Er 0,999_ det samme som 1? Høhøhø...

[Simen1]

skag1: Man kan unngå uendelige tallrekker ved å skrive de eksakte tallene i stedet for et omentrentlig tall. F.eks skrive Pi i stedet for 3,141592... gjennom hele regnestykket og svaret.

 

Det samme med tallet "e", avogadros tall og andre konstanter.

 

Når en ting skal deles på en annen f.eks 1/3 eller Pi/e så beholder man brøken i stedet for å regne ut et omentrentlig svar.

[Skagen]

Tror dere misforsto meg litt.

Jeg fokuserer ikke på spesifike problemer, men matematikk generelt.

Det blir nesten som om man har oppdaget at man kan konstuere en bensinmotor, men man vet ikke helt hvordan fordi man bruker treplanker i konstruksjonen, om dere skjønner?

 

Blir nesten som strengteori, man oppdager litt her og der til man plutselig ser at det var en del av noe større men enklere.

[Simen1]

Ok, da skjønner jeg. Jeg er forsåvidt enig i det, men synes ikke det er noe feil med matematikken selv om den trenger oppjusteringer for å takle nye problemer. Matematikken har gjennom hele historien blitt flikket på og fått nye grener for å løse nye problemer. Men grunnstammen består.

 

Jeg kan gjøre en sammenligning med fysikken: Newtons lover gjelder også i dag, selv om de har måttet tåle en justering for relativistiske fenomener. Newtons lover brukes som om de var nøyaktige og det er i de aller fleste tilfeller nøyaktig nok å regne med de klassiste newtonske lover. Det er kun ved ekstreme hastigheter og ekstreme nøyaktigheter at relativismen spiller noen rolle for brukeren av disse formlene.

 

Sånn mener jeg det er med matematikken også. Matriseregning egner seg til bestemte oppgaver, og har dermed blitt utviklet for det formålet som et tillegg til resten av matematikken. Transformasjoner (Laplace, Fouriær etc) er også en slik gren som fungerer som et tillegg til resten av matematikken.

[Anonym123456789]

Det er flott med flere svar og en ydmykt erklært "offtopic"-post som etter mitt skjønn er helt relevant, men jeg er litt skuffet over at dere overhodet ikke kommenterer det jeg skrev om kulene som ligger oppå hverandre... Jeg er liksom stolt over det. Overbevis meg nå om at en perfekt kule som ligger oppå en annen ikke berører den andre.

[Simen1]

ehasl: I praksis finnes ikke perfekte kuler. Tenk deg at du lager et par perfekte stålkuler. Så setter du disse oppå hverandre. Teorien sier da at kulene skal ha et uendelig lite kontaktpunkt. Teorien sier at om vekta av den ene kula skal hvile på den andre så vil det bli et trykk i kontaktpunktet som er vekta av kula delt på arealet av kontaktpunktet. Kontaktpunktet er uendelig lite (=0) og dermed blir trykket uendelig høyt. Siden stål bøyer av under et visst press så vil kula deformeres inntil kontaktpunktet blir så stort at det kan bære vekta av kula over. Kontaktpunktet får altså en reell utbredelse og den perfekte kula er ikke lengre perfekt på grunn av deformasjon. Hvor stort kontaktpnktet blir og trykket kan regnes ut fra kulas vekt og stålets styrke.

[Zlatzman]

I praksis har også atomene en gitt utstrekning, og bindingene mellom dem har begnensninger. Derfor kan man ikke lage perfekte kuler.

[Kakofoni]

Svar til #1

 

0,9~ er ikke 1, enkelt nok fordi det mangler et 0,0~1. Enkelt og greit. Det er jo logisk.

[CNesset]

Det "beviset" som forklarer det med at 1/3 = 0,333333333...., 2/3 = 0,66666666.... og da må 3/3(1) være lik 0,9999999......

 

0,99999999999.... og 0,6666666666........ er ikke hele tall, det er 1!

