Volum av kjegle utr. /v tidl. sirkelradius.

[Zethyr]

Jeg fikk formelen V = (Pi * x^2 * Sqrt[1 - x^2/129600]) / 388800

 

som gir x = 293.939

Den stemmer !!

 

Her er den engelske fasiten jeg fikk når jeg svarte

Jeg gir meg ikke med programmet, allikevel, jeg skal la det løse den før jeg gir meg

 

 

Math solution follows:

 

r is the radius of the circle (For simplicity we will say that the original radius of the circle is 1 -- it doesn't matter what the radius is, the maximum angle will be the maximum angle for any radius)

C is the circumference of the circle

r' is the base radius of the cone

C' is the base circumference of the cone

h is the height of the cone

V is the volume of the cone

 

C = 2*pi*r

C = 2*pi

C' = 2*pi*x

where x = angle/360

 

r' = C' / 2*pi

r' = 2*pi*x / 2*pi

r' = x

 

h² = 1² - (r')²

h = sqrt(1 - x²)

 

V = h*pi*(r')² / 3

V = h*pi*x² / 3

V = sqrt(1 - x²)*pi*x² / 3

 

From this point there are two ways to solve this problem: with graphing, or with calculus.

 

I will detail the graphing solution (The calculus solution involves taking the derivative and then finding the zero point ... but because the complexity of the resultant equation requires a graphing method to find the zero anyway, I chose to use the graphing method from the start)

 

Graph the volume function as shown above and then find the maximum using whatever method suits you best (I used my graphing calculator and its built-in functions)

 

This gives a maximum at x = .81649567

 

Then just convert this back into angles:

 

x = angle / 360

angle = 360x

angle = 293.9

 

And you have your answer.

[PimpMaster2000]

Lett

[yoyoyo12345678]

Skills. Brukte du derivasjon eller noe?

[PimpMaster2000]

Jeg er lat, så jeg brukte et program for å finne V_max

[yoyoyo12345678]

Jaha? Hvordan da?

[PimpMaster2000]

Mathematica -> Findmaximum[(Pi * x^2 * Sqrt[1 - x^2/129600])/388800,{x,0,360}] -> Shift+Enter

[andersfk]

Derivasjon gav 120*sqrt(6)° ≈ 293,9° - som stemmer med det PimpMaster2000 fant (uten at den eksakte verdien sier meg så veldig mye mer om hvorfor akkurat denne vinkelen gir størst volum).

 

Uansett, hvis Zethyr har fått svar på spørsmålet, vil jeg gjerne dra problemet litt lenger: Ved å klippe ut en del av sirkelen for å lage en kjegle, blir det en liten del igjen. Denne ekstradelen skulle også kunne danne et "kremmerhus".

 

Ved å bestemme at det skal lages to kjegler, ble vinklene som gav maks. volum 116,6° og 243,4° (to vinkler fordi vi deler inn i to deler). Er ikke helt sikker på om formelen stemmer, men totalt volum her var over 10% større enn den ene kjeglen i det opprinnelige spørsmålet.

 

Grafen under viser forholdet, x er antall pi (radianer) og y er volumet med r = 1.

 

Så, hvor mange kjegler skal man lage for å få størst volum ut av den gitte sirkelen? Går antallet mot uendelig eller er det et bestemt antall? Er alle delene like store, eller er det en differanse her også?

 

Edit: like store deler ser ut til å være en dum idé, V(n)=(1/3)pi*r^3*(sqrt(n^2-1)/n^2)=k*(sqrt(n^2-1)/n^2) hvor n er antall deler. Denne minker raskt etterhvert som n øker...

Endret 29. desember 2004 av andersfk

[yoyoyo12345678]

Kan dere forklare hvordan dere utledet formelen. Føler meg jevlig noob her.

[andersfk]

*Først utregning av formel for radianer. Denne omformes så til grader etterpå, virker som den letteste måten.*

 

Vi sier at buen (omkretsen rundt sirkeldelen) av den vi klipper ut er

O = x*pi*r_1

 

For en hel sirkel er x=2 (O=2*pi*r), og for en halv sirkel nødvendigvis x=1 etc. r_1 er radien i den opprinnelige sirkelen, og dermed også den oppgitte.

 

Det som utnyttes så er er at denne lengden/buen er like lang som omkretsen til bunnen i kjeglen som lages (test det fysisk). Vi snakker her om en hel sirkel:

 

O = 2*pi*r

 

Den nye radien, r, finner vi altså ved å sette lengdene ("omkretsene") lik hverandre:

 

O = O = x*pi*r_1 = 2*pi*r

r = (1/2)*x*r_1

r² = (1/4)*x²*(r_1)²

 

Da har vi igjen en ukjent, høyden h. Siden kjeglen er rettvinklet har vi at yttersiden (den som gjerne kalles s) blir hypotenusen, og høyden+radien katetene. Dessuten ser vi at s = r_1 (dette kan igjen ses fysisk)

 

s² = r² + h² = (r_1)²

h = sqrt((r_1)²-r²) = sqrt((r_1)²-(1/4)*x²*(r_1)²) = sqrt((r_1)²(1-(1/4)x²))=r_1*sqrt(1-(1/4)x²)

 

Vi setter nå uttrykkene for r og h inn i V=(1/3)*pi*r²*h (som fås ved integrasjon av omdreiningslegeme).

