Matte i media og forskning.

[Prizefighter]

Noen som kan hjelpe meg?

Kan legge til at jeg har prøvd atskillig fler metoder på å løse den. Sikkert noe jeg gjør feil en plass, men.

Endret 17. oktober 2006 av Chris88

[DrKarlsen]

Er så mye rot der at jeg ikke gidder å prøve en gang. Skriv oppgaven i sin helhet.

[Prizefighter]

Trenger bare se på øverste ledd og løse det. Det nedenfor er definisjoner og det jeg prøvde for å løse.

[HolgerL]

Noen som kan hjelpe meg? 

Kan legge til at jeg har prøvd atskillig fler metoder på å løse den. Sikkert noe jeg gjør feil en plass, men.

7092657[/snapback]

Utgangspunkt:

cos^2 x - 2*sin^2 x + 1 = 0

 

Fancy regel vi kan bruke:

cos^2 x + sin^2 x = 1

cos^2 x = -sin^2 x + 1

 

Setter fancy regel inn:

-sin^2 x + 1 - 2*sin^2 x + 1 = 0

-3*sin^2 x + 2 = 0

sin^2 x = -2/-3 = 2/3

 

Sinx er lik pluss og minus roten av det siste (noe^0.5 betyr roten av noe):

sinx = +(2/3)^0.5

sinx = -(2/3)^0.5

 

sinx = +0.816

sinx = -0.816

 

Hver sinx gir 2 løsninger:

x = sin-1 (+0.816) = 54.7

x = 180 - 54.7 = 125.3

 

x = sin-1 (-0.816) = -54.7 -----> x = 360 - 54.7 = 305.3

x = 180 + 54.7 = 234.7

 

Bare spør om du lurer på noe

Endret 17. oktober 2006 av HolgerLudvigsen

[Matias]

Holger (eller hvem som helst), jeg holder på med en matteinnlevering og lurer på om du kunne regnet ut noen oppgaver for meg? Fint å kunne se om man har gjort ting riktig. Hvis du ikke gidder å vise utregning, så går det greit med svarene også, men helst utregning. Ville vært veldig takknemlig.

Edit: Fjernet en av oppgavene, er ganske sikker på at den var riktig.

Endret 18. oktober 2006 av Matias

[inaktiv000]

a) tenk annengradslikning

b) kan du gjøre denne om til en ligning kun av tan x?

 

Bare innfall, aner ikke om det funker

[Matias]

Jo, jeg har prøvd å regne ut alle de oppgavene, men jeg vil bare sjekke om jeg har klart de riktig. På a) får man flere løsninger på annengradslikningen, men alle skal vel ikke være der siden x er element i - pi , pi . Så jeg er ikke helt sikkert på om svarene mine ble riktige. På b) gjorde jeg som du sa, jeg omformet den til en tangenslikning.

[HolgerL]

Holger (eller hvem som helst), jeg holder på med en matteinnlevering og lurer på om du kunne regnet ut noen oppgaver for meg? Fint å kunne se om man har gjort ting riktig. Hvis du ikke gidder å vise utregning, så går det greit med svarene også, men helst utregning. Ville vært veldig takknemlig.

Edit: Fjernet en av oppgavene, er ganske sikker på at den var riktig.

7095350[/snapback]

Om du har en grafisk kalkulator kan du finne alle verdier av x hvor venstre siden av de to første ligningene er lik 0. Pass på at visningsområdet for grafen ihvertfall går fra henholdsvis -pi til pi og 0 til 2*pi.

 

Når oppgaven sier:

 

Løs likningene:

Utrykk med x i seg = tall1 , x € [tall2,tall3]

Annet utrykk med x i seg = tall4 , x € [tall5,tall6]

osv

 

betyr dette at du skal finne alle verdier av x hvor likheten stemmer, dvs at hvert utrykk er lik tilhørende tall etter likhetstegnet. Noen ganger er antall verdier av x uendelig, så derfor sier de etter kommaet etter hver ligning at x skal være mellom to bestemte verdier. F.eks. mellom tall2 og tall3 i den første ligningen over. Det betyr at du skal plukke ut alle verdier av x som stemmer og som også er mellom disse to grensene.

