Er 0,999_ det samme som 1? Høhøhø...

[Juke]

[lim (x->inf) 1/x ] * [lim (x->inf) x] er ikke lik 0 * [lim (x->inf) x].

 

Det riktige er å slå sammen parantesene og regne lim (x->inf) [1/x * x] = lim (x->inf) x/x = lim (x->inf) 1 = 1 og kaka består 

Øh, hvorfor i alle dager forutsetter du at man skal gange med lim (x->inf) x samtidig? Som sagt, det eneste du oppnår med det er i praksis å eliminere både oppdelingen og sammensetningen av kaken, altså er hele regnestykket ditt meningsløst.

 

lim (x->inf) 1/x går mot null, dermed blir det i følge samme tankegang som i bevisene for at 0,999... = 1 så vidt jeg har skjønt riktig å skrive

lim (x->inf) 1/x = 0

 

Prøv deretter å reversere dette ved å bruke

lim (x->inf) 0*x

 

Hva blir svaret? Jo, det blir 0, ergo er kaken (tallet 1) borte, noe som beviser at man snakker om en avrunding dersom man sier at

lim (x->inf) 1/x = 0

 

Endret 7. november 2005 av Juke

[haugsand]

0,99999...9 må være 1 fordi vekten viser det. 0,33333...3*3 er nemlig 1, og ikke 0,9999...9. Dvs. at 0,99999...9=1. Ja, jeg vet det er tynt, men det er bare en tankegang.

5114818[/snapback]

 

Er 1/3 det samme som 0,333...3, som du forutsetter her?

 

I følge min tolkning kan ikke 1/3 skrives som et desimaltall, så 0,333...3 blir bare en avrunding, uansett hvor mange desimaler du legger til.

 

Jeg mener at 0,333...3 * 3 derfor blir 0,999...9, og ikke 1.

 

Hvor stor forskjell det er mellom 0,333...3 og 1/3, og 0,999...9 og 1, er også en annen problemstilling som jeg ikke kan svare på. Er det mulig å bevise forskjellen vha. epsilon-delta?

Endret 7. november 2005 av satyrium

[Simen1]

Jeg er ikke enig. Man må holde styr på det at x går mot uendelig i samme hastighet for både "x" og for "1/x". X er parallellt det samme i begge uttrykkene hele veien på vei mot uendelig. Altså når x er 10 så er 1/x = 1/10 og når x er 100 så er 1/x = 1/100 osv. Feilen oppstår i det man sier at den ene (1/x) allerede er kommet til uendelig mens den andre (x) fortsatt er på vei mot uendelig.

 

Som nevnt tidligere kunne man satt opp samme regnestykke med f.eks Y kaker og fått Y som resultat med min metode og null med din metode. Siden vi vet at Y er det riktige produktet og det er svaret med min metode så mener jeg at min metode er riktig og din metode er gal.

[Torbjørn]

1/3 kan skrives som desimaltallet 0,333... der antall 3-tall går mot uendelig, derom er det liten tvil.

 

dette tallet multiplisert med 3 gir tallet 0,999.. med uendelig 9-tall

 

dette tallet i seg selv er vist konvergerer til 1 som en geometrisk rekke når antall 9-tall går mot uendelig.

[Juke]

Simen1, det vi prøver å komme frem til her er hvorvidt man kan finne et eksakt tall som tilsvarer uttrykk som f.eks.

 

lim (x -> inf) 1/x

 

Det blir samme problemstilling som med 0,999... i forhold til tallet 1, men enklere å illustrere med.

 

Problemet med din fremgangsmåte er at du sløyfer det leddet vi vil frem til, nemlig konverteringen fra dette uttrykket til et vanlig tall, som i henhold til de matematiske bevisene altså blir nøyaktig lik null.

