Mattenøtten - logiske og matematiske nøtter

[DrKarlsen]

Jeg tar på meg ansvaret og fortsetter. Fikk en morsom grenseverdi av en venn, den har også en ikke-triviell løsning, så man må nok regne litt på den.

 

 

Altså, lim x->0 ((sin x)/x)^(1/x^2).

 

Kalkulator er selvfølgelig ikke lov, så jeg vil se utregning.

 

---

 

Edit: For å være ekstra jævlig sier jeg at L'Hôpitals kun er lov under tvil.

Endret 16. oktober 2005 av DrKarlsen

[GeO]

Først av alt: Velkommen til forumet, DrKarlsen. Koselig å ha deg her.

 

Jeg ser at jeg er i ferd meg å gjøre meg sterkt upopulær ved å avvise svar på svar her, hvor logikken bak hvert enkelt jo ser ut til å være uomtvistelig vanntett. Jeg vil helst unngå å bli lynsjet, derfor besluttet jeg å se litt grundig gjennom oppgaven.

 

En liten oppklaring (har ingen tegning, men JeffKs tegning er jo fin):

 

A = 60°

b = 1

c = 3

 

Cosinussetningen:

a² = b² + c² - 2*b*c*cos(A)

= 1² + 3² - 2*1*3*cos(60°)

= 7

a = root(7) (så langt er vi iallfall enige!)

 

Sinussetningen:

sin C / c = sin A / a

= sin C / 3 = sin(60°) / root(7)

sin C = (sin (60°) / root(7)) * 3

C = 79,1°

 

B = 180° - 60° - 79,1° = 40,9°

 

Dette er svaret som står i fasiten i matematikkboken. Men jeg innser at det er et lite problem til her. En sinusverdi som ikke er 1 eller -1, gir som kjent alltid to vinkler, og derfor kan man også, ut fra utregningen av vinkel C, si at

 

C = 100,9°,

 

som igjen gir oss at

 

B = 180° - 60° - 100,9° = 19,1°

 

Hva er riktig? Det er her jeg må bite i støvet, og medgi at dere har rett, og ikke jeg. Jeg beklager på det aller sterkeste at jeg har vært så standhaftig uten å faktisk ha rett, men jeg vil understreke at matematikkboken oppgir det første settet med vinkler som riktig! Dette er også grunnen til min overbevisning, helt til jeg sjekket forholdet mellom alle sidene og vinklene i begge trekantene med sinussetningen i dag.

 

Nok en gang, beklager min påståelighet. Skal gjøre mitt beste for at det ikke gjentar seg!

 

 

Endret 16. oktober 2005 av TwinMos

[DrKarlsen]

Takk, takk. Hyggelig å være her.

 

Jeg tror de som har "løst" oppgaven i boken din har gjort samme feil som jeg gjorde første gangen; de glemte de ekstra 30 gradene som skulle være med. Kanskje man er glad og fornøyd med dette svaret, men sjekker man vinkelsummen får man et tall som ikke stemmer helt med det vi vet.

[GeO]

Vel, vinkelsummen stemmer i begge trekantene, men kun den ene av dem er riktig hvis man skal ivareta forholdet 1:3 mellom de to sidene. Men det er iallfall godt å høre at dere ikke er innstilt på å lynsje meg for dette

[birds]

Edit: For å være ekstra jævlig sier jeg at L'Hôpitals kun er lov under tvil.

5015700[/snapback]

 

Hadde funnet svaret, men så så jeg denne

Hvorfor skulle ikke L'Hôpitals være lov?

 

Uansett, svaret jeg fant:

 

e^(-1/6)

 

Gidder ikke ta med utregninen siden du sier det om L'Hôpitals. Vet ikke helt hvordan matte bør skrives på forumet heller.

[DrKarlsen]

L'Hôpital er bare en kjip snarvei!

Svaret var ikke så dårlig det heller.

[Zethyr]

Birds, den der må jeg ha en oppklaring i fremgangsmåte og regler på.. Jeg skjønner dessverre ikke hvordan du kommer frem til det svaret du gjør. URL til de reglene du bruker, kanskje?

[DrKarlsen]

Hvis du ser en e inni der bør du tenke på logaritmer!

[birds]

L'Hôpital er bare en kjip snarvei!

Svaret var ikke så dårlig det heller.

5016075[/snapback]

Var det noe med at L'Hôpitals regel ikke er formelt korrekt. Den bare virker? Syns å huske at det var noe sånt med den, men forstår ikke helt hvordan det kan være noe galt med den hvis den alltid virker.

 

Birds, den der må jeg ha en oppklaring i fremgangsmåte og regler på.. Jeg skjønner dessverre ikke hvordan du kommer frem til det svaret du gjør. URL til de reglene du bruker, kanskje?

5016080[/snapback]

Fant en fin en her: http://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/lhopital/

Bare den og en regel for logarimer jeg brukte.

