Er 0,999_ det samme som 1? Høhøhø...

[Juke]

Tenkte jeg skulle ta et eksempel på hvor ulogisk jeg synes slutningen om at 0,99999... er nøyaktig lik 1 er:

 

Tenk deg en matematisk fremstilling av en kake, som altså har et visst volum (en matematisk figur i tre dimensjoner). Jeg sier matematisk figur, slik at vi unngår problematikken rundt at man ikke kan dele opp en ekte kake i all uendelighet.

 

La oss så si at vi skal denne denne "virtuelle" kaken på uendelig mange mennesker. Spørsmålet er da: Hvor mye av kaken vil hver person få?

 

I følge de matematiske bevisene vil hver person, så vidt jeg kan se, få NØYAKTIG INGENTING av kaken, dersom 1 delt på uendelig = null. Det er egentlig veldig godt gjort, for hvor blir det i såfall av kaken?

 

I følge min oppfatning av uendelighetsbegrepet vil hver person måtte få en uendelig liten del av kaken, som følgelig ikke kan være nøyaktig lik null. Sier man at hver person får nøyaktig null og niks, vil jeg si vi har en logisk brist her, siden kaken da på mystisk vis forsvinner.

 

Jeg går med dette ut fra at det finnes beviser som sier at 1/uendelig = 0, dersom det finnes beviser som viser at 0.999... = 1, slik jeg ser det er det egentlig samme prinsipp i begge tilfellene. Irettesett meg gjerne hvis jeg tar feil på dette punktet.

 

Edit: Wow, vi er nå oppe i over 180 poster i denne tråden. :!:

Edit2: La til et forbehold på slutten.

Endret 6. november 2005 av Juke

[DrKarlsen]

Hvor mange folk skal spise denne kaken?

[Zethyr]

Simen1: Din digresjon gjør neppe at jeg kommer til å skifte (vet ikke hva jeg bruker selv engang.. ) Å venne seg til å bruke punktum er lurt når man f.eks. bruker mathematica daglig, hvilket jeg regner med at en del universitetsstudenter kanskje gjør.

 

Juke: Å dele opp kaken i uendeligheten er umulig. Vi kan derimot dele den opp i et antall som går mot uendelig. Da vil hvert kakestykke's volum gå mot null, og vi slipper at kaken tilintetgjør seg selv.

 

edit: null byttet mot uendelig.

Endret 6. november 2005 av Zethyr

[Juke]

Du har sikkert rett i at jeg burde skrevet at kaken deles opp på et antall som går mot uendelig. I såfall går altså størrelsen på kakestykkene også mot null i størrelse, men de BLIR aldri lik null slik jeg ser det. Det øyeblikket hvert kakestykke får en størrelse som blir LIK null, har kaken automatisk opphørt å eksistere, noe jeg vil si at bør være en umulighet også i den matematiske verdenen.

[DrKarlsen]

Den går mot null, men blir aldri null. Hvis uendelig mange personer skal spise uendelig mange kakestykker vil alle få spist litt.

 

Dette minner kanskje litt om Hotellproblemet til Hilbert. Det er et hotell med uendelig mange rom, anta at hotellet er fullt. En dag kommer en gjest, han vil ha et rom. Får han det? Enn om det kommer to personer og vil ha rom? Enn om det kommer en buss med uendelig mange personer? Får disse rom?

 

Svaret på alle spørsmålene er selvfølgelig ja.

[JBlack]

Åhh...

 

Både anth og Simen1 bomme jo totalt på poenget mitt.

 

Poenget var at jeg anser ikke enkle eksempler som ikke inneholder noen dypere forståelse for brukbare bevis i denne sammenheng.

 

Simen1, nei jeg stoler ikke på wikipedia i denne sammenhengen. Innlegg i wikipedia kan være skrevet av folk som deg og meg som tror de vet hva de snakker om, men som mangler den dypere forståelsen. Det er nok av påståelige mennesker i denne verden. Matteboka di har jeg ikke noe forhold til.

