Matte i media og forskning.

wingeer · 27. november 2011

Lite liv her inne. Prøver meg med noen studierelaterte spørsmål.

Hvor mange her inne studerer/ har studert noe matematikkrelatert? Vanskeligste matematikkfag du har støtet på? Morsomste?

Matsemann · 28. november 2011

Går Datateknikk ved NTNU, så av mattefag har jeg nå Matte4D og Statistikk. Har hatt matte1, matte3, diskret matte.

Har og algoritmer og datastrukturer nå, ikke direkte matte, men mye av det er.

Er nå midt på andre året, så etter dette er jeg dessverre ferdig med rene mattefag. :/

Algdat og matte3 det artigste hittil. Matriser er så sjukt rått, bruker de mye i 3d-programmering.

Raspeball · 28. november 2011

Studerer fysikk (realfag) ved NTNU, så har jo hatt min dose matematikk-emner (faktisk 75 stp matematikk, til nå..). Ingen av de jeg har hatt til nå har vært forferdelig vanskelige, men statistikk var kanskje vanskeligst fordi jeg overhodet ikke fattet interesse for faget.

De morsomste emnet jeg har hatt må vel ha vært geometri, med tallteori som en god andreplass. Begge emnene var godt hjulpet av flotte forelesere!

Blir nok sikkert enda et matte-emne på meg til våren (numeriske metoder, muligens).

Ellers så er jo spesielt kvantemekanikk-emnene veldig matematiske.

barkebrød · 28. november 2011

Går bare førsteåret matematikk på NTNU, så har ikke vært borti så mye avansert ennå. Synes alle mattefagene er morsomme, men tallteori peker seg muligens ut som en favoritt. Dette har også vært det vanskeligste sammenlignet med de andre fagene, men regner med at de virkelige utfordringene kommer senere i studieløpet.

Hva med deg wingeer?

wingeer · 28. november 2011

Matsemann:

Synd! Men du kan vel ta noen mattefag ved siden av? Hvis du er virkelig dedikert, da. Matriser er kjekke greier. Har ikke sett hvordan det blir brukt i spilldesign, men jeg har hørt om det.

Raspeball:

Jeg deler din (mangel av) interesse for statistikk! Hvilke fag utover de "standardfagene" har du tatt? Ex. Tallteori og geometri. Hvem foreleste i tallteori da du hadde det? I geometri var det nok (selvfølgelig?) Per Hag. Synes nesten alt har vært morsommere enn geometri, skal jeg være helt ærlig. Hehe.

Du burde ta numeriske metoder. Jeg ser at det er Olivier Verdier som skal forelese i det. Han er svært god.

barkebrød:

Tallteori er nok også min favoritt. Mest fordi det er så "lekent", hehe. Også er det ganske enkle bevis, og lett å få til (hvertfall når en ser tilbake på det!). Og når en får det til er det særdeles gøy.

Selv går jeg tredje året på bachelor i matematikk ved NTNU. Finner ut at tiden ikke strekker til, dersom en ikke vil ta 6 fag i semesteret, så jeg tenker å bygge på graden med ett år hvor jeg kan ta enda flere fag så jeg finner ut hva jeg vil ta mastergrad i.

Hittil er vel det vanskeligste faget jeg har prøvd meg på "Analysens grunnlag". Fant ut at det lå et like hakk over mitt hodet på dette tidspunktet. Ellers kommer "Ringer og moduler" opp som en fin nummer 2, men det er så gøy at det ikke gjør noenting!

SirDrinkAlot · 28. november 2011

Matriser er kjekke greier. Har ikke sett hvordan det blir brukt i spilldesign, men jeg har hørt om det.

Jeg går utifra at man bruker de til å representere rotasjoner entydig i rommet, noe man også kan gjøre med Kvaternioner.

Jeg selv studerer fysikk så jeg har strengt tatt ikke tatt noen veldig vansklige rene mattefag. Den mest avanserte matematikken jeg har vært borti må ha vært gruppeteori, clifford algebra og diverse andre rariteter i analytisk mekanikk.

Raspeball · 28. november 2011

Raspeball:

Jeg deler din (mangel av) interesse for statistikk! Hvilke fag utover de "standardfagene" har du tatt? Ex. Tallteori og geometri. Hvem foreleste i tallteori da du hadde det? I geometri var det nok (selvfølgelig?) Per Hag. Synes nesten alt har vært morsommere enn geometri, skal jeg være helt ærlig. Hehe.

