Er 0,999_ det samme som 1? Høhøhø...

[Anonym123456789]

Jeg må. Jeg så dette på Battle.net-forumet i forbindelse med oppmerksomheten de fikk rundt oppdateringen av siden...

 

Spørsmålet er altså om 0,999 og så uendelig mange nitall er 1 eller om det er mindre.

 

Det kommer alltid matematiske bevis på at det ER lik 1, men min påstand er at det da er noe galt med matematikken. Vanlige "bevis":

1/3 = 0,333_

0,333 * 3 = 0,999_

1/3 * 3 = 1

Greit. Det beviset er bare latterlig, i og med at man må godta at 0,333_ er NØYAKTIG en tredjedel av 1, og der har man jo samme problem.

 

X = 0,999_

X * 10 = 9,999_

10X - 1X = 9,999_ - 0,999_

9X = 9

X = 1

Dette beviset er jo ikke så ille, men det første jeg tenker er at X * 10 MÅ ha én desimal mindre selv om det er uendelig mange.

 

Så er det bevis som bruker integralregning/calculus (jeg tror det er det samme). Sånt forstår jeg ærlig talt ikke. Jeg har ikke lært det.

 

Alle bør i hvert fall bli enige om at 0,999_ for alle PRAKTISKE formål er lik 1. Det vil aldri skade å runde "opp". Eller?

Et artig "bevis" for at 0,999_ != 1 (ikke er lik én), er:

1^uendelig = 1

0,999_^uendelig = Uendelig lite, i all praksis 0.

Problemet er at hver gang man opphøyer har uendelig lite å si... Trekker tallet uendelig lite mot 0.

 

Hva med:

1 - 0,999_ = 0,000_1

?

Jeg synes det er logisk nok. En matematiker vil si at et tall er null når det eneste sifferet før komma er null og hver eneste desimal man nummererer er null. Derfor spiller det ingen rolle med 1 "på slutten".

 

Uendelighet er naturligvis problemet. Det er et problem uansett hvordan man prøver å bevise at det ene eller det andre er riktig. En matematiker sier at matematikken alltid har mer rett enn den intuitive forståelsen. JEG sier at hvis noe er uendelig lite, så ER det like fullt. En uendelig liten mobiltelefon er fremdeles en mobiltelefon. Så liten at det er "umulig" å fatte. Det enkleste er å se for seg et tomt rom, det er jo sånn det vil se ut...

 

Nå skal jeg bringe inn noe litt nytt: Tenk deg to perfekte kuler. Den ene ligger oppå den andre. De berører hverandre i ett punkt, uendelig lite. Men ingen kan si at kulene ikke berører hverandre, for den ene ligger jo oppå den andre!

[sim]

http://www.math.fau.edu/Richman/HTML/999.htm

[smeboe]

Er et dilemma, men så lenge det har praktisk talt ingen betydning, så gidder jeg ikke å bry meg

[DrKarlsen]

Det er klart det har praktisk betydning! Kanskje ikke for akkurat deg, men mange andre.

 

Når det kommer til selve "problemet" vil jeg si at det er greit å imponere andre med slike ting, sett at de ikke vet noe om grenseverdier og skikkelige definisjoner på uendelig.

[Ggg]

Det første beviset ditt er jo direkte feil! 1/3 ~= 0,333_ Altså tilnerma lik 0,333_

1>0,999_ alltid. I praksis vil ein likevel kunne sei at 1=0,999_ på samme måte som ein brukar 1/3=0,333. Leg merke til forskjellen på teori og praksis!

 

Svaret er vel at ein i praksis må ta med så mange desimalar som er nødvendig for den nøyaktighet ein vil ha på svaret.