[Juke]

Den går mot null, men blir aldri null. Hvis uendelig mange personer skal spise uendelig mange kakestykker vil alle få spist litt.

Men da betyr vel det at 0,9999... aldri kan bli nøyaktig lik 1 heller? Slik jeg ser det, er disse eksemplene rimelig identiske. I eksempelet 0,999... blir forskjellen mellom 0,999... og 1 mindre og mindre jo flere desimaler man fyller inn, og fyller man inn uendelig mange, blir forskjellen uendelig liten. På samme måte som kakestykket delt på X blir mindre og mindre jo større X er, og når X går mot uendelig går størrelsen av kakestykkene mot null, men kan aldri bli LIK null.

 

Dette minner kanskje litt om Hotellproblemet til Hilbert. Det er et hotell med uendelig mange rom, anta at hotellet er fullt. En dag kommer en gjest, han vil ha et rom. Får han det?

Det hotelleksempelet inneholder vel også en logisk brist, dersom fasitsvaret skal være at den nye gjesten får rom. Det ikke tross alt ikke mulig for en ny gjest å få rom dersom ALLE rommene allerede er fulle, uavhengig av hvor mange rom det finnes totalt i hotellet. Det hjelper derfor ikke om hotellet har uendelig mange rom, dersom det er definert slik at samtlige er fulle i utgangspunktet.

[DrKarlsen]

Det er vel her det kommer inn at uendelig ikke er et tall.

[Torbjørn]

De har faktisk en haug med matematiske beviser for nettopp dette spørsmålet på Wikipedia, på denne adressen. Der har de forskjellige fremgangsmåter for å bevise samme sak.

 

Personlig synes jeg vel og merke fortsatt at det strider mot "all logikk" at 0.9999... skal kunne være eksakt lik 1 uansett hvor mange desimaler man har, om det så er uendelig mange av dem.

5112500[/snapback]

 

det heter seg at grenseverdien når antall 9'ere går mot uendelig er lik 1

[834HF42F242]

Hvis du deler en fysisk kake som veier 1 kilo i tre akkurat like store deler, vil hver del veie 0,333333...3 kilo. Veier man alle stykkene samlet igjen, veier de 10 kilo. Det vil da si at 1/3*3 ikke er 0,99999...9 slik det ble sagt tidligere. Vekten klarer å legge sammen 3*0,333333...3 riktig.

Endret 6. november 2005 av anth

[Simen1]

Hmm.. Kakeeksemplet viser vel bare at det er umulig å gange null med uendelig og få et fornuftig svar. Eller sagt på en annen måte: volumet av hver kakebit ganger med antall kekebiter. Hvis man derimot bruker grenseverdiene og ganger sammen så blir det riktigere: lim (x->inf) volum * antall biter = lim (x->inf) 1/x * x = lim (x->inf) x/x = lim (x->inf) 1 = 1. (Det de uthevede 1-tallene representerer antall kaker)

 

Kakeeksemplet kunne like gjerne vært gjort med et hvilket som helst antall kaker. (f.eks X) Til og med et negativt antall kan brukes som eksempel. Alle disse eksemplene kan tenkes forkortet til null ganger uendelig. Null ganger uendelig kan altså bli et hvert tall. Regnestykket gir altså ikke noen mening. Hvis man derimot hadde brukt grenseverdier slik som over her så kunne man byttet ut de uthevede 1-tallene med et hvilket som helst annet tall og fått et fornuftig svar.

Endret 6. november 2005 av Simen1

[Lungemannen]

Dette med at 1/3 = 0,3333...3 er vel strengt talt et teoretisk problem, ikke et praktisk. Det går fint ann å dele en kake i nøyaktig 3 deler. Problemet oppstår i tallenes iboende djevelskap, for å si det på den måten.