[Zethyr]

0,999.... er vel egentlig det samme som lim (x->1¯), og det er en grenseverdi.

[834HF42F242]

1/3 * 3 = 1

 

Enkelt og greit fordi vi regner med at det er den eksakte verdien det ganges opp med igjen, og ikke 0,33333333333->uendelig. En kalkulator printer 0,33333333333->uendelig i første operasjon, men legger i internminne at det har blitt delt på 3. Taster man tallet 0,33333333333 selv, og ganger det med 3, vil jo ikke svaret bli 3.

 

Det fine med brøk forresten, er at vi kan skrive det tallet vi ikke kan skrive med desimaltall.

 

Så derfor kan man jo fint si at 1/3 * 3 = 1, mens 0,3333333333.. * 3 = 0,999999999...

 

Edit: 0,333333333... er jo bare et tilnærmet svar på delestykket 1/3, mens brøken 1/3 er det eksakte svaret. Et tilnærmet svar kan man ikke bruke til å gange opp noe med igjen, med mindre man godtar feilmarginene eller har en kalkualtor som automatisk tar hensyn til hva det eksakte svaret egentlig er. Ergo 0,99999999...uendelig er ikke lik 1. 0,99999999...uendelig er heller ikke svaret på 1/3.

 

Edit: Rettet trykkfeil

Endret 31. oktober 2005 av anth

[sim]

Taster man tallet 0,33333333333 selv, og ganger det med 3, vil jo ikke svaret bli 3.

 

....

 

Ergo 0,3333333...uendelig er ikke lik 1.

5083408[/snapback]

 

Regner med at dette kommer av at klokka er 04.00 og vi begynner å bli litt trøtte? ;p

[834HF42F242]

Stemmer, sim.

 

Simen1 sa: Men grunnstammen består.

 

Vel, sier jeg: En kjede er ikke sterkere enn sitt svakeste ledd.

[834HF42F242]

Kom til å tenke på noe nå. π vil jo aldri kunne bli eksakt, heller ikke med en kalkulator, for den kjenner jo heller ikke den eksakte svarverdien av utregningen som førte til π. Det vil da si at alle sirkelberegninger hvor π er involvert lider av en feilmargin?

Kan man bruke en form for omforming av verdier slik at de blir hele i utregningsfasen, på π, ved hjelp av derivasjon og integrasjon?

[Skagen]

Om du regner med intergraler for å finne phi vil du finne phi's eksakte verdi i det du når uendelig antall målinger i intergralet, noe som i praksis er umulig.

Du vil bruke uendelig lang tid på å legge sammen alle målingene, og intergralet ditt blir uendelig stort.

 

Man kan si at virkeligheten (naturen) er for 'flytende' for at vi i dag skal kunne definere f.eks phi eksakt rent matematisk.

 

Edit: Et annet problem er at phi forutsetter en perfekt sirkel som Simen tildels forklarte er umulig i realiteten. Kuler er ikke så veldig ulik sirkler, to sider av samme sak vil jeg si.

Endret 31. oktober 2005 av skag1

[kyrsjo]

En måte å regne pi på er Stormers/Machins metode:

http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ifi.../oblig3-h05.pdf

Eksakt blir det aldri (ettersom det er et irrasjonalt tall, som ikke går opp i noe tallsystem). Dersom noen ønsker å se kode kan det ordnes.

[Simen1]

Enkelt og greit fordi vi regner med at det er den eksakte verdien det ganges opp med igjen, og ikke 0,33333333333->uendelig. En kalkulator printer 0,33333333333->uendelig i første operasjon, men legger i internminne at det har blitt delt på 3. Taster man tallet 0,33333333333 selv, og ganger det med 3, vil jo ikke svaret bli 1.

