Den store matteleken

[Torjus]

Hva med å lage en mattelek? Akkurat som google leken, bare her er det en vri; matte!

 

Den som løser oppgaven i siste post, kan poste nytt regnestykke som neste mann må regne ut igjen!

 

Jeg begynner:

 

Valgt å tegne det, pga masse tegn:

Endret 31. oktober 2005 av fUzZy^

[P-in-P]

Jeg regner med at du har svaret på den oppgaven der..?

 

BTW: Matteleken

[DrKarlsen]

Hvis jeg har tolket det du skrev riktig får jeg (a/b)^2.

[DrKarlsen]

Ny nøtt:

Det matematiske instituttet ved Universitetet i Nidaros har 118 ansatte

fordelt på administrasjonen, professorer og stipendiater. Samtlige ansatte kom på instituttets julefest, som kostet 70 kroner for professorer og 30 kroner for stipendiater. Medlemmene av administrasjonen, som arrangerte festen, kom inn gratis. Til sammen ble det betalt inn

5060 kroner i inngangspenger. Instituttet har minst 10 flere stipendiater enn professorer, og minst 10 medlemmer i administrasjonen. Hvor mange professorer har instituttet? Hvor mange stipendiater? Hvor mange medlemmer har administrasjonen?

[sim]

Professorer: 47

Stipendiater: 59

Medlemmer av administrasjonen: 12

 

-----

 

Vis at p er delelig med 6 når p-1 og p+1 er tvillingprimtall, der p > 4.

Endret 31. oktober 2005 av sim

[DrKarlsen]

p=2 er det eneste primtallet vi har som er partall, derfor vet vi at p må være partall, og derfor delelig på 2.

 

Alle tall kan skrives på formen

3k, 3k+1 eller 3k+2.

Vi setter disse inn for p i p-1, p og p+1.

Vi plugger inn for p-1 først:

3k-1, 3k, 3k+1.

for p:

3k, 3k+1, 3k+2.

for p+1:

3k+1, 3k+2, 3k+3 = 3(k+1).

 

Vi ser at i alle tilfellene får vi at et av tallene er delelig på 3, derfor har vi et teorem som sier:

Av tre etterfølgende tall er ett og bare ett av dem delelig på 3.

Siden p-1 og p+1 er primtall, kan ikke p være primtall, og må derfor være delelig på 3.

 

Siden p er delelig på 2 og 3, må det også være delelig på 6.

Q.E.D.

 

Hvis x^2 - x - 1 = 0 har løsningene a og b, finn verdien av a^3 + b^3 uten å regne ut verdiene for a og b.

 

(PS: Jeg vil se skikkelig løsning da det er lett å jukse med en kalkulator her.)

Endret 31. oktober 2005 av DrKarlsen

[sim]

x^2 - x - 1 = 0

 

Vi antar at vi har to løsninger a og b. Dermed er

 

(x - a)(x - b) = 0

Ganger ut parantesen

x^2 - ax - bx + ab=0

x^2 - x(a+b) + ab = x^2 - x - 1

 

Vi ser nå at vi kan finne verdier for a+b og ab slik at det blir likt på begge sider av likhetstegnet.

 

a+b = 1

ab = -1

 

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 1^2 - 2(-1) = 3

 

Som vi ser har vi funnet a^2 + b^2 = 3

 

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

 

a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3(ab(a+b)) = 1^3 - 3(-1(1)) = 4

 

a^3 + b^3 er altså 4

 

 

-----

 

"Et rektangel skal innskrives i en halvsirkel med radius 1 slik at en side i rektangelet faller langs halvsirkelens diameter. Bestem sidelengdene for det rektangelet som under denne forutsetning har størst mulig areal."

Endret 31. oktober 2005 av sim

[Torjus]

Jeg regner med at du har svaret på den oppgaven der..?

 

BTW: Matteleken

5082821[/snapback]

 

Jepp

 

 

*rette på tittel*

[DrKarlsen]

x^2 - x - 1 = 0

 

Vi antar at vi har to løsninger a og b. Dermed er

 

(x - a)(x - b) = 0

Ganger ut parantesen

x^2 - ax - bx + ab=0

x^2 - x(a+b) + ab = x^2 - x - 1

 

Vi ser nå at vi kan finne verdier for a+b og ab slik at det blir likt på begge sider av likhetstegnet.