 

Dette betyr igjen at du kan finne alle de riktige x-ene på kalkulatoren din og plukke ut de som er mellom de tilhørende grensene. Dette gir rett svar på oppgave a og b.

 

I c har du ingen grenser, der skal du bare finne en generell formel som sier hva slags form alle de riktige x-ene kommer til å ha.

 

Jeg orker desverre ikke å løse alle oppgavene for deg.

[Prizefighter]

Takker Holger for svar, så den var lettere enn hva jeg gjorde den til.

 

Kunne noen forklare meg hvorfor i svarte dette leddet;

 

(cosx)^2-(sinx)^2 = 2cosx*sinx

 

blir

 

1-(tanx)^2 = 2tanx

 

ved å dele alle ledd i første ligning på Cos ^2 x

 

edit: tenker da på =... 2 tan x ... forstår ikke hvordan det kan bli det.

Endret 18. oktober 2006 av Chris88

[HolgerL]

Kunne noen forklare meg hvorfor i svarte dette leddet;

(cosx)^2-(sinx)^2 = 2cosx*sinx

blir

1-(tanx)^2 = 2tanx 

ved å dele alle ledd i første ligning på Cos ^2 x 

 

edit: tenker da på =... 2 tan x ... forstår ikke hvordan det kan bli det.

7101344[/snapback]

 

cos^2 x er lik cosx*cosx

 

Om vi deler alle ledd på cos^2 x blir høyre side av ligningen lik:

 

2*cosx*sinx

-------------

cos^2 x

 

som er lik

 

2*cosx*sinx

-------------

cosx*cosx

 

I den siste brøken ser man at cosx og cosx utligner hverandre og sinx/cosx blir tanx:

 

2 * cosx/cosx * sinx/cosx

 

2*1*tanx

 

2*tanx

[DrKarlsen]

Holger (eller hvem som helst), jeg holder på med en matteinnlevering og lurer på om du kunne regnet ut noen oppgaver for meg? Fint å kunne se om man har gjort ting riktig. Hvis du ikke gidder å vise utregning, så går det greit med svarene også, men helst utregning. Ville vært veldig takknemlig.

Edit: Fjernet en av oppgavene, er ganske sikker på at den var riktig.

7095350[/snapback]

 

 

(a)

tan^2(x) - 4tan(x) - 5 = 0, x i [-pi, pi]

Vi kan faktorisere.

(tan(x) - 5)(tan(x) + 1) = 0

Altså,

tan(x) = 5, eller tan(x) = -1

 

tan(x) = 5:

x = arctan(5) ~ 1.373

tan(x) er periodisk med periode pi, så den andre løsningen blir x = 1.373 - pi ~ -1.768

 

tan(x) = -1

x = arctan(-1) = -pi/4

Legger til pi, x = -pi/4 + pi = 3pi/4

 

Altså har vi fire løsninger, {-1.768, -pi/4, 1.373, 3pi/4}

 

 

(b)

2sin(2x) + 2cos(2x) = 0, x i [0,2pi]

 

Deler på 2cos(2x) først. (husk at x må være ulik pi/4 her, men det er ikke noe problem som vi ser av utregningen.)

tan(2x) = -1

2x = arctan(-1) = -pi/4

x = -pi/8

Denne x-verdien er ikke i intervallet vårt, så vi legger til pi/2 (husk at vi hadde tan(2x) her.)

x = -pi/8 + pi/2 = 3pi/8

Vi kan legge til pi/2 til på denne, og igjen få en løsning.

x = 3pi/8 + pi/2 = 7pi/8

Vi gjør det samme en gang til

x = 7pi/8 + pi/2 = 11pi/8

Og en gang til:

x = 11pi/8 + pi/2 = 15pi/8

Gjør vi det en gang til får vi noe som er større enn 2pi, så vi stopper her.

 

Mengden av løsninger blir altså {3pi/8, 7pi/8, 11pi/8, 15pi/8}

 

©

2cos(x) + sin(x) = 1, x i R.

 

Vi merker oss først at når x = pi/2, vil cos(x) bli 0, mens sin(x) blir 1, derfor har vi en løsning x = pi/2.

Pga. perioden 2pi, vil vi derfor ha at vi har en løsning når x = pi/2 + 2pi*n, hvor n er et heltall.