 

V=(1/3)*pi*(1/4)*x²*(r_1)²*r_1*sqrt(1-(1/4)x²)

V=(1/12)*pi*x²*(r_1)³*sqrt(1-(1/4)x²)

 

For å gjøre det om til grader, setter du inn x=n°/180°.

(...som kommer av at "forholdstallene" er like: x*pi/2*pi=n°/360°)

Endret 29. desember 2004 av andersfk

[yoyoyo12345678]

Interessant. Takk for opplysingen. Jeg har imidlertid ikke mer enn 2MX og vi har ennå ikke kommet til derivasjon og integrasjon, så når vi rett og slett brukte integrasjon av omdreiningslegeme falt jeg litt av. Men kikker innom posten når jeg har lært meg dette.

 

Godt nyttår!

 

mvh

 

Fredrik

[JBlack]

V=(G*h)/3

 

Omkretsen på ny kjegle = det som er igjen av original sirkel

 

O=2*pi*(x/360)*r1

 

Radius av ny kjegle beregnes fra omkrets_

 

r = O/(2*pi) //2*pi forkortes bort

r = r1*x/360

 

Grunnflate

G = 2*pi*r

G = 2*pi*(r1*x/360)^2

G = 2*pi*r1^2*(x/360)^2

 

Høyde, bruker pytagoras siden vi har diagonal r1, og ene siden r

h = sqrt(r1^2-r^2)

h = sqrt(r1^2-((r1*x/360)^2)

h = r1*sqrt(1-(x/360)^2)

 

Volum

V = G*h/3

V = ( 2*pi*r1^2*(x/360)^2 * r1*sqrt(1-(x/360)^2) )/3

V = (2/3) * pi*r1^3*(x/360)^2*sqrt(1-(x/360)^2)

V = (2/3) * pi*r1^3 * sqrt( (x/360)^4 - (x/360)^6 )

 

 

Finne den x som gir maks volum:

 

For å maksimere V trenger vi bare maksimere innholdet av kvadratroten.

v' = (x/360)^4 - (x/360)^6

 

Den maksimerte finner vi ved å sette deriverte = 0, og så faktorisere

dv'/dx = 4*x^3/360^4 - 6*x^5/360^6 = 0

dv'/dx = 4*x^3/360^4 * (1 - (3/2) * x^2 / 360^2) = 0

 

Ignorer X=0 løsning, og finner løsning for parantesen lik 0

1 - (3/2) * x^2 / 360^2 = 0

(3/2) * x^2 / 360^2 = 1

x^2 = 360^2 * 2/3

 

Ignorerer negativ løsning

 

X= sqrt(2/3) * 360

 

X= 293.939

================

 

Ahhh.... mrsmt å repetere litt.

 

Edit: rettet volum for kjegle formelen

Endret 30. desember 2004 av JBlack

[andersfk]

Jeg har imidlertid ikke mer enn 2MX og vi har ennå ikke kommet til derivasjon og integrasjon, så når vi rett og slett brukte integrasjon av omdreiningslegeme falt jeg litt av.

Evt. kan du bare godta volumformelen for kjegle, selv om det kanskje ikke er like interessant ;-). (Lurer på om ikke Arkimedes hadde et annet bevis for volumformelen?)

V=(G*h)/2

Volum av kjegle/pyramide er V=(1/3)*G*h?

G = 2*pi*r

G = 2*pi*(r1*x/360)^2

Hvor G=pi*r² for kjegle?

Derimot riktig bruk av x-variabelen, så derivasjon gir riktig svar, selv om volumformelen ikke er helt korrekt. (Den må deles på 3. Rett meg hvis jeg tar feil.)

 

Godt nyttår!

[JBlack]

Jeg har imidlertid ikke mer enn 2MX og vi har ennå ikke kommet til derivasjon og integrasjon, så når vi rett og slett brukte integrasjon av omdreiningslegeme falt jeg litt av.

Evt. kan du bare godta volumformelen for kjegle, selv om det kanskje ikke er like interessant ;-). (Lurer på om ikke Arkimedes hadde et annet bevis for volumformelen?)

V=(G*h)/2

Volum av kjegle/pyramide er V=(1/3)*G*h?

G = 2*pi*r

G = 2*pi*(r1*x/360)^2

Hvor G=pi*r² for kjegle?

Derimot riktig bruk av x-variabelen, så derivasjon gir riktig svar, selv om volumformelen ikke er helt korrekt. (Den må deles på 3. Rett meg hvis jeg tar feil.)

 

Godt nyttår!

Du har helt rett!

 

Godt nytt år!

 

Edit:

Utledning av V=(1/3)*G*h

--------------

 

Setter radius som en funksjon av høyden, a er en vilkårlig faktor:

r = a * h

 

Eks: a=2 vil gi grunnradius 2 for h = 1

 

Integrerer radiusen over hele høyden for å finne volum:

 

V = int (pi * r^2) dh

V = int (pi * (a*h)^2) dh

V = int (pi * a^2 * h^2) dh

V = pi * a^2 * (1/3) * h^3 (+C)

 

erstater a*h med r to ganger

 

V = (1/3) * pi * r^2 * h

 

Setter inn G = pi*r^2

 

V=(1/3)*G*h

 

 

Kort:

Arealet faller av med kvadratet av høyden. Integrerer man over kvadratet så får man en faktor på 1/3.

Endret 30. desember 2004 av JBlack