Du burde ta numeriske metoder. Jeg ser at det er Olivier Verdier som skal forelese i det. Han er svært god.

Hehe, jeg tror vi er flere om akkurat det synet på statistikk. Det er kanskje litt synd, etter som det er en del konsepter fra statistikk innen fagfelt som kvantemekanikk (og kvantefeltteori) og statistisk fysikk. Egentlig, innen svært mye fysikk, men sånn er det jo med statistikk i nesten samtlige fagfelt. Dog, enn så lenge greier jeg meg uten.

Da jeg hadde tallteori var det sjefen sjøl, Peter Lindqvist som foreleste. Etter min mening en "mycket bra förelesare"! Geometri var Per Hag, ja. Også han en meget god foreleser, spør du meg. Jeg syntes geometri var veldig artig, men det kan være fordi det var et fag jeg følte jeg fikk skikkelig til, og det er langt mellom de emnene for min del.

Jeg har vel ikke tatt så mange ekstrafag i matematikk. Får liste opp de jeg husker å ha hatt:

Analyse I, Analyse II, Flerdimensjonal analyse, Lineær algebra, Lineær algebra II, Matematikk 4K, Geometri, Tallteori, Diskret matematikk, Statistikk (sukk). Og, da var vi vel på 10 emner, så det er alt. Altså, kun tallteori og geometri som ekstra. Og diskret matematikk, selvfølgelig. Var herlig å få ha Christian Skau som foreleser en gang, men selve faget var kun halvveis interessant.

Har hørt flere som mener det motsatte av deg om Verdier, men som med alle forelesere så er det vel svært individuelt hvilken stil man foretrekker. Skal gi det en sjanse i alle fall. Må ha EiT til våren, så jeg får vurdere det litt hvilket 4.fag (evt. 5.fag) jeg tar.

Endret 28. november 2011 av Raspeball

barkebrød · 28. november 2011

@wingeer: Har du stort sett tatt 4 fag hvert semester, eller har det gått mye i ekstrafag? I tillegg, hvilket semester tok du geometri, og vil du ikke anbefale det?

wingeer · 29. november 2011

Matriser er kjekke greier. Har ikke sett hvordan det blir brukt i spilldesign, men jeg har hørt om det.

Jeg går utifra at man bruker de til å representere rotasjoner entydig i rommet, noe man også kan gjøre med Kvaternioner.

Jeg selv studerer fysikk så jeg har strengt tatt ikke tatt noen veldig vansklige rene mattefag. Den mest avanserte matematikken jeg har vært borti må ha vært gruppeteori, clifford algebra og diverse andre rariteter i analytisk mekanikk.

Jeg har hatt et par oppgaver om kvaternioner i ringer og moduler, faktisk. Hvor avansert gruppeteori har du vært borte i? Galoisteori?

Hehe, jeg tror vi er flere om akkurat det synet på statistikk. Det er kanskje litt synd, etter som det er en del konsepter fra statistikk innen fagfelt som kvantemekanikk (og kvantefeltteori) og statistisk fysikk. Egentlig, innen svært mye fysikk, men sånn er det jo med statistikk i nesten samtlige fagfelt. Dog, enn så lenge greier jeg meg uten.

Da jeg hadde tallteori var det sjefen sjøl, Peter Lindqvist som foreleste. Etter min mening en "mycket bra förelesare"! Geometri var Per Hag, ja. Også han en meget god foreleser, spør du meg. Jeg syntes geometri var veldig artig, men det kan være fordi det var et fag jeg følte jeg fikk skikkelig til, og det er langt mellom de emnene for min del.

Jeg har vel ikke tatt så mange ekstrafag i matematikk. Får liste opp de jeg husker å ha hatt:

Analyse I, Analyse II, Flerdimensjonal analyse, Lineær algebra, Lineær algebra II, Matematikk 4K, Geometri, Tallteori, Diskret matematikk, Statistikk (sukk). Og, da var vi vel på 10 emner, så det er alt. Altså, kun tallteori og geometri som ekstra. Og diskret matematikk, selvfølgelig. Var herlig å få ha Christian Skau som foreleser en gang, men selve faget var kun halvveis interessant.

