Sammenheng mellom tall^2

[sluffy]

Jeg tenkte litt på sammenhengen mellom tall opphøyd i annen i går kveld. Er det tilfeldig at

6^2 = (5^2) + 5 + 6 ?

 

Dette stemmer for alle andre tallene jeg klarte å ta i hodet også. F.eks:

 

10^2 = (9^2) + 9 + 10

9^2 = (8^2) + 8 + 9

osv..

 

Jeg synes bare dette var litt artig.

[G2Petter]

Vi vil vise at:

(n+1)^2 = n^2 + n + (n+1)

 

De to siste leddene på høyre side kan trekkes sammen...

(n+1) + n = 2n + 1

 

Trekker vi sammen og setter inn får vi at

 

(n+1)^2 = n^2 + 2n +1

 

Som rett og slett er 1. kvadatsetning.

 

(Nå vet jeg ikke om dette er en gyldig utledning, men det ser i hvert fall greit ut...)

Endret 28. desember 2004 av G2Petter

[bfisk]

Nei, det er ikke tilfeldig.

 

Se for deg et kvadrat, bygget opp av mindre kvadrater med lengden 1. Det store kvadratet er n enheter høyt og n enheter bredt. Arealet kan vi skrive som n*n = n^2.

 

Ta det samme store kvadratet, og se bort fra den ene rekken og den ene kolonnen. Du vil da få et mindre kvadrat som er (n-1)*(n-1) = (n-1)^2 stort. For å komme opp til den orginale størrelsen igjen må du legge til den ene rekken (n) og den ene kolonnen. Disse vil jo imidlertid være overlappende én rute, og kolonnen får da størrelsen (n-1). Vi kan postulere dette:

 

n^2 = (n-1)^2 + n + (n-1).

 

Vi ser om det stemmer:

 

n^2 - (n-1)^2 - n - (n-1) = 0

 

n^2 - (n^2 - 2n + 1) - n - n + 1 = 0

 

n^2 - n^2 + 2n - 1 - 2n + 1 = 0

 

0 = 0.

 

Vi har bevist postulatet.

[anon12234]

festlig. det viste jeg faktisk ikke. stemmer det hvis man kommer op på veldig høye tall også?

[G2Petter]

Det stemmer alltid. Bare se på utledningene.

[Singh tha king]

hva er ^?

[G2Petter]

Opphøyd i. Man bruker det når man skriver på data/kalkulatorer.

 

a^n betyr "a opphøyd i n"

[robgar]

^= opphøyd i / i n potens

[nr.4]

Jeg tenkte litt på sammenhengen mellom tall opphøyd i annen i går kveld.

Du burde fortsette med å tenke om kveldene. Var jo ganske godt tenkt faktisk.

[Codename_Paragon]

Beviset for sammenhengen mellon n^2 og (n+1)^2 er vel det mest klassiske induksjonsbeviset. Det var det eksempelet vi fikk dengangen jeg gikk på gymnaset, usikker på når/om dette er pensum.