Mattenøtten - logiske og matematiske nøtter

[smeboe]

Tenkte jeg skulle starte en tråd der vi kan sette hverandre på prøve i det fantastiske faget mattematikk. Det beste hadde vært om den som løste en nøtt, fant en annen og la den ut. Moi skal snart delta i Abelkonkurransen, da må jeg prøve meg litt på tunge nøtter.

 

Regel for oppgaver: Dette behøver ikke være bare mattenøtter, det kan være alle mulige nøtter der du må bruke logisk og/eller systematisk tenkning.

 

Da starter jeg:

 

I en kvart sirkel med radius 1 er en hel sirkel plassert inni slik at den tangerer kantene på kvartsirkelen. Hva er radiusen til den lille sirkelen? (matematikkoppgave til realartium i 1922)

[Zethyr]

Legg gjerne inn løsninger i en [spoiler ] når dere finner dem.

[GeO]

Løsning her må jo bli som følger:

 

root(2) - 1

eller 0,4142... med desimaltall.

 

Utgangspunktet for løsningen er ligningen

root(2r^2) + r = 1

 

Har ingen ny oppgave nå, håper noen andre kan bidra til så lenge.

[millencolin]

hvordan kom du frem til det TwinMos?

[GeO]

Ja, se dét var et godt spørsmål. Siden dette er vanskelig (for meg) å forklare kun med tekst, poster jeg her en figur. Den er stygg, den er unøyaktig, den er totalt ute av proporsjon - den er laget i Paint på tre minutter!

 

 

 

Den røde linjen + r (ukjent radius) må jo til sammen bli radien i den store sirkelen, altså 1. Den røde linjen finner vi ved å bruke Pytagoras, og da har vi at den er lik

 

root(2r^2).

 

Legg til r, og du får den ligningen jeg skrev i den forrige posten, altså

 

root(2r^2) + r = 1.

 

Vi flytter over, kvadrerer, flytter over igjen, og ender opp med en simpel andregradsligning:

 

r^2 + 2r - 1 = 0

 

Denne kan igjen løses vha. andregradsformel, kalkulator, grafisk eller hva du nå måtte ønske.

 

Endret 30. august 2006 av TwinMOS

[JBlack]

Bortsett fra at det er helt unødvendig å gjøre det til en andregradsligning, så var det en elegant løsning TwinMos. Jeg knota og tegna mye mer.

 

 

 

root(2*r*r) + r = root(2)*r + r = r (root(2)+1) = 1

 

 

 

Flere oppgaver please...

[GeO]

Hm, du sier noe der, JBlack. Selv har jeg ikke løst irrasjonale ligninger så veldig lenge ennå, og er kun vant til å nærme meg dem slik jeg viste.

 

Uansett - føler meg klar til å slenge ut neste oppgave, og velger å følge opp "gammelt realartium"-trenden. Følgende oppgave er til realartium i 1876:

 

I en trekant er en vinkel lik 60°, og forholdet mellom de hosliggende sidene er 1:3. Finn de to andre vinklene.

 

Kanskje ikke den aller vanskeligste oppgaven for noen av dere, men det var det beste jeg fant i denne omgang.

[sull]

90 og 30 grader :s ?

[GeO]

Det er kanskje lett å tro at vi har med en 30-60-90-trekant å gjøre, og at hypotenus derfor er dobbelt så lang som korteste katet, men så enkelt er det ikke.

[smeboe]

Jeg løste den på din måte, TwinMos...

 

Skal sette meg ned med oppgaven din nå...

[smeboe]

 

A=60, B= tan inv(root(3)/5) = 19,1 C=180-60-19,1=100,9

 

 

Godt mulig det er feil, er litt sent nå... Når jeg løste den, virket den så banalt enkel.. Delte opp i rettvinklede trekanter da, det må sies... Men jeg skulle gjerne greid den uten kalkulator.. (måtte ty til kalkis på vinkel B)

 

Og er takknemlig for en lettere løsning, hvis det er å oppdrive.

 

Skal forsøke å finne en ordentlig oppgave, føler meg ferdig med gamle artiumsoppgaver. (forresten, den oppgaven stod i mitt hefte med artiumsoppgaver (utgitt 1937) også...)

[sim]

Håper det er greit at jeg kommer med et problem nå, selv om de forrige problemene kanskje ikke er helt løst.

 

Elevene i en klasse skal ha en lagkonkurranse i matematikk. Læreren prøver å dele dem inn i like store lag. Hvis det er fire på hvert lag, blir det en til overs. Hvis det er seks på hvert lag, blir det også en til overs. Hvis det er fem på hvert lag, går det opp. Hvor mange elever er det i klassen?

 

Svaret er jo relativt simpelt, 25, men hvordan løse?

 

Jeg har ikke klart det selv. Ikke at jeg er noen reser. Men her er iallefall et par tips:

 

 

Sett det opp som tre ligninger (la "=" være kongruenstegn, tre vannrette streker):

x "=" 1 (mod 4)

x "=" 1 (mod 6)

x "=" 0 (mod 5)

 

Problemet her er jo at de ikke er relativt primiske

 

 

[GeO]

Jeg kan vel si så mye som at du dessverre ikke har riktig svar.