Har hørt flere som mener det motsatte av deg om Verdier, men som med alle forelesere så er det vel svært individuelt hvilken stil man foretrekker. Skal gi det en sjanse i alle fall. Må ha EiT til våren, så jeg får vurdere det litt hvilket 4.fag (evt. 5.fag) jeg tar.

Heldigvis for meg så slipper jeg fysikk, og da også statistikk. Hurra. Men for all del, det lønner seg å vite litt om statistikk. Nok til å kunne avfeie dårlig statistikk, hvertfall. Og også slik at en kan le av journalister når de drar på med store overskrifter og henviser til statistikk som er normalfordelt ...

Lindqvist er god! Hadde han en liten periode i 4K. Og var på en forelesing i analytisk tallteori med han. Det ble med den ene forelesning ettersom det (på den tiden) hadde vært et sjette fag. Litt stress.

Jeg synes Per Hag er litt treg? Om du forstår hva jeg mener. Ikke storfan av geometri heller. Men det er greit å ha hatt det, for all del. Lærer litt om bevis, aksiom og grunnleggende logisk forståelse. Det er alltid greit å ha med seg videre, men ikke helt unikt for faget.

En grei liste over matematikkfag, det! Det tar seg opp etter de fagene, for å si det slik. Christian Schau er også bra. Gleder meg til å ha han i Galoisteori til våren!

Synes diskret matematikk-faget er så stort at det kollapser seg selv, på en måte. For mye pensum til at noe av det blir bra.

Jøss, kan ikke forstå at noen ikke likte Verdier. Hørte det var noen som synes eksamenen var vanskelig, men det er kun deres egen feil. På siste forelesningen før eksamen sa han jo alt vi kom til å få! PLUSS at det er lov å ha med seg boka. Og den vanskeligste oppgaven på eksamenen gikk han også gjennom i siste forelesning.

Kan jo i verste fall bare melde deg av. Skader ikke!

@wingeer: Har du stort sett tatt 4 fag hvert semester, eller har det gått mye i ekstrafag? I tillegg, hvilket semester tok du geometri, og vil du ikke anbefale det?

Har stort sett hatt 4 fag, ja. Skulle egentlig ha 5 dette semesteret, men "analysens grunnlag" var hakket for teknisk. Tror jeg venter til jeg har tatt topologi med å ta det.

Tok geometri i fjerde semester, men en kan fint ta det andre semester. Eller bare la være. Det er ikke nødvendig på noen måte, men kan være kjekt om en skal lære seg bevis. Selv om det finnes andre kurs en blir nødt til å lære seg bevis med høyere læringskurve. Ta det dersom du er interessert og hvis du ikke har noen andre fag du heller vil ta. Det mener nå ihvertfall jeg.

barkebrød · 29. november 2011

Og diskret matematikk, selvfølgelig. Var herlig å få ha Christian Skau som foreleser en gang, men selve faget var kun halvveis interessant.

Er det mange som ser på Christian Skau som en god foreleser? Synes han roter mye i diskmat, men det virker som om sivilingeniørene i salen stresser han veldig.

Synes diskret matematikk-faget er så stort at det kollapser seg selv, på en måte. For mye pensum til at noe av det blir bra.

Helt enig. Synes det er litt rart at helt fundamentale ting som logikk, mengdelære og bevisføring blir ordentlig dekket kun i dette gigantiske faget som er myntet på sivilingeniører som studerer datarelaterte fag. Burde ikke disse tingene vært inkludert helt i starten av et av de første obligatoriske fagene til mattestudenter? Det blir tatt for gitt at man kan alle disse tingene i alle fagene jeg har nå, men det er sikkert mange som fremdeles ikke er helt sikker på hva en mengde er (av de som ikke tar diskmat).

Matsemann · 29. november 2011

Og diskret matematikk, selvfølgelig. Var herlig å få ha Christian Skau som foreleser en gang, men selve faget var kun halvveis interessant.

Er det mange som ser på Christian Skau som en god foreleser? Synes han roter mye i diskmat, men det virker som om sivilingeniørene i salen stresser han veldig.

Han ga oss tidenes letteste eksamen i diskret matte, så jeg er fornøyd..

Jeg synes han er en helt ok foreleser. Største problemet er nok faget, som dere påpeker er alt for bredt. Han har jo ikke tid til å gå igjennom alt skikkelig. Litt rotete, ja, men egentlig fornøyd.