[DrKarlsen]

Den virker ikke alltid. Prøv å finne lim(x -> 0) { sin(x) / x }

[birds]

Den virker ikke alltid. Prøv å finne lim(x -> 0) { sin(x) / x }

5016423[/snapback]

Fordi at den deriverte av sin(x) er basert på den grenseverdien mener du? For den gir jo riktig svar når vi vet at den deriverte av sin(x) er cos(x). Ser ikke hvorfor det gjør at den ikke virker.

[JeffK]

Irriterer meg noe sinnssykt at begger løsningene for trekanten virker riktige. Jeg hadde vært evig glad om noen kunne finne ut hvilken som var feil, og hvor feilen ligger.

[DrKarlsen]

Det gir rett svar, og den virker jo i den forstand. Men det er ikke lov! Nemlig pga. det du sa om at du må kjenne den grensen for å derivere sin(x).

 

Prøv å finn lim(u -> oo) { u/sqrt(u^2+1) }

 

JeffK:

Hvilke løsninger er det snakk om?

[JeffK]

Irriterer meg noe sinnssykt at begger løsningene for trekanten virker riktige. Jeg hadde vært evig glad om noen kunne finne ut hvilken som var feil, og hvor feilen ligger.

5016448[/snapback]

Ser det nå! Det er det som TwinMos var inne på om at sin er symmetrisk om 90°. arcsin gir alltid den minste verdien.

 

90-79.1=100.9-90

Begge vinklene ligger like langt fra 90°

[DrKarlsen]

Sånn skjer når man bruker kalkulatoren uten å tenke!

[GeO]

Sånn skjer når man bruker kalkulatoren uten å tenke!

5018126[/snapback]

Ikke sant? Jeg bør kanskje ligge litt lavt i denne tråden heretter.

 

Tipset matematikklæreren min om oppgaven i dag, og han fant begge trekantene vi har vært inne på her. Han undret seg selvsagt også over at fasit kun oppgav den ene, og da altså den som er feil. Han sa han skulle kontakte forlaget av boken, så vi får håpe at fremtidens 2MX-elever ikke lar seg lure like lett som meg ...

[DrKarlsen]

Det er vel ikke helt uvanlig at det finnes feil i lærebøkene.

 

Jeg føler at mattenøtten har falt litt ut, så jeg kommer med en ny:

 

Vis at brøken (a+b)/(c+d) ikke kan forkortes dersom a*d - b*c = +\- 1

[sim]

 

 

Vis at brøken (a+b)/(c+d) ikke kan forkortes dersom a*d - b*c = +\- 1

 

a*d - b*c = +\- 1

 

Utfra denne kan vi si at gcd((a*d),(-b*c)) = +\- 1. Vi har lyst til å vise at gcd((a+b), (c+d)).

 

ab - cd = ab + bd - bd - cd = +\- 1

d(a+b) - b(c+d) = +\- 1

 

(a+b) gange et heltall - (c+d) gange et heltall = +\- 1 gir oss

 

gcd((a+b), (c+d)) = 1

 

som igjen tilsier at brøken ikke kan forkortes!

 

 

 

 

En enkel en:

 

Finn alle primtall som deler 50!.

Endret 17. oktober 2005 av sim

[DrKarlsen]

Flott løsning, sim.

 

Om du er vant til lineær algebra kan du også merke deg at +/-1 er

determinanten til en matrise av heltall. Det betyr at inversmatrisen også

bare består av heltall. Gang med matrisen

1 1

0 1

 

og se at siste søyle i svaret gir deg løsningen. Du kan også bruke

 

1 1

1 0

 

tror jeg, det vil svare til å sette b og d utenfor parantes, ikke a

og c som over.

 

----

 

Oppgaven du poster der er såpass enkel hvis du tenker over den litt så den skal jeg la stå til flinke videregåendeelever.

[DrKarlsen]

Håper det er greit at jeg kommer med et problem nå, selv om de forrige problemene kanskje ikke er helt løst.

 

Elevene i en klasse skal ha en lagkonkurranse i matematikk. Læreren prøver å dele dem inn i like store lag. Hvis det er fire på hvert lag, blir det en til overs. Hvis det er seks på hvert lag, blir det også en til overs. Hvis det er fem på hvert lag, går det opp. Hvor mange elever er det i klassen?

 

Svaret er jo relativt simpelt, 25, men hvordan løse?

 

Jeg har ikke klart det selv. Ikke at jeg er noen reser. Men her er iallefall et par tips:

 

 

Sett det opp som tre ligninger (la "=" være kongruenstegn, tre vannrette streker):

x "=" 1 (mod 4)

x "=" 1 (mod 6)

x "=" 0 (mod 5)

 

Problemet her er jo at de ikke er relativt primiske

 

 

5012025[/snapback]

 

 

Jeg likte denne oppgaven. Du har rett når du sier at de ikke er relativt primiske og vi må derfor ty til andre metoder. 25 er en triviell løsning, men hva om hele skolen deles inn på tilsvarende måte? Hvor mange elever kan du si det er på skolen da?