5083408[/snapback]

(jeg rettet siste siffer)

 

Ellers: Det er ikke sånn kalkulatorer fungerer. Kalkulatorer lagrer ikke at man har delt med 3, men de har et gitt antall gjeldende siffer. F.eks har min enkle kalkulator plass til 8 siffer og kan dermed regne med 7 stk 3'tall. 0,3333333*3=0,9999999. Hvis jeg starter med 1, deler på 3 så får jeg de samme 0,3333333, og hvis jeg ganger det med 3 igjen så får jeg også 0,9999999.

 

Den andre og mer avanserte kalkulatoren min regner på samme måte. 1 delt på 3 = 0,333333333333 (12 stk 3-tall). Ganger jeg det med 3 så får jeg 0,999999999999 (12 stk 9-tall). Display-visningen er likevel satt sånn at den avrunder alle sifre til de første 6 gjeldende siffer. Dermed ser svaret i displayet ut som 1,00000. Men hvis jeg trykker på "vis alle sifre" så viser den 0,999999999999.

 

Det samme skjer om jeg bruker brøkvisning. Hvis jeg taster inn 1 og deler på 3 så får jeg svaret 1/3. Hvis jeg så ganger med 3 så får jeg svaret 1 med et lite symbol som viser at tallet ikke er eksakt men er avrundet oppover. (1 delt på 2 ganger med 2 gir ikke dette symbolet)

 

Kalkulatoren regner altså hele tiden med desimaltall og ikke med brøker som den husker på så den skal avrunde riktig i ettertid.

 

Jeg vet at andre, mer avanserte kalkulatorer, kan regne symbolsk hele veien. Da er de ikke innom desimaltall i det hele tatt så hele diskusjonen om 0,333.. og 0,999.. gjelder ikke disse kalkulatorene.

[834HF42F242]

Det er ikke sånn kalkulatorer fungerer.

 

Min kalkulator fungerer slik:

 

Hvis jeg tar 1 og deler på 3, blir svaret 0,33333333333333333333

Hvis jeg ganger med 3, blir svaret 1

 

Hvis jeg derimot bare skriver 0,33333333333333333333 og ganger med 3, blir svaret 0,99999999999999999999

 

Den avrunder kun i tilfellet hvor det først er gjort en deling som ikke ga eksakt svar. Så noen kalkulatorer fungerer sånn, ja...

 

Edit: Test det på kalkulatoren som følger med Windows f.eks.

Endret 31. oktober 2005 av anth

[JBlack]

anth, den kalkulatoren har antagelig barre større intern representasjon av tallet enn hva den tillater at du trykker inn. Å huske gamle regnestykker og regner symbolsk i bakgrunnen tviler jeg på at den gjør.

 

Det er selvsagt ikke umulig, hvis det er en spesielt avansert kalkulator.

[Juke]

Her er i allefall min mening: 0,99999 (med uendelig mange desimaler) er mindre enn 1. Forskjellen er uendelig liten, men rent matematisk er det slik det er uansett. Man pleier å si at et slikt tall er TILNÆRMET lik tallet 1, men LIKE er de uansett ikke.

 

Ubetydelig i praksis riktignok, men rent matematisk sett er det likevel en forskjell på disse tallene. At det i praksis ikke går an å regne med et slikt tall, og at kalkulatorer kanskje automatisk runder av til tallet 1 osv, har ingen betydning.

[Torbjørn]

"moderne" kalkulatorer husker ett tall mer enn det som vises, ja, så når kalkulateren viser 0,3333333 (7 3-tall), husker den enda ett som ikke vises.

 

så egentlig:

0,3333333[3]

 

ganger du dette med 2, får du

 

0,6666666[6] --> 0,6666667

 

dette siste 6-tallet brukes for å runde siste siffer opp til 7 (se selv). Hvis du istedet taster inn 0,3333333 og ganger med 2, får du bare 0,6666666

 

samme med 1/3 * 3 numerisk:

 

0,3333333[3] * 3 = 0,9999999[9], det siste 9-tallet runder svaret opp til 1