Er 0,999_ det samme som 1? Høhøhø...

[DrKarlsen]

Beviset for lim(x->0) { sin(x)/x } = 1 er 80% geometrisk, så tror ikke det er så veldig bra her på forumet, kan kanskje se om jeg finner en url etterpå.

Men hvis vi skal derivere sin(x) gjør vi følgende:

Vi bruker definisjonen på den deriverte.

f'(x) = lim(h->0) { (f(x+h) - f(x))/h }.

Vi vil finne sin'(x).

lim(h->0) { (sin(x+h) - sin(x))/h }, vi kan skrive om sin(x+h) til sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h), det gir oss

lim(h->0) { (cos(h) + cos(x)sin(h) - sin(x))/h } =

lim(h->0) { (sin(x)(cos(h)-1) + cos(x)sin(h))/h } =

lim(h->0) { sin(x) } * lim(h->0) { (cos(h) - 1)/h } + lim(h->0) { cos(x) } * lim(h->0) { sin(h)/h } = (sin(x))*0 + (cos(x))*1 = cos(x).

Vi brukte også at lim(h->0) { (cos(h) - 1)/h } = 0.

 

Siden cos(h) = 1 - 2sin^2(h/2) får vi

lim(h->0) { -(2sin^2(h/2))/h }, la z = h/2,

- lim(z->0) { sin(z)/z } * lim(z->0) { sin(z) } = -(1)*(0) = 0.

[DrKarlsen]

http://www.studyworksonline.com/cda/conten...SAP732,00.shtml <-- der finner du lim(x->0) { sin(x)/x } Endret 5. november 2005 av DrKarlsen

[Torbjørn]

Ah, stemmer det, man klemmer den inn mellom to andre grenser. det var en bra applet.

[DrKarlsen]

Jepp, den forklarte ganske bra. Squeeze teoremet er faktisk veldig nyttig andre plasser også.

[Zethyr]

Det med om lim (x -> inf) x/x = 1, kommer vel av at jeg ikke leste godt nok at man ikke hadde med grenseverdier å gjøre når jeg leste inf/inf = ind, og derfor lurte på hva dette hadde å bety. La oss glemme det nå.

 

Hva er grenseverdien for 0,999999...9 da?

Den har jeg jo skrevet!

lim(x->0+) { 1 - x }

 

For enkelhets skyld kan vi jo like godt bare si:

lim(x->1-){x}

 

Det er vel her spørsmålet nå ligger, om jeg har oppfattet det riktig: er lim(x->1-){x} lik 1 eller er det lik 0,999_ ?

[Torbjørn]

gjelder å finne bra squeeze'r

[DrKarlsen]

Zethyr, den er lik 1.

[Simen1]

0,999... kan forresten skrives som SUM (n=1) (inf) 9/10^n der den første parantesen er nedre grense og den andre parantesen er øvre grense. SUM er det matematiske summeringssymbolet. Grenseverdien er 1, selv om man kan begynne å skrive tallet som 0,999... som en mellomregning.

5109429[/snapback]

Kan du ellers vise den matematiske utledningen av grenseverdien for den rekka? Jeg spør av nysgjerrighet.

5109474[/snapback]

 

Jepp, jeg måtte bla litt i matteboka for å være helt sikker. (Selv om geometriske rekker er svært enkle så er det så lenge siden jeg har regnet på det at jeg måtte slå opp utledningen). Utledningen går kort sagt ut på å skrive rekka 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 ... og trekke fra rekka 0,1 + 0,01 + 0,001 ... . Både teoremet (konklusjonen) og utledningen finner du i teorem 6 på side 786 i boka "Advanced Engineering Mathematics" 7. edition av Erwin Kreyszig. (se under her)

 

Hvis man ganger summasjonen med 0,9 og bruker en q som er 1/10 så kan man skrive ligninga det siste vedlegget her. Summasjonen konvergerer til verdien 0,9 * (1/(1-q)), siden q er mindre enn 1. Legg merke til at teorem 6 brukes ved likhetstegn nr. 2. Altså er er svaret på summasjonen 1.

Endret 6. november 2005 av Simen1

[Torbjørn]

Flott!

 

Skremmende hvor fort man glemmer, dette burde vært greit stoff

[Juke]

De har faktisk en haug med matematiske beviser for nettopp dette spørsmålet på Wikipedia, på denne adressen. Der har de forskjellige fremgangsmåter for å bevise samme sak.

 

Personlig synes jeg vel og merke fortsatt at det strider mot "all logikk" at 0.9999... skal kunne være eksakt lik 1 uansett hvor mange desimaler man har, om det så er uendelig mange av dem.

[834HF42F242]

Det kan vel ikke være eksakt likt 1 i andre tilfeller enn der det er uendelig mange desimaler.

