Er 0,999_ det samme som 1? Høhøhø...

[834HF42F242]

Edit: HolgerLudvigsen, hva har det med saken å gjøre?

Endret 5. november 2005 av anth

[HolgerL]

Edit: HolgerLudvigsen, hva har det med saken å gjøre?

5108746[/snapback]

Poenget er at om man skal formulere PI med tall, så blir det en grenseverdi. Å formulere det med bokstaver som O og r beviser ikke at det ikke er en grenseverdi. Akkurat som at 0,999_=a/b ikke gir noen mer mening, siden vi ikke vet hva og b er.

 

Hva PI hadde med 0,999_-saken å gjøre husker jeg ikke, men det var vel et eksempel på en grenseverdi.

Endret 5. november 2005 av HolgerLudvigsen

[834HF42F242]

Hva er grenseverdien for 0,999999...9 da?

[DrKarlsen]

Den har jeg jo skrevet!

lim(x->0+) { 1 - x }

[HolgerL]

0,9999...9 hvor 9...9 betyr at det er uendelig mange desimaler med ni er en grenseverdi. Denne grenseverdien er 1. Altså er 0,9999...9 lik 1.

 

Altså "har" ikke 0,999...9 en grenseverdi. Det ER en grenseverdi, om du skjønner.

[HolgerL]

Vi sier at "noe har en grenseverdi når et eller annet går mot et eller annet". Dette noe kan være x+2, 3x, 23, osv. Grenseverdien kan være et vanlig tall, et tall med uendelig mange desimaler, et tall som ikke finnes, etc. Det "et eller annet" som går mot noe er en variabel. Det det går mot kan være et tall, uendelig, en annen variabel, etc.

Endret 5. november 2005 av HolgerLudvigsen

[Simen1]

jeg har ikke lest hele tråden, men 0.999999..... er jo et irrasjonelt tall og 1 er et rasjonalt tall. altså er de ikke det samme tallet. man kan også lese litt om kompletthetsprinsippet. 0.99999... har en minste øvre skranke på 0.999999... og du kan alltid konstruere et tall 0.9999.... < c < 1

5108504[/snapback]

Jeg ser du bruker 5 9-tall og sier at det ligger mellom 4 og 6 9-tall. Det er egentlig ikke det tråden handler om.

 

"..." betyr "også videre i det uendelige". Altså uendlig mange 9-tall. Min påstand er at det er umulig å konstruere et tall c som er 0.9999.... < c < 1.

[Simen1]

lim(x->inf) { x * 1/x } finnes, prøv å del på x oppe og nede, da får du lim(x->inf) { (1/x) * 1/(1/x) } = lim(x->inf) { 1 } = 1.

Hva i allverden sier du her?

5108616[/snapback]

Jeg ser nå at det er litt tullete, men fremdeles riktig.

 

se på x som x/1.

(x/1) * (1/x) = ((x/x)/(1/x)) * ((1/x)/(x/x)) = (1/(1/x)) * (1/x) = 1/(x/x) = 1/1 = 1.

Ser at det er veldig tullete nå, det er faktisk en grusom omvei. Men poenget var uansett at lim(x->inf) { x * 1/x } = 1.

5108652[/snapback]

Jeg er enig i det du skriver, men det er vel ikke så veldig relevant for denne tråden.

 

Å dele to grenseverdier som går mot null eller uendelig på hverandre kan gi være litt kinkig. Noen ganger konvergerer resultatet mot en bestemt verdi, andre ganger divergerer det.

 

Ellers er jeg enig med de som mener at Pi er et irrasjonelt tall som er en grenseverdi, men jeg er ikke enig i at 0,999... er en grenseverdi. Hvis man regner ut lim(x->inf) { 1-1/x } så vil grenseverdien være 1 og ikke et tall under 1. Akkurat som grenseverdien Pi er eksakt Pi og ikke "noe som nærmer seg Pi fra undersiden".

