Er 0,999_ det samme som 1? Høhøhø...

[834HF42F242]

2^5 = 32

2^4 = 16

2^3 = 8

2^2 = 4

2^1 = 2

2^0 = 1

2^-1 = 10,5

2^-2 = 0,25

2^-3 = 0,125

2^-4 = 0,0625 *

2^-5 = 0,03125 *

2^-6 = 0,015625

2^-7 = 0,0078125

2^-8 = 0,00390625 *

2^-9 = 0,001953125 *

2^-10 = 0,0009765625

2^-11 = 0,00048828125

2^-12 = 0,000244140625 *

2^-13 = 0,0001220703125 *

2^-14 = 0,00006103515625

2^-15 = 0,000030517578125

5132454[/snapback]

Genialt! Blir dette brukt i praksis?

Man kan jo dele bitene inn i klomser for verdier før og etter komma, og beskrive verdidene etter komma på samme måte som dem før, med "klumseskille" mellom.

[Rabben]

Simen: Jeg snakker om tall med en fast lengde ut fra et eksempel. Men som eksempelet legger opp til så er 3.333*3=9.9999 og det kan du bygge ut i det uendelige da 3.3333333333333*3=9.9999999999999 osv. Uansett hvor lang din uendelige rekke med 3 tall er, vil du få en uendelig lang rekke med 9 tall til slutt når du ganger med 3, du vil aldri få tallet 1.00.

 

Den eneste måten å få 0.999... til å bli 1.00 er ved å avrunde, noe som er vanlig å gjøre innenfor vårt vanlige (dvs mest brukte) tallsystem.

[Torbjørn]

Hvem har vist at 0,333.... kan betraktes i sammenligning med tall som noe annet enn en grenseverdi?

5132834[/snapback]

 

er det barnslig å quote seg selv?

 

det virker på meg som at alle står i stampe inntil dette er avklart.

[JBlack]

(Hint: 0.1 kan ikke representeres i et totallsystem)

Det finnes desimalseparator i det binære tallsystemet også (komma og ikke punktum forresten) Det binære systemet er ikke bare et heltallssystem.

 

0,1 (desimalt) = 000000,000110011001100... (binært)

5132454[/snapback]

Selvsagt finnes det desimalseparator i totallsystemet, eller ville jo det være meningsløst å be om å få representert 0,1 i totallsystemet.

 

Som du selv viser... du får en uendelig rekke og kommer aldri frem til en nøyaktig representasjon (hvilket var hva jeg ville frem til). Så det at man ikke kan skrive tallet eksakt i et gitt tallsystem betyr ikke, som anth prøvde seg med, at tilnærmingen er den eksakte verdien.

 

For morro skyld:

10 i 3-tallsystemet er: 101 (1*3^0+0*3^1+1*3^2)

10/3 i 3-tallsystemet er: 101/10 = 10,1

[834HF42F242]

101 må jo være 12?

Endret 10. november 2005 av anth

[Juke]

En ting jeg kom på: Hvorfor ikke bare skrive tallet i et annet tallsystem? F.eks i trinærtallsystemet? I så fall vil det være svært mye enklere å gange 1/3 med 3 med fullt ut med desimaler. Også kan vi oversette hvert ledd i denne regneoperasjonen fra trinærtallsystemet til desimaltallsystemet.

Du har rett i at du kan konvertere 1/3 til et nøyaktig desimaltall i trinærtallsystemet, dvs et tallsystem som består av sifrene 0, 1 og 2.

 

I trinærtallsystemet blir det derfor riktig å skrive at 1/3 = 0,1, sånn bortsett fra at det egentlig ikke skrives 1/3 lenger, det blir vel 1/10 dersom man skal skrive det korrekt.

 

Problemet oppstår når du skal overføre trinærtallsystemets 0,1 til titallsystemet, så lenge man holder seg til desimaltallformen hele veien. Tallene vil ikke gå opp i titallsystemet, og man må enten gjøre en tilnærmelse eller skrive det over til brøkform. Dette løser med andre ord ingenting, dvs problemstillingen er nøyaktig den samme som i utgangspunktet.

 

På titallsystemet ender man derfor opp med tilnærmingen 0,3333..., mens man på trinærtallsystemet uten problemer kan skrive 0,1.

 

Anth: 101 i tretallsystemet blir 10 i titallsystemet etter mine beregninger. Prøv å telle det opp på et ark. Da får du

 

Titallsystem: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Trinærtallsystemet: 1 2 10 11 12 20 21 22 100 101

 

Edit: Omformulerte et tall, og fikset et par andre feil. Tretallsystemet er mildt sagt uvant å beregne i.

Endret 10. november 2005 av Juke

[834HF42F242]

Ok. Jeg tenkte 3,9,27 osv...

[Paddington]

Siden det ikke er mulig å skrive 1/3 med det vanlige desimalsystemet, må man finne opp andre måter å skrive det på. 0.333... er en måte, her er mitt forslag til en annen, egentlig akkurat det samme, men viser veldig tydelig at det neste tallet alltid er 3:

 

 

 

[Simen1]

Hehe.. Den likte jeg.