[Juke]

Men jeg ser ikke logikken i at det skal bli eksakt lik 1 uansett hvor mange desimaler man har. Samme hvor langt ut man går i rekken, kommer man jo til en desimal i form av et 9-tall, så jeg mener det må en avrunding til for at tallet skal bli eksakt lik 1.

[834HF42F242]

Jeg begynner faktisk å se logikken i det. Men bare hvis evig tallrekke... Kanskje det er mer en tankegang enn logikk.

[Simen1]

De har faktisk en haug med matematiske beviser for nettopp dette spørsmålet på Wikipedia, på denne adressen. Der har de forskjellige fremgangsmåter for å bevise samme sak.

 

Personlig synes jeg vel og merke fortsatt at det strider mot "all logikk" at 0.9999... skal kunne være eksakt lik 1 uansett hvor mange desimaler man har, om det så er uendelig mange av dem.

5112500[/snapback]

Takk for en glimrende link. Det er utrolig hva man finner i wikipedia

 

Jeg skjønner at det kan virke "mot all logikk" men så lenge det siste leddet er "uendelig lite" unna 1 så ser jeg på de to som samme verdi. Dvs. at jeg betrakter "uendelig lite" som eksakt null.

[Juke]

Jeg skjønner at det kan virke "mot all logikk" men så lenge det siste leddet er "uendelig lite" unna 1 så ser jeg på de to som samme verdi. Dvs. at jeg betrakter "uendelig lite" som eksakt null.

Ja, det er nok der vi er uenige. Personlig anser jeg det ikke som eksakt null, siden jeg mener det da vil bli snakk om en avrunding (selv om det selvsagt er totalt uten betydning om man runder av dette i praksis selvsagt).

[JBlack]

Husk at selv om man kan vise en million forskjellige eksempler der 0.99999.... er lik 1.0 så vil det bare kreve et eneste eksempel på det motsatte.

 

Sagt på en annen måte, man kan ikke med eksempler bevise at 0.99999... er lik 1.0. Man må bevise det med matematisk teori.

 

Slik som 3*1/3 = 3*0.333333... = 0.999999... = 3*1/3 = 1.0 er ikke holdbart. Det er vel påpekt før i tråden at 0.33333.... ikke er en eksakt representasjon av 1/3 og dermed blir ikke eksempelet holdbart som bevis.

 

Edit: Poenget er at et bevis må inneholde en dypere forståelse av tallene, en forståelse av typen som ligger bak det som er nevnt tidligere at 1.0^inf ikke er 1.0 men udefinert.

Endret 6. november 2005 av JBlack

[834HF42F242]

Oj! Der var det jo, det matematiske stykket som produserer svaret 0,9999999999999...9

[Zethyr]

Oj! Der var det jo, det matematiske stykket som produserer svaret 0,9999999999999...9

5112716[/snapback]

Nei, det var ikke det

[834HF42F242]

Jeg synes faktisk det "beviset" sier at 0,99999...9 er akkurat det samme som 1.

[Simen1]

Husk at selv om man kan vise en million forskjellige eksempler der 0.99999.... er lik 1.0 så vil det bare kreve et eneste eksempel på det motsatte.

 

Sagt på en annen måte, man kan ikke med eksempler bevise at 0.99999... er lik 1.0. Man må bevise det med matematisk teori.

 

Slik som 3*1/3 = 3*0.333333... = 0.999999... = 3*1/3 = 1.0 er ikke holdbart. Det er vel påpekt før i tråden at 0.33333.... ikke er en eksakt representasjon av 1/3 og dermed blir ikke eksempelet holdbart som bevis.

 

Edit: Poenget er at et bevis må inneholde en dypere forståelse av tallene, en forståelse av typen som ligger bak det som er nevnt tidligere at 1.0^inf ikke er 1.0 men udefinert.

5112704[/snapback]

Så du er uenig i det matteboka mi sier og det Wikipedia sier? Slik jeg ser det så er differansen mellom 0,999... og 1 "uendelig liten" altså null. Null differanse betyr at tallene er like. De matematiske bevisene går nettopp på det at differansen går mot null når antall 9-tall går mot uendelig.

 

Ta f.eks rekka: 1,11111111... og kall den for A.

Så regner du ut A minus A/10:

1,11111111...

-0,11111111...

=1,0000000...

 

Siden rekkene med 1-tall er endeløse så vil også rekka med 0 etter 1-tallet være endeløst.

 

Gang rekka A med 0,9 så får du 0,99999... eller 1 om du vil. (etter det uthevede beviset)

 

0,99999999...

-0,09999999...

=0,90000000...

 

Eller gang A med 0,3 så får du 0,333333... eller 1/3 om du vil. (etter det uthevede beviset)

 

En digresjon: Jeg ser mange bruker punktum som separator mellom hele sifre og desimalene. Det er vanlig i USA, men i norge har vi vel standarisert komma som separator.

Endret 6. november 2005 av Simen1