Er 0,999_ det samme som 1? Høhøhø...

[Zethyr]

Merkelig å tråd å sette opp en poll på.. Man skulle da tro at dette var noe som kunne bestemmes ut fra et sett matematiske regler, ikke at man måtte ta ibruk demokratiet

[Simen1]

hehe Du har helt rett i det Zetyr, jeg ville bare se hva mange folk mener (og ikke bare den harde kjerne som har debattert hardt i tråden og står urokkelig på sin mening)

 

Men siden det ikke er bare bare å komme med matematiske bevis for eller i mot på noe såpass vanskelig så handler det også litt om hvordan man mener matematikken skal tolkes og hvem sine matematiske beviser som virker mest overbevisende.

[Juke]

Det vil ikke overraske meg om enkelte av de mest kjente matematikerne ikke er helt enige om dette heller. Det er vel en grunn til at flere matematikere gjennom tidene ble lagt inn på sinnsykehus etter å ha studert uendelighetsbegrepet (i følge en mattelærer jeg hadde på videregående i allefall).

 

Jeg argumenterer i allefall ut fra det jeg lærte på høyskolen og på videregående, pluss det jeg selv anser for å være mest fornuftig.

[DrKarlsen]

Spørsmålet har ikke noe enkelt "ja" eller "nei"-svar! Kan du ikke legge til et alternativ som sier "rekken blir tilnærmet lik 1" eller noe?

[Simen1]

Jeg kom til å tenke på en ting: Hvor kommer tallet 0,9999... fra i utgangspunktet?

 

Eller hvor kommer tallet 1,11111... fra? Kan det komme fra andre ting enn noe som kan forkortes til brøken 10/9? Eller er det kun da tallet kan forekomme?

 

Hvis tallet ikke kan produseres på andre måter enn via en brøk så kan vi vel si at det er likt brøken? Hvis tallet ikke kan produseres på andre måter enn via en brøk, hva er da vitsen med å diskutere hvis det kunne blitt produsert på en annen måte?

[DrKarlsen]

Beklager, gjorde noe feil der. Tenkte at 10/9 var 0,99999... En ren tabbe fra min side.

Evig 0.99999... kan vel ikke skrives som en brøk, så da er vel det et bevis i andre retning, at det så og si er det samme som 1 (1/1)

5104850[/snapback]

 

Hvis tallet ikke kan skrives som en brøk betyr dette at tallet er irrasjonelt. 1 er ikke irrasjonelt, og tallene er derfor ikke like.

[Torbjørn]

Siemen1: Hvis du snur på flisa og ser på 1/3

 

Dette er 0,33333.... i det uendelige. Ikke 0.33333......33334

 

0,333 i det uendelige er det rimelig å si == 1/3

 

samme med 0,66666666 i det uendelige, når man lar antall 6'ere gå til uendelig er det rimelig å si at dette == 2/3

 

hva så med 3 * 1/3?

 

Inntil vi kan uttrykke 1/3 nøyaktig, må ikke dette da bli 0,999999.....i det uendelige? Men det regnestykket er jo også 1.

[Newt32]

Stæmte; Nei kæm i hælvette veit? Å kæm i hælvette bryr sæ?

[Simen1]

Torbjørn: Jepp, det var mitt resonnement også.

 

3 * 1/3 = 1

3 * 0,333... = 1

0,999... = 1

 

For de som ikke er enig i overgangen mellom 1. og 2. linje: Hvordan skal man da skrive tallet 1/3 desimalt? Hvis dere fortsatt ikke er enige: Hva annet enn brøken 1/3 kan skrives som 0,333... ?

Endret 4. november 2005 av Simen1

[Zethyr]

Jeg kom til å tenke på en ting: Hvor kommer tallet 0,9999... fra i utgangspunktet?

 

Eller hvor kommer tallet 1,11111... fra? Kan det komme fra andre ting enn noe som kan forkortes til brøken 10/9? Eller er det kun da tallet kan forekomme?

 

Hvis tallet ikke kan produseres på andre måter enn via en brøk så kan vi vel si at det er likt brøken? Hvis tallet ikke kan produseres på andre måter enn via en brøk, hva er da vitsen med å diskutere hvis det kunne blitt produsert på en annen måte?

5105683[/snapback]

0,999.. = {lim(x->1¯) x} = {lim(x->0¯) 1 + x} eller liknende..

 

Jeg kommer ikke til å ta standpunkt her før jeg får lest mer om emnet. Det som skiller 0,999.. er "uendelig lite", men allikevel tilstedeværende.

Om man tar en uendelig mengde 0'er og legger dem sammen, får man 0. Tar man en uendelig mengde uendelig små tall, og adderer dem, vil man da få 0? 1? noe som går mot uendelig? noe som går mot 1/uendelig, altså det man begynner med?

Først når jeg har svar på dette, følger jeg at jeg kan ta stilling til dette spørsmålet. Jeg har lett litt på functions.wolfram.com, men ikke funnet noe nyttig. Kanskje noen som er mer bevandret i matematikkens verden kan hjelpe meg litt?

 

edit: Etter å ha tenkt litt og lest litt har jeg funnet ut at man ikke kan avgjøre størrelsen på hva jeg spør om (det er "indeterminate", så jeg må nok prøve å finne svaret et annet sted.

 

lim(x->inf) x * 1/x = x/x = ind.

 

 

ny edit: send pm om dere ikke vil spore av diskusjonen, men hvorfor er:

?? På det nivået jeg bedriver matematikk har vi da alltid operert med at 1^x = 1, så hvorfor gjelder ikke dette (tilnærmet) uendelige potenser?