[Anonym123456789]

http://www.math.fau.edu/Richman/HTML/999.htm

5011184[/snapback]

sim, jeg innrømmer gladelig at jeg datt av lasset da han begynte med "0.9*" etc.. Dette er jo avansert matematikk (eller så er det bare språket og noteringen jeg ikke skjønner). Det ville behage meg om du bare fortalte konklusjonen. Han virker jo ikke akkurat som noen idiot. Men jeg mistenker at han bare bruker matematikk og at matematikken kan være problemet likevel.

[sim]

Vel, jeg må ærlig innrømme at jeg ikke har noen stor mening om dette. Linken kommer fra en rimelig smart kamerat av meg. Vi hadde forelesning i diskret matte tidligere på dagen. Der spurte foreleseren etter floor(0.9999_), vi svarte 0, men han mente svaret var 1. Poenget var visst at 1 hadde to desimalformer 1.000_ og 0.999_. Ikke ta dette for god fisk. Jeg husker nemlig ikke helt hvordan han la det frem :/.

[kyrsjo]

hvis du tar den der 1-0.999999999... = 0.000...001 saken, og ser litt nøyere på den, så vil du se at den medfører at det blir aldri noe 1-tall - da det er uendelig mange ni-tall, så 1-tallet vil aldri komme. Det korrekte svaret blir derfor 0.

 

En annen sak:

0.999999... = lim (n-> uendelig) (9*10¯¹+9*10¯²+...+9*20^(-n)) = 1

[Eyzteinn]

Er 0,999_ det samme som 1? Høhøhø...

 

Dette har igjen noe med tro å gjøre.. Tror du på evigheten, så er det 1, tror du ikke på evigheten, så blir det 0.9999->

[Zlatzman]

Samme type problem tror jeg:

0.4999_ skal vel rundes opp til én og ikke ned til null? (kan hende jeg husker feil) Tror jeg har diskutert det med lærer en gang, jeg mente klart at det skulle rundes ned.

Endret 17. oktober 2005 av ZLatzman

[Anonym123456789]

kyrsjo: Jeg skrev jo det, at hver eneste desimal blir 0. Men den siste er 1. Det er fint at du skrev inn et sånt sykt supermatte-bevis, selv om jeg ikke skjønner noe av det.

 

Eyzteinn: Tro på evigheten, hmmmm... Jeg tror på evig fremtid, tror jeg.. men uendelighet i matematikken forutsetter jo ikke evig fremtid.

 

ZLatzman: Rund ned. Det er meningsløst å runde fra halv til hel uansett, men når det MÅ være likt eller under 0,5, skal det jo ned.

[kyrsjo]

vel, ettersom 0.49999... = 0.5, (logisk sett i alle fall), så skal det jo rundes. Skal ta en prat med mattegruppelæreren min på torsdag (ser han ikke før da), så skal vi få avklaret dette.

[DrKarlsen]

Det er ikke noe å få avklart.

Du kan ikke skrive et tall som har uendelig mange 9'ere bakover utenå se på grenseverdier.

 

Se på det med 1/3, 2/3, 3/3.

1/3 = 0.333333 med uendelig mange 3'ere.

2/3 = 0.666666 med uendelig mange 6'ere, men her må vi jo runde noe opp, siden 6 rundes oppover, derfor får vi 0.66666...7.

Legger vi nå 1/3 og 2/3 sammen får vi

0.33333 + 0.66666 = 0.33333 + 0.6666...7 = 1, og ikke 0.99999999.

 

Et annet eksempel er å se på brøken 1/x når x går mot 0. Den er udefinert i x = 0, men når x går mot null fra høyre eller venstre, får vi henholdsvis uendelig og -uendelig.

Endret 18. oktober 2005 av DrKarlsen

[Simen1]

Godt poeng det med brøken. Men hvis man ikke tror på uendelighet så kan man jo heller ikke tro på at 1/3 = 0,333333.. i det uendelige.

 

Brøken 1/3 * 3 = 1 er det ingen tvil om, men hvis man ikke tror på uendelighet så kan man ikke forkorte brøken til 0,33333.. * 3. Det vil bare bli en tilnærming der man får så mange 9-tall som 3-tall man startet med. Altså hvor lang tallrekke man mener er nok siden man ikke tror på uendelig.