 

a+b = 1

ab = -1

 

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 1^2 - 2(-1) = 3

 

Som vi ser har vi funnet a^2 + b^2 = 3

 

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

 

a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3(ab(a+b)) = 1^3 - 3(-1(1)) = 4

 

a^3 + b^3 er altså 4

 

 

-----

 

"Et rektangel skal innskrives i en halvsirkel med radius 1 slik at en side i rektangelet faller langs halvsirkelens diameter. Bestem sidelengdene for det rektangelet som under denne forutsetning har størst mulig areal."

5083440[/snapback]

 

 

Tegn sirkelen slik i et koordinatsystem slik at x-aksen går langs diameteren. Sentrum i sirkelen ligger da i origo.

La høyden i rektangelet være y og lengden går fra -x til x, altså 2x. Arealet er da gitt ved A=2xy. Hvis vi markerer punktet (x,y) på sirkelen og bruker at radien er lik 1 kan vi si at x^2 + y^2 = 1, eller y = sqrt(1-x^2).

Da har vi A=2x * sqrt(1-x^2). Hvis vi deriverer nå får vi

A' = 2sqrt(1-x^2) + -2x^2/(sqrt(1-x^2) = (2(1-x^2) - 2x^2)/(sqrt(1-x^2)) = (2-4x^2)/(sqrt(1-x^2)). Vi vil finne når A' = 0, altså når 2-4x^2 = 0, dette skjer når x = +-sqrt(2)/2. Da har vi x-koordinatene, x = sqrt(2)/2 og -x = -sqrt(2)/2.

Vi vet at x^2 + y^2 = 1, får vi (+-sqrt(2)/2)^2 + y^2 = 1. y^2 = 1 - 1/2 = 1/2.

y = sqrt(2)/2.

Vi har nå funnet sidelengdene, og arealet er gitt ved A = 2xy = 2*(sqrt(2)/2)^2 = 1.

 

Ny oppgave: 5 høner plasserte seg under skjørtet til bondedama, hvor mange høner var det da under skjørtet?

[sim]

Ny oppgave: 5 høner plasserte seg under skjørtet til bondedama, hvor mange høner var det da under skjørtet?

5086743[/snapback]

 

 

Jeg har 2 svar.

 

5 eller 6. Det kommer litt an på hvordan du tolker ordet høne.

 

Edit: Tydeligvis ikke pervers nok. Hønene har også høner. Det blir vel 11 høner under skjørtet til bondedama .

 

1 hunndyr av arten tamhøns, Gallus domesticus / holde h-r / egget vil lære høna å verpe den uerfarne vil belære den erfarne / ha en h- å plukke med en ha et uoppgjort forhold til et annet menneske, noe å bebreide en for / det går den veien høna sparker det går den gale veien, ut i elendigheten / blind h- finner også korn, se blind

 

5 betegnelse på kvinnelig kjønnsorgan

Endret 1. november 2005 av sim

[DrKarlsen]

Beklager, men ingen av svarene dine stemmer uansett hvilken tankegang du velger!

[Zethyr]

Skal dette være en grisevits eller ei mattenøtt? Jeg har flere forslag til løsninger om det er førstnevnte, men ingen forslag om det er sistnevnte.

[DrKarlsen]

sim fikk riktig nå! Fyr løs med en ny og litt mer vrien oppgave.

[DrKarlsen]

Det eneste jeg klarer er å skrive den som

x(x^9 + 2x^8 + 3x^7 + 4x^6 + 5x^5 + 6x^4 + 7x^3 + 8x^2 + 9x + 10), hvis jeg bruker teoremet om rasjonelle røtter ser jeg at eventuelle videre faktoriseringer gir faktorer med 10, og jeg finner ingen av disse.

[Zethyr]

Forenkle denne (ikke så vanskelig):

x^10 + 2x^9 + 3x^8 + 4x^7 + 5x^6 + 6x^5 + 7x^4 + 8x^3 + 9x^2 + 10x

[DrKarlsen]

Nå datt jeg litt ut

[Zethyr]

Siden jeg er ute etter en litt sær løsning, skal jeg gi et hint. La oss si at lille ola nordmann skal skrive inn uttrykket på datamaskinen sin, men hans tast for ^ er ødelagt, og han kan ikke å skrive "opphøyd i" på annen måte. Hvordan vil han da formulere dette?

 

edit: en 'k' for mye..

Endret 7. november 2005 av Zethyr

[Zethyr]

Siden oppgaven er litt tåpelig, så gir jeg fasit om en time om ingen har tatt den enda, og om jeg husker på det.

[DrKarlsen]

Kanskje du mener at 9x^2 blir til 9x2? Isåfall får du 220x.

[Zethyr]

Det er kun faktorisering jeg er ute etter, ikke å gjøre om stykket.