Tall utenfor det komplekse plan.

[JeffK]

To spørsmål:

 

Finnes det tall som ikke kan skrives om til formen a+bi(ikke er i det komplekse plan)?

 

Jeg tenkte først på tredjeroten av -1, men denne viste seg å være lik 1/2+1/2*I*3^(1/2) (fra kalkulator).

 

Er det noen som vet en enkel og elegant måte å regne ut dette for hånd?

 

Jeg gjorde det på følgende måte:

Finne a og b, som er reelle tall:

a+bi=(-1)^(1/3)

(a+bi)^3=-1

Utvider

a^3+3*I*a^2*b-3*a*b^2-I*b^3=-1

Ser på reell og imaginær del som uavhengige, og splitter dette til et ligningssett:

 

a^3-3*a*b^2=-1

3*a^2*b-b^3=0

Som er ganske lett å løse.

 

Jeg synes dette er en dårlig og lite elegant løsning.

Er det noen som kan regne det ut uten å starte med å anta at det er et komplekst tall? Altså at man starter med en ligning som dette:

x=(-1)^(1/3)

og at det at det er et komplekst tall kommer frem naturlig, omtrent som når man løser en andregradslikning som gir kompleks løsning.

[gspr]

Mulig jeg har misforstått hva du er ute etter, men jeg ville nå tenkt slik (se vedlegg).

 

Gjør kanskje teite ting (som å holde theta variabel, selv om den er kjent, gjennom hele prosessen), men det var bare fordi jeg har eksamen i dette om ikke så altfor lenge, og trengte en repitisjon uansett.

 

Poenget var i hvertfall: Tenker vi komplekst, har tredjerøtter 3 verdier.

 

Edit: Tabbe, heh, theta er selvsagt pi, ikke null.

Endret 21. mai 2005 av gspr

[ddd-king]

skal prøve og se om jeg kan gulpe opp et fornuftig svar...Nå er det lenge siden jeg har hatt dette og det begynner å bli tynt...

 

fra figuren kan alle tall skrives om til et komplekst tall. vårt tall er -1 og kan skrives:

 

a = -1 = r*exp(i*theta+i*2pi*N) der N er et villkårlig heltall

b=a^1/3 = [r*exp(i*theta+i*2pi*N)]^1/3 = [r^1/3]*exp(i*theta/3+i*2pi*N/3)

 

siden vi har tredje rot er N<3 --> N=0,1,2 og vi får tre løsninger

 

1) N=0

b0= 1*exp(i*Pi/3)

 

2) N=1

b1=1*exp(i*Pi/3 + i*2Pi/3)

 

3) N=2

b1=1*exp(i*Pi/3 + i*4Pi/3)

 

dersom vi går enda videre og si at N=3 får vi

b1=1*exp(i*Pi/3 + i*6Pi/3) = b1=1*exp(i*Pi/3 + i*2Pi)

 

som faller rett på løsningen der N=0

Fortsetter du videre vil du få svar som har blitt gitt før.

 

Dettte er en semigrafisk måte å løse dette problemet på, men fungerer bra i mange tilfeller.

 

 

Da var ikke hjernen min så rusten likervel da

 

Edit: bilde

[gspr]

Eh.. tabbbbbbeeeeeeee fra min side. Theta er jo selvfølgelig pi, ikke null

[Codename_Paragon]

Tenker du kanskje på quaternioner?

[Zethyr]

Tenker du kanskje på quaternioner?

Åneifydda.. har lest littegrann nå.. 4-dimensjonelle tall ò.Ô

Har man om dette på universitetet? Jeg bør ikke lese mer, for 3MX blir så kjedelig til neste år.

 

Takk for en flott lenke!