Lycantrophe · 29. november 2011

Jeg likke Skau, jeg, men faget kunne godt vært delt i to for å kunne dekke mer nøye.

Eksamen var hyggelig.

Matsemann · 29. november 2011

Matsemann:

Synd! Men du kan vel ta noen mattefag ved siden av? Hvis du er virkelig dedikert, da. Matriser er kjekke greier. Har ikke sett hvordan det blir brukt i spilldesign, men jeg har hørt om det.

Ja, tenker meg kanskje det etterhvert, men får se. Føler det er greit med fag jeg da kan inkludere litt i utdannelsen.

Jeg er studass i Matte3 til våren.

Uansett, matriser og 3d gjør man som man selv vil. I spilldesign har man jo ofte motorer eller rammeverk som tar seg av det matematiske, og som man mater inn tall i.

For å si det greit: man må ikke innom matriser. Jeg kan fint si "sett kameraet på posisjon (x,y,z) pekende mot (x2,y2,z2) og plasser en boks på (x3,y3,z3)"

Men i bakgrunnen, og for de som lager det lettere for andre, gjøres mye med matriser. Det jeg har definert som mitt "kamera" er egentlig opptil flere matriser som består av posisjon og rotasjon (translasjonsmatrise). Når jeg flytter kameraet, står egentlig kameraet i ro. Men alle andre objekter (som er representert ved matriser) får sine matriser multiplisert med kamera-matrisene før de tegnes.

Raspeball · 29. november 2011

Og diskret matematikk, selvfølgelig. Var herlig å få ha Christian Skau som foreleser en gang, men selve faget var kun halvveis interessant.

Er det mange som ser på Christian Skau som en god foreleser? Synes han roter mye i diskmat, men det virker som om sivilingeniørene i salen stresser han veldig.

Jeg mener Skau er en god foreleser, uten å ha hatt han i noen andre fag enn diskmat, samt diverse foredrag. At det er mye rot i diskmat skyldes hovedsaklig faget. Dessuten tviler jeg sterkt på at han har spesielt lyst til å undervise i diskmat. Som en bekjent av meg påpekte: "Skau driver kun å troller rundt med ingeniørene i diskmat."

Dette er naturligvis ikke hele sannheten, men diskret matematikk er uansett et tullefag slik det er lagt opp nå.

wingeer · 29. november 2011

Er det mange som ser på Christian Skau som en god foreleser? Synes han roter mye i diskmat, men det virker som om sivilingeniørene i salen stresser han veldig.

(...)

Helt enig. Synes det er litt rart at helt fundamentale ting som logikk, mengdelære og bevisføring blir ordentlig dekket kun i dette gigantiske faget som er myntet på sivilingeniører som studerer datarelaterte fag. Burde ikke disse tingene vært inkludert helt i starten av et av de første obligatoriske fagene til mattestudenter? Det blir tatt for gitt at man kan alle disse tingene i alle fagene jeg har nå, men det er sikkert mange som fremdeles ikke er helt sikker på hva en mengde er (av de som ikke tar diskmat).

Jeg har hørt at han er mye bedre på høyere nivå (Galoisteori bl.a.). Han er jo tross alt professor i analyse(?), og å rote rundt med et så tullete førsteårsfag er jo ikke helt optimalt. Så er han jo også ganske beryktet for å gi enkle eksamenssett i diskret. Hehe. Interessant kommentar med trolling, Raspeball.

Det du nevner om logikk og mengder blir dekket mer etterhvert som du trenger det. Dersom du tar fag som algebra og geometri får du en god gjennomgang, og først i de fagene begynner de å forutsette at du kan/lærer en ting og to om mengder, logikk og bevisføring. Mange som blir skremt når de møter geometri for første gang og plutselig må føre et reductio ad absurdum-argument. Det er en helt annen type matematikk enn den tallknusingen en stort sett driver med i de innførende fagene (hvertfall slik jeg husker de!).

Ja, tenker meg kanskje det etterhvert, men får se. Føler det er greit med fag jeg da kan inkludere litt i utdannelsen.

Jeg er studass i Matte3 til våren.

Uansett, matriser og 3d gjør man som man selv vil. I spilldesign har man jo ofte motorer eller rammeverk som tar seg av det matematiske, og som man mater inn tall i.