 

Kan vel heller ikke helt si at jeg skjønner hvordan du kommer frem til de svarene du har der (eller rettere sagt tallene du bruker for å regne ut vinkel B). Du har sikkert resonnert fornuftig, men det er altså ikke riktig ...

 

En tredje ting er at du skal være god for å kunne løse den uten kalkulator med trigonometriske funksjoner!

[JeffK]

Jeg kan vel si så mye som at du dessverre ikke har riktig svar.

 

Kan vel heller ikke helt si at jeg skjønner hvordan du kommer frem til de svarene du har der (eller rettere sagt tallene du bruker for å regne ut vinkel B). Du har sikkert resonnert fornuftig, men det er altså ikke riktig ...

 

Sikker på det?

Jeg fikk samme svaret som smeboe.

Fikk i tillegg at den siste siden hadde lengde sqrt(7).

 

En tredje ting er at du skal være god for å kunne løse den uten kalkulator med trigonometriske funksjoner!

5012042[/snapback]

 

I 1876 brukte de tabeller og lineær interpolasjon. Et alternativ er å bruke rekkeutviklinger, men da kan du bli sittende ut i de små timer.

[JeffK]

Her er løsninger, forresten:

 

 

 

 

Endret 16. oktober 2005 av JeffK

[GeO]

Interessant fremgangsmåte, men jeg løste den på annet vis selv, og fikk da altså samme svar som fasit i matematikkboken (og altså ikke samme svar som dere har funnet). Et lite hint, for de som er interessert i dét:

 

 

Hva med å bruke en kombinasjon av sinussetningen og cosinussetningen?

 

Tenkte på rekkeutvikling og slikt da jeg mente at kalkulator var en nødvendighet, jeg òg, og det tar vel fort litt tid, ja.

[smeboe]

Klarer noen å skjønne hva jeg og JeffK har gjort galt? Jeg løste den ikke på akkurat samme måte som Jeff, men brukte de samme prinsippene og fikk samme svar.

[GeO]

Selv tar jeg 2MX i år, og har derfor ennå ikke noen erfaring med å bruke radianer som vinkelmål og så videre, og skjønner heller ikke all matematikken i JeffKs løsning. Da jeg selv løste oppgaven, brukte jeg den matematikken jeg har lært i år, og det viste seg å være tilstrekkelig. Jeg kan dessverre ikke fortelle dere hvorfor dere får feil svar ...

[DrKarlsen]

Jeg gidder ikke lage noe tegning.

 

Vinkel A = 60, Vinkel B og Vinkel C er ukjente.

Siden b = 1, siden c = 3.

Normalen fra vinkel C ned på linja c til punktet p blir ved pythagoras sqrt(3)/2. (sqrt(1 - (1/2)^2))

Vi har derfor to rettvinklede trekanter, hvor den ene har vinkler 60 (= A), 30 og 90. Vi vil nå finne de andre.

Siden c har lengden 3, er lengden fra p til vinkel B lik 5/2.

Vi finner lengden a = sqrt((5/2)^2 + (sqrt(3)/2)^2) = sqrt(7).

Vinkel B finner vi slik:

tan(B) = [(sqrt(3)/2)]/[(5/2)] = sqrt(3)/5 => B =~ 19.12

Vinkel C finner vi slik:

tan(B) = [(5/2)]/[(sqrt(3)/2)] = 5/sqrt(3) => C =~ 70.89 + 30 = 100.89

Vi la til 30 fordi vi trakk en normal fra vinkel C til linja c.

Ser vi på vinkelsummene får vi 60 + 19.12 + 100.89 =~ 180, som ønsket.

Vinkel A = 60, vinkel B = 19.12 og vinkel C = 100.89.

 

 

Merk: Det eneste som var forbi ung.skolepensum her var trigonometri, det var ikke noe

behov for cosinussetningen eller sinussetningen.

 

----

 

Jeg ser at noen andre har kommet med samme løsning før. Ser ingen feil med denne metoden, og konkluderer derfor med at den er riktig.

Endret 16. oktober 2005 av DrKarlsen

[JBlack]

I en trekant er en vinkel lik 60°, og forholdet mellom de hosliggende sidene er 1:3. Finn de to andre vinklene.

 

 

 

Trekant ABC. AB lengde 1 og 60° på AC med lengde 3.

 

Trekker en linje fra B og vinkelrett på AC. Kaller punktet der AC skjæres for D. Får da en 30-60-90 trekant.

AB=1

AD=0.5 (korteste linje halvparten av hypotenus)

BD² = 1² - (1/2)² = 3/4 => BD = root(3)/2

 

Andre trekant

DC=3-0.5 = 2.5

BD = root(3)/2

BC = root(DC² + BD²) = root(25/4 + 3/4) = root(28/4) = root(7)

 

cos© = 2.5/root(7) = root(25/28) => C=19.1

 

 

 

Får altså samme svar som de andre, merkelig at dette skal være feil. Må sies at jeg ikke har tegnet noe, bare tatt det i hodet.