[Torbjørn]

hehehe, ikke dumt, ikke dumt

[nd4spd]

0.9_ er ikke 1

 

Har man en X som er 0.9_y bred, og legger den ved siden av evig mange andre X'er som er 0.9_y brede, vil man få en feil (evig forskjell) fra en evig rekke X'er som er 1y bred.

 

Får jeg en kake?

Endret 6. mai 2006 av nd4spd

[VikingF]

0.999... = 1.

 

0.999... er det samme som grenseverdien der antall niere etter kommaet går mot uendelig. En grenseverdi er definert som den verdien det går mot, i dette tilfellet 1, derfor er 0.999...=1.

 

Bevis:

0.999... kan skrives på rekkeform som:

R=0.999...=0.9+0.09+0.009+0.0009+...

 

r=0.09/0.9=0.1 (Dette gjelder for hvert ledd => geometrisk rekke)

a=0.9 (første ledd)

 

Siden |r|<1, så er summen av den uendelige geometriske rekka lik:

S=a/(1-r)=0.9/(1-0.1)=0.9/0.9=1.

 

(QED)

 

http://www.math.ntnu.no/~kjellemo/SIF5003/rekker1.pdf

Endret 6. mai 2006 av VikingF

[Josten]

For å få litt variasjon Hva kan man si at 0,9999......^uendelig blir?

[DrKarlsen]

[simes]

Og endelig kan denne tråden dø en stille død... (?)

[Mr.Elendig]

1= 0.999999996274709702 vist man har ein pentium eldre enn p120

*løpeoggjemmeseg*

[834HF42F242]

∞

[Anonym123456789]

Jeg vil tro at den foretrukne måten å skrive grenseuttrykket på er lim[n-->inf, 1-10^-n]. Da slipper man uendelige summer, og kan i grunnen også dele opp i 1-lim[n-->inf, 10^-n]. Samtidig vil enhver endelig verdi av n gi null komma bare nitall. n=5 gir for eksempel 0.99999. (Ja, jeg bruker punktum som desimalskilletegn, fordi jeg ønsker å reservere komma til skilletegn mellom vektorkomponenter og mellom funksjonsparametre. Merkelig at Norge (og hvem andre?) skal ha et eget opplegg som ikke samsvarer med matematikernes foretrukne notasjon i internasjonal sammenheng, og heller ikke med moderne programmeringsspråk.)

 

Hvis man evaluerer grenseuttrykket får man 1, men jeg er tilbøyelig til å se på det mest som at 1 er den minste tallverdien som uttrykket ikke kan ha, og at 0.9_, hvis det kan tolkes som et tall, er det tallet som ligger tettest oppunder 1 uten å være 1. Til sammenligning tar man for eksempel grensen for 1/x når x går mot 0. Den divergerer mot positiv uendelighet når x kommer fra plussiden, og mot negativ uendelighet når x kommer fra minussiden. 1/0 er som kjent udefinert.

 

Jeg tenker slik at man må kunne operere med uendelig små størrelser som ikke er null. Man gjør det jo hele tiden i integralregning og sånt. Kast piler på en dartskive. Sannsynligheten for å treffe et gitt punkt er uendelig liten, men bare man treffer skiva så treffer man et punkt på den likevel. Sannsynligheten kunne ikke gis noen entydig tallverdi større enn null, men likevel må det ha vært mulig, siden det beviselig skjedde. Og tar man integralet av sannsynlighetstettheten over hele skiva, får man sannsynligheten for å treffe skiva. Den er (forhåpentligvis) større enn null.

 

Det finnes en litt alternativ retning i matematikken som beter infinitisemal-kalkyle (tror jeg), hvor man regner med "uendelig små" størrelser kalt positiv og negativ null, slik at 1/+0 er (en type) positiv uendelighet og 1/-0 er negativ uendelighet. Mulig jeg bløffer litt, men sjekk "infinitisemal calculus". Her kan man tenke seg at det såkalte 0.9_ er 1-(+0) eller 1+(-0).

 

Til spørsmålet om 0.9_^inf spørs det hvilke uendeligheter man velger, da... Jeg synes det er fair å velge samme uendelighet, slik: lim[n-->inf, (1-10^-n)^n)] (eller en konstant ganger n ett av stedene). Men den kunne jeg ikke ta på stående fot, akkurat. Kan omformes ved hjelp av n-te linje i pascals trekant eller noe... Et lignende uttrykk, (1+1/n)^n går mot konstanten e (ca 2.72). Det er et uttrykk hvor den lille addenden i parentesuttrykket krymper mye saktere enn 10^-n, så jeg tror ikke man skal regne med å få et like morsomt resultat med -10^-n. Det ser i grunnen ut som det vil ende på 1, uten at jeg skal være for sikker.