For å si det greit: man må ikke innom matriser. Jeg kan fint si "sett kameraet på posisjon (x,y,z) pekende mot (x2,y2,z2) og plasser en boks på (x3,y3,z3)"

Men i bakgrunnen, og for de som lager det lettere for andre, gjøres mye med matriser. Det jeg har definert som mitt "kamera" er egentlig opptil flere matriser som består av posisjon og rotasjon (translasjonsmatrise). Når jeg flytter kameraet, står egentlig kameraet i ro. Men alle andre objekter (som er representert ved matriser) får sine matriser multiplisert med kamera-matrisene før de tegnes.

Kjør på! Ikke vær redd. Prøv deg på algebra og tallteori, f.eks.

Gratulerer! Da blir det litt ekstracash med lett arbeid. Dere får vel til og med utdelt løsningsforslag på øvingene?

Tror jeg forstår! Det er ganske genial bruk av matriser. Det jeg ikke forstår er hvordan dette kan være veldig effektivt? Det må jo være enormt mange utregninger. Aldri tenkt over det før, merker jeg.

Virker som om det stort er folk fra NTNU her? Frykt ikke dersom du kommer fra et annet universitet. Jeg utfordrer deg, faktisk. Snakk opp!

Og igjen til de på NTNU: Siden vi snakket om gode forelesere, noen som har hatt Andrew Stacey? F.eks. i lineære metoder? Fytti, han er den beste foreleseren jeg har hatt hittil!

Endret 29. november 2011 av wingeer

barkebrød · 29. november 2011

Fører selvmotsigelses-bevis i tallteori hele tiden, og er sikker på at vi har fått bruk for det et par ganger i både MA1101 og MA1201. I hvert fall har vi vært borti bevis generelt, ikke bare tallknusing.

Kan nok fremdeles ikke måle seg med det som skjer på høyere nivå, tho.

Torbjørn T. · 29. november 2011

Virker som om det stort er folk fra NTNU her? Frykt ikke dersom du kommer fra et annet universitet. Jeg utfordrer deg, faktisk. Snakk opp!

Tenkte på å svare, men har ikkje kome so langt før.

Eg studerer oseanografi ved UiB, byrjer på master over nyttår. Er noko matterelatert iallfall, har vel hatt 50-60 studiepoeng matematikk i løpet av bacheloren, og hadde eg ikkje vore eitt år på Svalbard kunne det godt hende eg hadde tatt meir. Veit ikkje heilt kva som var vanskelegast, kanskje MAT112 (følgjer, rekkjer, Riemann-integral, uniform kontinuitet). Lineær algebra (MAT121) og funksjoner av fleire variable (MAT212) var kos.

Og igjen til de på NTNU: Siden vi snakket om gode forelesere, noen som har hatt Andrew Stacey? F.eks. i lineære metoder? Fytti, han er den beste foreleseren jeg har hatt hittil!

Seier du det? Eg kjenner han frå TeX.SX, virker som ein kul fyr.

x871kx6167ss7 · 30. november 2011

Selv om jeg ikke er matematiker, så får jeg hilse fra UiO. Jeg har begynt på masteren i informatikk, og har tatt en del logikk-emner (ett av dem var et kurs i matematisk logikk).

Neste semester skal jeg ta aksiomatisk mengdelære, noe jeg tror blir ganske kult. Det blir mitt første rene matteemne som ikke er et obligatorisk innføringsemne.

wingeer · 30. november 2011

Fører selvmotsigelses-bevis i tallteori hele tiden, og er sikker på at vi har fått bruk for det et par ganger i både MA1101 og MA1201. I hvert fall har vi vært borti bevis generelt, ikke bare tallknusing.

Kan nok fremdeles ikke måle seg med det som skjer på høyere nivå, tho.

Hm. Kan være jeg aldri brukte det så mye, da. Hehe. I lineær algebra er det jo en del "vis at"-oppgaver, selvfølgelig. Men så er det enormt mye Gauss-Jordan eliminasjon. Det er så kjedelig. Trodde jeg var "ferdig" med det etter lineær algebra, men så tok jeg "Ringer og moduler", så kommer "Smith normal form" opp, som er en form for Gauss-Jordan eliminasjon det også. Hurra!

Kan jo gi deg et eksempel (som du kjenner til), dersom du vil se hvordan det foregår "her oppe" ( ).

