. Vi har byttet ut bokstavene her med a og b, så vi har at b = a^2. Vi skriver om på ligningen for normalen.

 

y = (-1/2a)(x - a) + a^2

 

Vi er nå interessert i skjæringspunktene mellom den opprinnelige funksjonen og normalen. For å finne disse setter vi

 

x^2 = (-1/2a)(x - a) + a^2

 

Vi flytter over og får

 

x^2 + (x/2a) - ((1/2)+a^2) = 0

 

Hvis vi ser på formelen for andregradsligninger ser vi at vi får forskjellige løsninger alt etter hva som skjer med tallene under kvadratrottegnet. Hvis tallet under kvadratroten er positivt har vi to løsninger, er den 0 har vi én løsning, og er den negativ har vi ingen reelle løsninger.

 

For å garantere at det finnes to løsninger må vi vise at b^2 - 4ac.

 

(1/2a)^2 - (4 * 1 * (-(1/2) - a^2)

 

(1/2a)^2 - (-2 - 4a^2)

 

(1/4a^2) + 2 + 4a^2

 

Som vi ser er denne alltid positiv (fordi a-ene er kvadrert) og vi har dermed alltid 2 løsninger.

Am I correct?

 

Edit: Det ble en smule feil. Har prøvd å rette nå

Endret 10. november 2005 av sim

[DrKarlsen]

Flott løsning! Det var slik jeg løste det selv også. Har du en ny og morsom oppgave?

[sim]

Ny oppgave. En meget morsom en.

 

 

Jeg vil se utregning. Det er ikke lov med mathematica og andre juksetriks!

Endret 10. november 2005 av sim

[DrKarlsen]

Fant en feil i den forrige løsningen min. Bruker LH og kommer frem til 1

Endret 10. november 2005 av DrKarlsen

[sim]

Meget bra!

 

Løsning med L'Hôpital:

 

Vi setter u = 1/x. x = 1 / u. Vi ser at når x går mot uendelig, vil u gå mot 0. Vi får nå

 

lim(u->0) (e^u - 1) / u = lim(u->0) (e^u / 1) = lim(1/1) = 1.

 

Ganske mye enklere med lehoppetall . Sikkert derfor noen mener det er juksetriks.

 

Kom med ny oppgave!

[DrKarlsen]

Det er kanskje ikke juksetriks, men det er helt klart en snarvei. Du får god øvelse hvis du prøver å gå utenom denne når du gjør oppgaver hjemme. På en eksamen derimot skal jeg ikke si noe.

 

Ny oppgave: Bevis at e ligger mellom 2 og 3. Altså; vis at 2 < e < 3.

(Anta at vi ikke kjenner verdien til e og anta at vi har vært litt borti definisjonen på ln(x). Vi kan også anta at vi kjenner grafen til f(x) = 1/x.)

 

Hint: Bruk følgende steg:

1. Finn arealet under kurven 1/x mellom x = 1 og x = 2. Vis at det er mindre enn 1.

 

2. Vis at alle tangentlinjene til 1/x har negativt stigningstall.

 

3. Finn tangentlinjene T_2 og T_3 i punktene x = 2 og x = 3.

 

4. Finn arealet A_2 under T_2 og mellom x = 1 og x = 2, og finn arealet A_3 under T_3 mellom x = 2 og x = 3. (Over x-aksen, selvfølgelig.)

 

5. Sjekk A_2 + A_3.

 

Hva har du funnet ut?

Endret 10. november 2005 av DrKarlsen

[sim]

Jeg har laget en fin tegning.

 

Vi finner først arealet under funksjonen 1/x fra 1 til 2.

 

int_1^2 (1/x) = [ln(x)]_1^2 = ln(2) - ln(1) = ln(2)

 

Som vi ser på den nydelige tegningen er det avmerket en firkant. Denne firkanten har areal 1. Vi ser derfor at

 

ln(2) < 1 => e^ln(2) < e^1 => 2 < e

 

Da var vi halvveis.

 

Vi finner så tangentlinjer for punktene 2 og 3.

 

I punktet 2:

T_1 = y = -x/4 + 1

 

I punktet 3:

T_2 = y = -x/9 + (2/3)

 

Vi finner så arealet under dem.

Gidder ikke skrive ned utregning

 

int_1^2 T_1 = A_1 = (5/8)

int_2^3 T_2 = A_2 = (7/18)

 

A = A_1 + A_2

 

1 < A

 

Vi finner så arealet under 1/x fra 1 til 3

 

int_1^3 (1/x) = [ln(x)]_1^3 = ln(3) - ln(1) = ln(3).

 

Siden tangentlinjene alltid ligger under grafen (fordi den deriverte av 1/x alltid er negativ), ser vi at

 

A < ln(3)

 

Dermed har vi at

 

1 < A < ln(3) => 1 < ln(3) => e^1 < e^ln(3) => e < 3.

 

Vi ser nå at

 

2 < e < 3.

 

Endret 10. november 2005 av sim

[DrKarlsen]

Flott løsning. Du får mye bruk for egenskapen 2 < e < 3 senere!

 

Jeg tar kvelden nå, så du får poste en oppgave til andre med interesse for det.

[sim]

Bruk lineær approksimasjon til å estimere verdien til sin(2). Bruk x = 2pi/3 som "base".

[Matias]

Du var god sim, studerer du matte eller?

[sim]

Heh, jeg fikk litt hjelp. Studerer nok ikke matte :/.

[DrKarlsen]

sin(2pi/3) = sqrt(3)/2, cos(2pi/3) = -1/2

sin(2) = sqrt(3)/2 - (1/2)(2-2pi/3) = (3sqrt(3)-6+2pi)/6.