 

Men her er en kjiping: I henhold til et eller annet teorem har alle rasjonelle tall en evig repeterende hale av desimaler (for tall med endelig representasjon er denne halen "0"), mens ingen irrasjonelle tall har det. Siden 0.9_ har en slik hale, "9", må det være et rasjonelt tall, og hvilket annet tall kan det da være enn 1/1 ?, med tanke på at avstanden til 1/1 er uendelig liten? Nå har jeg ikke gått forutsetningene nøye etter i sømmene, men det er jo verdt en tanke... Igjen går det an å beskrive tallet som en grense, da: lim[n-->inf, 10^n*(1-10^-n)/10^n], altså et tall med uendelig teller og uendelig nevner. Men her er både telleren og nevneren funksjoner av n, og da kommer kanskje l'Hôpitals regel til sin rett:

Jeg deriverer på n (selv om n ikke er kontinuerlig, er alle funksjonene jeg har brukt n i deriverbare...) oppe og nede:

Lim[n-->inf, ((ln(10)*10^n*(1-10^-n)-10^n*ln(10)*10^-n)/(ln(10)*10^n)]

=lim[n-->inf, (10^n*(1-2*10^-n)/10^n]

Puh! greit nok, siden det også gir svaret 1. Grenseverdien er altså den samme enten man tenker seg at man avslutter på ...9999 eller på ...9998. Tolkningen min av grenseverdien som det minste tallet det ikke kan være, slår kanskje litt sprekker...

 

Anta at man kan bruke l'H m ganger. Jeg gjør m til en funksjon av n, noe jeg nok tror er litt for frekt, men slik at jeg bruker l'H akkurat så mange ganger jeg kan (så lenge både telleren og nevneren divergerer). Det skulle gi noe slikt:

Lim[n-->inf, 10^n*(1-2^m(n)*10^-n)/10^n]=lim[n-->inf, 1-2^m(n)*10^-n]

og for m(n)=ceil(log2(10^n))=ceil(n*log2(10)) skulle jeg få et uttrykk 1-lim[n-->inf, 2^(ceil(n*log2(10)))*10^-n]. Log2(10^n) gir tallet man må opphøye 2 i for å få 10^n, slik at 10^-n utlignes, men m må være et heltall, så derfor runder jeg opp med ceil. Så da står jeg igjen med et tall like under null. Et underlig resultat, som følge av dårlig matematikk...

 

Edit: Nå har jeg aldri hørt om rasjonelle tall med uendelig teller og nevner heller, da. Derimot kan slike grenseuttrykk brukes til å uttrykke det man vet er irrasjonelle tall. Men hver tilnærming i følgen er like fullt et rasjonelt tall.

 

Edit: Her er en kjiping til: det er like mange, eller rettere sagt like uendelig mange rasjonelle tall som det er naturlige tall. Dette til tross for at det finnes uendelig mange rasjonelle tall mellom to gitte naturlige tall som er naboer. Grunnen til at man sier dette, er at det finnes en metode for å tilordne ethvert rasjonelt tall en indeks, altså et naturlig tall. Det samme kan ikke sies om irrasjonelle tall, som derfor har en høyere klasse av uendelighet ("ikke tellbar"). Men når man gjør som jeg gjorde over, og tar en grense for brøken mellom to naturlige tall som går mot uendelig, så går det ikke an å finne indeksen til tallet, fordi denne også går mot uendelig, og da kan man ikke vise at det er et rasjonelt tall (med mindre brøken kan forkortes til 1, da)... Ikke rart at Boltzmann, Cantor, Gödel og Turing slet psykisk (sistnevnte hjulpet av kjemisk kastrering grunnet homofili). Se dokumentaren "Dangerous knowledge" om akkurat disse. Veldig interessant!

Endret 3. november 2015 av Anonym123456789

[Zlatzman]

Jeg vil tro at den foretrukne måten å skrive grenseuttrykket på er lim[n-->inf, 1-10^-n]. Da slipper man uendelige summer, og kan i grunnen også dele opp i 1-lim[n-->inf, 10^-n]. Samtidig vil enhver endelig verdi av n gi null komma bare nitall. n=5 gir for eksempel 0.99999. (Ja, jeg bruker punktum som desimalskilletegn, fordi jeg ønsker å reservere komma til skilletegn mellom vektorkomponenter og mellom funksjonsparametre. Merkelig at Norge (og hvem andre?) skal ha et eget opplegg som ikke samsvarer med matematikernes foretrukne notasjon i internasjonal sammenheng, og heller ikke med moderne programmeringsspråk.)

IS standard (fransk utgave) benytter , som desimalskilletegn, så Norge er nok ikke helt alene.

 

Blå: punktum

Grønn: komma

Endret 6. november 2015 av Zlatzman

[-trygve]

IS standard (fransk utgave) benytter , som desimalskilletegn, så Norge er nok ikke helt alene.

Og som en liten kuriositet: Jeg har nå en spansk student som bruker komma oppe (altså 1´0) som desimalskilletegn når hun skriver for hånd. Jeg vet ikke hvor utbredt dette er i Spania, men hun ser det i hvert fall som helt normalt.