 

Brøker av typen 1/3 ganget med 3 vil bli nøyaktig lik 1, men prøver du først å konvertere brøken 1/3 til et vanlig tall, vil du se at du ender opp med 0,3333..., og dermed oppstår det samme problemet. Du kan gange 1/3 med 3 og få nøyaktig 1, men det er en helt annen sak å gange 0,333... med 3, da du i såfall kun oppnår tallet 0,999... (med et antall 9-tall som går mot uendelig), dvs et tall som aldri vil kunne bli nøyaktig 1 uansett hvor mange desimaler man legger på. Den eneste måten å nå tallet 1 på, er gjennom en avrunding.

 

Poenget her er at det ikke går an å uttrykke brøken 1/3 som noe eksakt tall på vanlig tallform, det blir uansett en tilnærming. På samme måte vil jeg si formelen

 

lim (x->inf) 1/x

 

ikke kan uttrykkes nøyaktig på vanlig tallform heller, det nærmeste man kommer blir noe sånt som 0,00000... osv (med et eller annet udefinert i enden, sånn rent bortsett fra at man aldri kommer til noen ende så lenge man involverer uendelighetsbegrepet vel og merke. Udefinert, med andre ord). I matematikken pleier man derfor å heller ta en snarvei, slik at man for enkelhets skyld sier at tallet blir nøyaktig lik 0, men da snakker man altså om en avrunding. Tallet ER ikke eksakt lik null selv om man benytter en slik snarvei.

 

Ved å inkludere forutsetningen din om at man skal sammenlikne uttrykkene om hverandre uten å noensinne komme innom det faktiske problemområdet, nemlig konverteringen til et vanlig tallformat, mener jeg hele fremstillingen blir meningsløs.

[Torbjørn]

Hvordan passer det inn i din siste post at det matematisk er vist i denne tråden at grenseverdien 0,999... når antall 9-tall går mot uendelig er 1?

[JBlack]

At grenseverdien er én, betyr ikke at tallet er én, men at tallet går mot én. Eller?

[Torbjørn]

Det er riktig. ish.

 

Noe annet går det ikke an å diskutere. 0,99.. med uendelig antall 9 tall er en grenseverdi.

[JBlack]

Innlegg hentet fra 6'ere-tråden for å unngå avsporing av den tråden.

10x = 9.999999999...

- x  = 0.999999999...

9x = 9.0000000000...  notice the repeating nines all drop out

5122129[/snapback]

 

Man kan ikke uten videre ta for gitt at dette er lov å gjøre bare fordi rekken av 9-tall er uten ende.

 

Anta at x ikke har uendelig mange niere i hale, men er ganske enkelt 0.99

x=0.99000 => 9x=8.91

x=0.99900 => 9x=8.991

x=0.99990 => 9x=8.9991

x=0.99999 => 9x=8.99991

x=0.999.... => 9x=8.999.....91

5122326[/snapback]

[Paddington]

Kake

 

Hvis man skal skjære et stykke av kaken, slik at 1 blir 0,99999.... , må man vente til antall 9-tall slutter å løpe, siden 9-tallene aldri slutter å løpe, kan man ikke skjære et stykke av kaken. kaken er fortsatt like hel og 0,99999=1

 

Er 0,3333333.... mindre enn 1/3 eller større?

 

Svar:

 

For å bestemme det, må man se på tallet som kommer etter det siste 3-tallet. Hvis det kommer en 0 etter det siste 3-tallet, er 0,33333.... mindre enn 1/3, hvis tallet er større enn 3, er 0,33333... større enn 1/3. Men siden det neste tallet alltid er 3 og det ikke finnes noe siste tall, er 0,33333... alltid lik 1/3

 

0,3333... + 0,3333... + 0,3333... = 0,99999....

 

1/3+1/3+1/3=1 :-)

Endret 8. november 2005 av Paddington

[Juke]

Er 0,3333333.... mindre enn 1/3 eller større?

0,33333.... er mindre enn 1/3, siden det er definert at det kommer tretall i all evighet. Kommer det et firetall underveis, blir det jo større, derfor kan det ikke komme annet enn tretall. Dermed vil 0,3333.... faktisk uansett være mindre uansett hvor mange desimaler man har (selv om tallet går mot uendelig), dvs det er kun snakk om en tilnærming av en tredjedel. Nøyaktig en tredjedel blir det aldri.