 

Men når det er sagt: Jeg tror på uendelighet og bruken av uendelig i matematikk. Ergo tror jeg på omskrivingen av 1/3 til 0,3333.. og at 0,9999.. = 1.

 

Som krysjo sier: 1 - (1/uendelig) = 1.

 

ZLatzman: Det med 0,49999.. blir jo også et spørsmål om man tror på uendelighet. Hvis man gjør det så er det jo =0,5 og dermed per definisjon skal rundes opp (etter vanlige avrundingsregler). Hvis man ikke tror på uendelighet runder man ned.

 

Men uansett: Gir egentlig tall som 0,99999.. og 0,49999.. noen mening? Hvorvidt eksisterer egentlig disse tallene hvis det er null forskjell fra henholdsvis 1 og 0,5? F.eks Pi og e er jo (antageligvis) uendelig lange tall, men de kan ikke forkortes med matematisk perfekt nøyaktighet heller.

[DrKarlsen]

Hvis Pi ikke har uendelig mange desimaler ville det vært rasjonelt, det er det ikke. Det er bevist.

 

Forresten så er 1 - (1/uendelig) = 1 dårlig matematisk notasjon. Det riktige ville vært

lim(n->inf) { 1 - 1/n } = 1

 

Du har gode poeng ellers, det skal du ha.

Endret 19. oktober 2005 av DrKarlsen

[Simen1]

Beklager notasjonen, jeg må nok skjerpe meg litt der ja

[simes]

Hvordan kan man ikke tro på uendelig? Én ting er å ikke forstå det, men å tro på det må man. Det er jo et faktum i store deler i matematikken, som vi ser her.

 

0,333_ + 0,666_ vil være 1, siden _-en er en ting vi tilegner "ut i det uendelige" og en måte vi tillater oss å skrive ut 1/3 på desimalform. Hvis ikke måtte vi alltid skrevet ~=.

 

Grunnen til at vi får problemer når vi skal skrive ut 1/3 til desimaltall er tallsystemet vi bruker. Derfor skriver man ikke desimaltall etterhvert i matematikken. Det er kun et hjelpemiddel for stakkars barn som prøver å lære seg regning. Dette skyldes vel i stor grad samfunnet i helhet som tviholder på bruken av desimaltall og priser som 59,90,- og sånn.

 

Og DrKarlsen: Tror det skal stå irrasjonelt der, eller så er det en 'ikke' for mye.. Typo I imagine..

[DrKarlsen]

Woops, den var litt drøy, ja. Takker og bukker.

[Skagen]

Kanskje litt OT, men..

 

Personlig tror jeg dette problemet med uendelig antall desimaler er et tegn på at den matematikken vi har utviklet er i bunn og grunn svakt om ikke inkomplett. (ikke ment som kritikk til de store matematikkerne)

Matematikk slik jeg ser det er ren logikk, men for at vi skal ha noe praktisk nytte av det bruker vi tall i matematikk.

Men hvorvidt det er mulig å utvikle ny type matematikk som ikke bruker tall vet jeg ikke, og den praktiske hensikten med matematikk som ikke kan håndtere tall kan også diskuteres.

 

Så min konklusjon om matematikk er at vi har oppdaget og utviklet noe (matematikk), men vi har ikke oppdaget det fullstendig. Ellers hadde vi kanskje ikke trengt å utvikle det.

Endret 22. oktober 2005 av skag1

[DrKarlsen]

Den var kanskje "inkomplett" før vi fant ut at grenseverdier var veldig nyttig. Det eneste som er inkomplett med matematikken er at det fortsatt finnes gamle problemer som enda ikke er løst.

 

Det med tall er heller ikke helt riktig. Se på topologi, det er veldig mye der som ikke bruker tall slik som gangetabellen.