Endret 4. november 2005 av Zethyr

[DrKarlsen]

lim(x->inf) { x * 1/x } finnes, prøv å del på x oppe og nede, da får du lim(x->inf) { (1/x) * 1/(1/x) } = lim(x->inf) { 1 } = 1.

 

Hvis du skal se på 1^(inf) så må du igjen se på grensen. Husk at uendelig ikke er noe tall, så vi må derfor forestille oss at x blir veldig veldig stort, altså lim(x->inf) { 1^x } = 1. (Du har altså rett i at 1^x = 1.)

[834HF42F242]

Jeg kom til å tenke på en ting: Hvor kommer tallet 0,9999... fra i utgangspunktet?

5105683[/snapback]

 

Godt poeng. Tenkte på det jeg også, for det er ingen brøk (eller noen andre utregninger) som kan gi det svaret.

[JBlack]

send pm om dere ikke vil spore av diskusjonen, men hvorfor er:

?? På det nivået jeg bedriver matematikk har vi da alltid operert med at 1^x = 1, så hvorfor gjelder ikke dette (tilnærmet) uendelige potenser?

5106593[/snapback]

Jeg synes dette er absolutt on topic.

 

Jeg trodde også at 1^inf == 1 og ikke ubestemt. For jeg hadde akkurat tenkt å bruke det til å vise at 1 og 0.9999... ikke var det samme ved å sette 1^inf == 1 og 0.9999^inf == 0. Men da er det ikke sikkert det er holdbart?

 

En annen ting i samme tankebane...

 

1/1-a

 

Dersom a = 1 så får vi udefinerbart.

Dersom a = 0.999999... så får vi noe som går mot uendelig.

 

Jaja... ikke min sterkeste side akkurat dette...

[Zethyr]

lim(x->inf) { x * 1/x } finnes, prøv å del på x oppe og nede, da får du lim(x->inf) { (1/x) * 1/(1/x) } = lim(x->inf) { 1 } = 1.

 

Nå skal jeg si at jeg er på gyngende grunn, men se på følgende:

 

lim(x->inf) { x * 1/x } //Mathematica sier 1

 

lim(x->inf) { (1/x) * 1/(1/x) } //Mathematica sier 0 (jeg kan ha tastet feil, skjønneer ikke hvordan det blir 0)

 

lim(x->inf) { 1 } = 1. //Bør jo selvsagt bli 1

 

Men jeg trodde at x * 1/x = x/x. og når lim(x->inf) får vi:

 

 

Her er også noe jeg ikke forstår:

Fra før av har jeg jo lært at 0*x = 0

 

Er det bare functions.wolfram.com som tar feil/er for avansert for meg, eller har jeg noen åpenbare feilregninger/misforståelser noe sted?

Endret 5. november 2005 av Zethyr

[Zethyr]

Aha! Nå har jeg reddet meg inn igjen fra disse tabbene, og da vil ditt eksperiment også gå bra, JBlack:

Om man husker grenseverdiene i de små bildene jeg linket til, vil svaret straks bli hva vi forventer det å være. Det er når vi utelater grensene at all vanlig regning virker håpløst.

 

Da slenger jeg meg på JBlack og sier at lim(x->inf){1^x} /= lim(x->inf){0,999...9^x}

Dette fører da til at:

1 /= 0,999..9

 

edit; noen som har noe lesestoff å anbefale på dette emnet? Jeg sliter med å få mathematica til å godta grensene mine, f.eks. hvordan kan jeg uttrykke 0,9999... i Mathematica? Jeg har prøvd med følgende uttrykk; Limit[(1-1/x)^x, x->inf], men da sier den at 1 over grensen til uendelig blir presis 0, og uttrykket tilsvarer 1 ^grensen til uendelig.

Endret 5. november 2005 av Zethyr

[Juke]

For de som ikke er enig i overgangen mellom 1. og 2. linje: Hvordan skal man da skrive tallet 1/3 desimalt? Hvis dere fortsatt ikke er enige: Hva annet enn brøken 1/3 kan skrives som 0,333... ?

Man kan egentlig ikke skrive 1/3 som 0,33333...(osv), det blir bare en tilnærming. Når man regner pleier man for enkelhets skyld å konvertere 1/3 til 0,333333... med et visst antall desimaler, men da snakker man nok en gang om en tilnærming. Det samme gjelder når man har uendelig med desimaler bak, slik at man får 0,3333333 etterfulgt av uendelig med 3-tall.

 

1/3 er ikke altså ikke nøyaktig det samme som 0,333... med uendelig mange desimaler slik jeg ser det, det er bare svinaktig nært. Uendelig nært, faktisk.

[834HF42F242]

Hvorfor skal vi vite om et tall som ikke eksisterer, er tilnærmet 1 eller lik 1?

[Zethyr]

Det eksisterer ikke? hvis x går mot null fra oversiden og jeg skriver 1-x, er ikke det nettopp det tallet du påstod ikke eksisterte?

[834HF42F242]

Du kan ikke få 0,99999...9 som svar på en subtraksjon, addisjon, divisjon eller multiplikasjon. Hvis det skulle gå, vis meg stykket...

[Zethyr]

Jeg skrev nettopp opp stykket i posten ovenfor

lim(x->0 (fra oversiden)) { 1-x}

eller rett og slett bare:

lim(x->1 (fra undersiden)) {x}