[JBlack]

For å bestemme det, må man se på tallet som kommer etter det siste 3-tallet. Hvis det kommer en 0 etter det siste 3-tallet, er 0,33333.... mindre enn 1/3, hvis tallet er  større enn 3, er 0,33333... større enn 1/3. Men siden det neste tallet alltid er 3 og det ikke finnes noe siste tall, er 0,33333... alltid lik 1/3

5122892[/snapback]

Det beviset er ikke holdbart, ettersom du ikke har bevist noe som helst.

 

Du har sagt:

Det er ikke trivielt å vise at 0.333... er mindre enn 1/3

Det er ikke trivielt å vise at 0.333... er større enn 1/3

Derfor er 0.333... eksakt lik 1/3

 

Ikke holdbart bevis i det hele tatt.

[834HF42F242]

Forskjellen på 1/3 og 0,3333... er lik 0,0000...

Er det noen forskjell da? Kun hvis man en gang må avslutte nuller-rekken med et ettall. Hvis ikke, vil rekken alltid bare bestå av nuller, og dermed være lik 0. Ergo er 1/3 det samme som 0,3333. Ergo er 0,9999... det samme som 1.

[Ciryaher]

Jeg skjønner ikke egentlig hva dere krangler om. Et tall som er 0.xxx... kan aldri bli 1. Tallet kan ha en grenseverdi lik 1, men den når aldri denne verdien. For hver 9'er du legger til bak komma nermer du deg nevnte grenseverdi med 9/10-deler av det stykket du var fra verdien før du la til dette 9-tallet.

 

Edit: Du har fremdeles den lille 1/10-delen igjen å gå hver eneste gang.

 

Det kan være dere har kommet fram til det samme i løpet av 11 sider, men jeg leste bare side 1. Isåfall beklager jeg denne unødvenige posten.

Endret 8. november 2005 av Atanatar

[834HF42F242]

Atanatar: Er du enig i at 0,0000... er det samme som 0, hvis rekken ikke avsluttes med et ettall?

Endret 8. november 2005 av anth

[Torbjørn]

Anth, du er nødt til å bruke ordet grenseverdi i en hver argumentasjon som innebærer uendelig

[Ciryaher]

Atanatar: Er du enig i at 0,0000... er det samme som 0, hvis rekken ikke avsluttes med et ettall?

5123070[/snapback]

 

0.000... er 0

0.000...01 er mer enn 0

[JBlack]

Forskjellen på 1/3 og 0,3333... er lik 0,0000...

Er det noen forskjell da? Kun hvis man en gang må avslutte nuller-rekken med et ettall. Hvis ikke, vil rekken alltid bare bestå av nuller, og dermed være lik 0. Ergo er 1/3 det samme som 0,3333. Ergo er 0,9999... det samme som 1.

5123053[/snapback]

Feil. Man kan ikke avslutte rekken med 1 (eller noe annet) så lenge den består av en uendelig rekke med null. Årsaken til at man får masse nuller er jo nettopp at tallet ikke er eksakt null. Men man kan aldri avslutte rekken, fordi tallsystemet vårt ikke evner å skrive tallet eksakt. Det er det samme som med PI. Tallsystemet vårt kan heller ikke skrive det tallet eksakt. Samme med 1/3 og 2/3. Uendelig rekke siffre som aldri avsluttes.

 

Og fordi rekken aldri avsluttes så kan man ikke si at siste siffer er større eller mindre enn noe, for det finnes ikke noe siste siffer.

[Torbjørn]

Er det noen prinsipiell grunn til at man ikke skal kunne fylle på uendelig antall 0'er på den nest siste plassen istedet for den siste?

[834HF42F242]

JBlack: Ja da må man - i følge deg - avslutte rekken med en 0 (om den skal stoppes i stedet for å gå mot uendelig), og da er det iallefall det samme som 0.