[Juke]

Hmm.. Kakeeksemplet viser vel bare at det er umulig å gange null med uendelig og få et fornuftig svar.

Ja, noe som igjen burde være bevis nok for at 1/x aldri kan bli nøyaktig lik null dersom x går mot uendelig. Null ganger uendelig = null, forøvrig.

 

Edit: Dvs det blir vel riktigere å skrive at 0*X = 0 når X går mot uendelig.

Endret 6. november 2005 av Juke

[834HF42F242]

0,99999...9 må være 1 fordi vekten viser det. 0,33333...3*3 er nemlig 1, og ikke 0,9999...9. Dvs. at 0,99999...9=1. Ja, jeg vet det er tynt, men det er bare en tankegang.

[Zethyr]

Hmm.. Kakeeksemplet viser vel bare at det er umulig å gange null med uendelig og få et fornuftig svar.

Ja, noe som igjen burde være bevis nok for at 1/x aldri kan bli nøyaktig lik null dersom x går mot uendelig. Null ganger uendelig = null, forøvrig.

 

Edit: Dvs det blir vel riktigere å skrive at 0*X = 0 når X går mot uendelig.

5114807[/snapback]

editen din er viktig å få med, for 0*inf = ind.

[Simen1]

Jepp, null ganger uendelig er udefinert, ikke null eller noe annet bestemt. Det står forsåvidt i mitt forrige innlegg hvorfor null ganger uendelig kan bli hva som helst. Altså: ikke definert.

[Juke]

Jeg visste den typen kommentarer ville komme, det var jo derfor jeg la til editen min. Men kommentarene kom visst likevel, ser det ut til.

[Torbjørn]

En avrunding til x desimaler hadde vel aldri noe med saken å gjøre?

[Juke]

Poenget mitt var at regnestykket i kakeeksempelet ikke er reversibelt, noe som tyder på at en avrunding finner sted.

 

Regnestykket 1/5 = 0,2 er derimot reversibelt, dvs 0,2*5 = 1. Dette fordi vi her bruker eksakte verdier.

 

I kakeeksempelet er dette ikke tilfelle, dersom

 

1/x når x går mot uendelig = 0

 

er 100% nøyaktig (1 representerer kaken for enkelhets skyld), i og med at et forsøk på å reversere prosessen gir følgende regnestykke:

 

0*x når x går mot uendelig = 0

 

Som vi ser har "kaken" nå endret verdi fra 1 til 0, noe som bør være et ganske greit bevis for at vi her har med en avrunding å gjøre. På samme måte som det må skje en avrunding dersom 0,9999... = 1 skal være oppfylt.

 

Eksempelet med å både dele opp og sette sammen kaken i samme regnestykke slik Simen1 viste tidligere, beviser forøvrig ingenting slik jeg ser det. Det eneste man oppnår med den fremgangsmåten er i praksis å unngå både oppdelingen og sammensettingen av kaken ved å sette opp et regnestykke hvor man deler og ganger med samme verdi.

[Simen1]

0*x når x går mot uendelig = 0

 

Som vi ser har "kaken" nå endret verdi fra 1 til 0, noe som bør være et ganske greit bevis for at vi her har med en avrunding å gjøre. På samme måte som det må skje en avrunding dersom 0,9999... = 1 skal være oppfylt.

5116373[/snapback]

Regnestykket er feil. Når x går mot uendelig så går også volumet per kakestykke mot null. Det er ikke null. Det går mot null. Det blir feil å fjerne lim (x->inf) for halvparten av regnestykket uten å gjøre det for den andre halvdelen av regnestykket.

 

[lim (x->inf) 1/x ] * [lim (x->inf) x] er ikke lik 0 * [lim (x->inf) x].

 

Det riktige er å slå sammen parantesene og regne lim (x->inf) [1/x * x] = lim (x->inf) x/x = lim (x->inf) 1 = 1 og kaka består

Endret 7. november 2005 av Simen1