 

For å finne resten finnes det et triks jeg ikke husker på i farten, så jeg tar den "tunge" metoden:

 

2cos(x) + sin(x) - 1 = 0

2cos(x) + sqrt(1 - cos^2(x)) - 1 = 0

sqrt(1 - cos^2(x)) = 1 - 2cos(x)

1 - cos^2(x) = 1 - 4cos(x) + 4cos^2(x)

5cos^2(x) - 4cos(x) = 0

cos(x)*[5cos(x) - 4] = 0

Vi har allerede løsningen x = pi/2, så vi må se på 5cos(x) - 4 = 0

5cos(x) - 4 = 0

cos(x) = 4/5

som gir x = arccos(4/5), som åpenbart er feil. Har skrevet så mye her, at noen unge og spreke får finne feilen min.

Svaret skal bli x = -arccos(4/5) + 2pi*n

[DrKarlsen]

Ok, vi gjør det på en annen måte.

( c ):

 

2cos(x) + sin(x) = 1

2cos(x) = 1 - sin(x)

4cos^2(x) = 1 - 2sin(x) + sin^2(x)

4 - 4sin^2(x) = 1 - 2sin(x) + sin^2(x)

5sin^2(x) - 2sin(x) - 3 = 0

(5sin(x) + 3)(sin(x) - 1) = 0

sin(x) = -3/5, sin(x) = 1

x = arcsin(-3/5), x = arcsin(1) = pi/2

Da har vi altså løsningene:

x = arcsin(-3/5) + 2pi*n og x = pi/2 + 2pi*n

[Matias]

Tusen takk for at du gidder å ta deg tiden til å hjelpe meg. Hadde en god del feil på mine svar, så jeg har fått fikset de nå. Oppgave c) hadde jeg gjort helt feil. Likte løsningen på den, men det var bare en overgang jeg ikke skjønte: 4cos^2(x) = 4 - 4sin^2(x). Hvilken sammenheng har du brukt her?

 

Holger, du sier at man kan sjekke løsningene på kalkulatoren min, hva skal jeg taste inn for å finne svarene? Jeg har en Casio, husker ikke modell. Finnes det andre måter å sjekke om svarene har blitt riktig?

[DrKarlsen]

cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

[Matias]

Jepp, fant den akkurat i matteboken. Er jo enhetsformelen.

Endret 19. oktober 2006 av Matias

[Matias]

Var enda en annen ting. På likning a), så er x element i -pi til pi. At løsningsmengden er element i -pi til pi, vil det si at løsningene kan være mellom -180 grader og 180 grader?

 

Edit: Skulle stå 180.

Endret 19. oktober 2006 av Matias

[Zethyr]

Hvordan integrerer man sin^3(4x)/cos^2(4x) med hensyn på x ? Noen som har noen veiledende råd å gi?

[DrKarlsen]

Matias, fra -180 til 180.

 

Zethyr, Først kan du fjerne 4x med å sette u = 4x, da får du en konstant som du kan sette utenfor.

Når det gjelder integralet;

Sett t = cos(u), da vil dt/du = -sin(u)

sin^2(u) = 1 - cos^2(u), da har vi

sin^3(u) / cos^2(u) * du = (1 - t^2) * (-dt) / t^2, om jeg ikke har gjort feil. Dette kan du integrere.

[Raspeball]

Ok, kan vel bare spørre om mitt problem her. Det er egentlig fysikk, men kunnskapene virker generellt høye her så det er sikkert en eller annen vis person som kan svare meg. Hadde jeg skjønt hvordan jeg skulle gjøre det, hadde jeg greid det - logisk nok.

 

En sprintløper har akselerasjonen 4m/s^s de første 2,5 sekundene han springer. Da har han v = 10 m/s og på 2,5 sek er han da kommet 12, 5 m.

Spørsmålet er hvor lang tid han da vil bruke på en 100-meter?

 

Jeg skal vel bruke en av de 4 likningene for konstant akselerert bevegelse or something.

 

For de som har 2FY eller har hatt det er det oppgave 5.18 i "Rom. Stoff.Tid. 2FY".

[DrKarlsen]

Er alle tallene riktige her? Mulig jeg husker feil, men jeg får det ikke til å stemme.