[834HF42F242]

Pi er vel ikke et irrasjonelt tall, tatt i betraktning at det er resultatet av en divisjon?

0,999...9 derimot, er ikke et resultat av en mulig divisjon, med mindre divisjonen også består av irrasjonelle tall. Eks: 9,9999...9/10

[Simen1]

Vi sier at "noe har en grenseverdi når et eller annet går mot et eller annet". Dette noe kan være x+2, 3x, 23, osv. Grenseverdien kan være et vanlig tall, et tall med uendelig mange desimaler, et tall som ikke finnes, etc. Det "et eller annet" som går mot noe er en variabel. Det det går mot kan være et tall, uendelig, en annen variabel, etc.

5108808[/snapback]

Jepp, og det er tallet som verdien går mot som er selve grenseverdien, ikke et tall på veien mot grenseverdien (f.eks er ikke 0,9 en grenseverdi av lim(x->inf) { 1-1/x } på veien mot 1. Det er tallet 1 som er grenseverdien.

[Simen1]

Pi er vel ikke et irrasjonelt tall, tatt i betraktning at det er resultatet av en divisjon?

5108899[/snapback]

Tall som ikke kan skrives fullt ut fordi det består av uendelig mange desimaler kalles for "irrasjonelle tall". Det er et matematisk uttrykk som brukes kosekvent.

[834HF42F242]

Hvis tallet 1 er grenseverdien, hvorfor er 3,14 da ikke en grenseverdi?

Siden 3,14 er en avrunding, høres det logisk ut at 1 også er en avrunding av 0,9999...9

[Simen1]

3,14 er en avrundig av Pi.

1 er en avrundig av det eksakte tallet 0,9999999 (merk: et bestemt antall 9-tall)

 

Pi er selve grenseverdien av en ligning som beskriver Pi (som regel en rekkeutvikling)

1 er grenseverdien av rekkeutviklingen 0,9 + 0,09 + 0,009 ...

[834HF42F242]

3,14 er også en avrunding av et tall som går i uendelig oppdeling (til dags dato).

[Simen1]

Ja, 3,14 er en avrunding av 3,14159265359...

 

Avrunding og grenseverdi to forskjellige ting.

[834HF42F242]

Debatten går altså ut på om 1 er en grenseverdi eller avrunding av 0,999...9?

[Torbjørn]

Jeg ser nå at det er litt tullete, men fremdeles riktig.

 

se på x som x/1.

(x/1) * (1/x) = ((x/x)/(1/x)) * ((1/x)/(x/x)) = (1/(1/x)) * (1/x) = 1/(x/x) = 1/1 = 1.

Ser at det er veldig tullete nå, det er faktisk en grusom omvei. Men poenget var uansett at lim(x->inf) { x * 1/x } = 1.

5108652[/snapback]

 

Jeg forstår fortsatt ikke hva du ønsker å vise her? Hvorfor må du dele og gange med samme tall? Hva er det dine brøker har som ikke uttrykket "x/x=1" har?

[Torbjørn]

Pi er vel ikke et irrasjonelt tall, tatt i betraktning at det er resultatet av en divisjon?

5108899[/snapback]

Tall som ikke kan skrives fullt ut fordi det består av uendelig mange desimaler kalles for "irrasjonelle tall". Det er et matematisk uttrykk som brukes kosekvent.

5108927[/snapback]

 

I en pirketråd som dette bør vel dette korrigeres noe, da 1/3 består av uendelig mange desimaler og kan ikke skrives fullt ut som et desimaltall.

[834HF42F242]

x/x=1

x=0

 

0/0=tull

[Simen1]

Debatten går altså ut på om 1 er en grenseverdi eller avrunding av 0,999...9?

5109195[/snapback]

Jepp

 

I en pirketråd som dette bør vel dette korrigeres noe, da 1/3 består av uendelig mange desimaler og kan ikke skrives fullt ut som et desimaltall.

Men 1/3 er vel et irrasjonelt tall det også, eller?