"Let $A_1, A_2, ..., A_n$ be ideals in a ring R with unity such that $A_i A_j = R$ for all $chart?cht=tx&chl=i \neq j$ . Show that if $chart?cht=tx&chl=x_1, x_2, ..., x_n \in R$ , then there exists an element $chart?cht=tx&chl=x \in R$ such that $chart?cht=tx&chl=x \equiv x_i (mod A_i)$ for all i. (This is called the Chinese remainder theorem.)"

Virker som om det stort er folk fra NTNU her? Frykt ikke dersom du kommer fra et annet universitet. Jeg utfordrer deg, faktisk. Snakk opp!
Tenkte på å svare, men har ikkje kome so langt før.

Eg studerer oseanografi ved UiB, byrjer på master over nyttår. Er noko matterelatert iallfall, har vel hatt 50-60 studiepoeng matematikk i løpet av bacheloren, og hadde eg ikkje vore eitt år på Svalbard kunne det godt hende eg hadde tatt meir. Veit ikkje heilt kva som var vanskelegast, kanskje MAT112 (følgjer, rekkjer, Riemann-integral, uniform kontinuitet). Lineær algebra (MAT121) og funksjoner av fleire variable (MAT212) var kos.

Og igjen til de på NTNU: Siden vi snakket om gode forelesere, noen som har hatt Andrew Stacey? F.eks. i lineære metoder? Fytti, han er den beste foreleseren jeg har hatt hittil!
Seier du det? Eg kjenner han frå TeX.SX, virker som ein kul fyr.

Da vil jeg si du har hatt litt matematikk! Kult å studere på Svalbard, da? Ble det mye praktisk relatert til faget?

Ah, et typisk kurs i reell analyse? Det som ofte gjør det så vanskelig er overgangen fra kalkulus til analyse, hvor alt plutselig skal være så mye mer rigorøst. Oppgavene blir ofte vanskeligere også, og en må belage seg på å ikke klare å løse like mange oppgaver per dag som en f.eks. gjorde i kalkulus. Har merket til det selv, hvertfall.

Kult! Jeg vet han er på math.stackexchange, så da er han tydeligvis flere steder på Internettet. Har fått inntrykket av at disse stackexchange-sidene generelt er for folk som har ganske god peiling. Implikerer at du har god peiling på LaTeX?

Selv om jeg ikke er matematiker, så får jeg hilse fra UiO. Jeg har begynt på masteren i informatikk, og har tatt en del logikk-emner (ett av dem var et kurs i matematisk logikk).

Neste semester skal jeg ta aksiomatisk mengdelære, noe jeg tror blir ganske kult. Det blir mitt første rene matteemne som ikke er et obligatorisk innføringsemne.

Vi hilser deg tilbake! Informatikk er jo ikke så langt unna matematikk. Jeg vet det er noe algebra i programmering, hvertfall. Kryptografi er jo også kanskje litt relevant? Det er jo mye matematikk!

Fortell mer om logikk! Hva gikk det ut på? Hva lærte dere? Jeg er over middels interessert i det, og banner over at jeg ikke har funnet noen slike emner på NTNU. Aksiomatisk mengdelære kan også være interessant. Lurer på hvor dypt de går? Da må du nok bli vant med å føre bevis.

Torbjørn T. · 30. november 2011

Da vil jeg si du har hatt litt matematikk! Kult å studere på Svalbard, da? Ble det mye praktisk relatert til faget?

Var moro det ja. Vert meir praktisk enn dei fleste fag i Bergen ja, mellom anna med eit vekelangt tokt i kvart semester.

Kult! Jeg vet han er på math.stackexchange, så da er han tydeligvis flere steder på Internettet. Har fått inntrykket av at disse stackexchange-sidene generelt er for folk som har ganske god peiling. Implikerer at du har god peiling på LaTeX?

Nja, OK peiling. Vil ikkje nødvendigvis seie at TeX.SX (kjenner ikkje andre Stackexchange-sider) er for folk med god peiling, men det er definitivt ein del der som har god peiling. Ein finn spørsmål på alle nivå, eigentleg.

Matte i media og forskning.

Anbefalte innlegg

Lenke til kommentar

Videoannonse

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Lenke til kommentar

Opprett en konto eller logg inn for å kommentere

Opprett konto

Logg inn

Populær nå

Hvem er aktive 0 medlemmer