Matte i media og forskning.

[Feynman]

bfisk:

Man går vel utifra at man vet følgende:

 

sin(x) = 0 for x = pi*k, k € Z

cos(x) = 0 for x = pi/2 + pi*k, k € Z

 

EDIT:

Denne egenskapen bør kunne brukes direkte. Dvs. den kan det, men lærerne bør også godta det. Man kan evt. bruke funksjonene arcsin og arccos.

Endret 9. februar 2005 av Feynman

[JBlack]

Nå kan du, meg bekjent, ikke regne ut sinusens topp- og bunnpunkt uten å ta utgangspunkt i derivering. Den deriverte av sinus er cosinus, og hvordan skal du vite når denne er null? Det må du vite, eller kunne resonnere deg frem til.

Eller regne ut om du har den nødvendige kunnskap om hvordan. Nei, jeg vet ikke hvordan. men jeg er rimelig sikker på at det finnes metoder.

 

Slik jeg ser det er ikke oppgaven åpen for tolkning. Du får beskjed om hva du skal finne, og at du skal gjøre det ved regning; dvs ikke gjøre det f.eks. grafisk på kalkulatoren, men "på papiret".

Hvordan vet du at du ikke kan ta utgangspunkt i topp/bunn/null-punktene til sin(2x)? Det er jo banal kunnskap at den har et ekstra topppunkt midt mellom toppunktene til sin(x) og således unødvendig å regne ut. Det er tross alt bare å slenge på /2 hele veien.

[bfisk]

Slik jeg ser det er ikke oppgaven åpen for tolkning. Du får beskjed om hva du skal finne, og at du skal gjøre det ved regning; dvs ikke gjøre det f.eks. grafisk på kalkulatoren, men "på papiret".

Hvordan vet du at du ikke kan ta utgangspunkt i topp/bunn/null-punktene til sin(2x)? Det er jo banal kunnskap at den har et ekstra topppunkt midt mellom toppunktene til sin(x) og således unødvendig å regne ut. Det er tross alt bare å slenge på /2 hele veien.

Har jeg påstått noe annet, da?

[JBlack]

Slik jeg ser det er ikke oppgaven åpen for tolkning. Du får beskjed om hva du skal finne, og at du skal gjøre det ved regning; dvs ikke gjøre det f.eks. grafisk på kalkulatoren, men "på papiret".

Hvordan vet du at du ikke kan ta utgangspunkt i topp/bunn/null-punktene til sin(2x)? Det er jo banal kunnskap at den har et ekstra topppunkt midt mellom toppunktene til sin(x) og således unødvendig å regne ut. Det er tross alt bare å slenge på /2 hele veien.

Har jeg påstått noe annet, da?

Ja. Du sier at du ikke ser at oppgaven er åpen for tolkning. Men svaret på spørmålet er jo nettopp et spørsmål om tolkning.

[simes]

Å finne nullpunkter for funksjoner gjøres enkelt ved å sette funksjonen lik 0 og løse ligningen. Her kreves det at du vet at sinusfunksjonen gjentaes for hver pi. Sin2x = 0 gir 2x = arcsin0 = 0 + n*pi => x=n*pi/2..

 

Å finne toppunkter/bunnpunkter gjøres ved å sette den deriverte av uttrykket lik 0 og tegne fortegnsskjema. Her regner man med at du kjenner til hvordan de trigonometriske funksjonene oppfører seg.

 

Edit: Ble mye av det feynan og andre har sagt, men samme det..

Endret 9. februar 2005 av zimen

[bfisk]

Jeg mener fremdeles jeg har rett. Poenget mitt er følgende, JBlack:

 

For å kunne finne de svarene oppgaven spør etter, har du to muligheter: du kan

 

a) kjenne svarene fordi du kjener sinusfunksjonens egenskaper og regelmessighet

eller

b) Løse det som en hvilken som helst annen likning, ved å derivere.

 

I eksempel b) får du f'(x)=2cos(2x). For å løse denne må du forutsette det samme som i a). Av denne grunn mener jeg at uansett hvordan du snur og vender på det, lar ikke likningen seg løse uten at du har visse forkunnskaper om trigonometriske funksjoner. Altså er dette en implicit forutsetning.

 

Hvorvidt du løser med eller uten derivasjon, om du benytter deg av formelt variabelskifte eller tar det "i hodet", har mindre betydning. Fremgangsmåten er uansett det samme, men det holder ikke å diktere at svarene er slik-og-slik fordi du ser det. Da har du ikke vist det ved regning.

 

Så kan du si - hva vil det si å vise ved regning - hvilke forutsetninger må man legge til grunn?

 

Det er akseptert at ingenting egentlig kan bevises, fordi alle beviser rotfester seg ultimat sett i andre postulater og/eller beviser. Noe må vi legge til grunn, og forutsette kjent, riktig og akseptert, med eller uten de begrensningene det fører med seg. Det er forskjell på å bruke kruttet og å finne det opp.

 

Å kjenne f.eks. sinusfunksjonens nullpunkter må vi kunne la være en foutsetning. Selv om oppgaven ikke spesifiserer det explicit, er likevel forutsetningen der, se resonnement i første avsnitt. På grunnlag av dette kan du løse likningen på en slik måte at du kan bevisføre det hele på en ryddig over oversiktlig måte. Det er også implicit.

 

Alt i alt vil jeg derfor fremdeles hevde at oppgaven er klar og konsis. Ikke alle forutsetninger trenger å være i oppgaveteksten, fordi de - av forskjellige grunner - gir seg selv. Likeledes mener jeg fremdeles at oppgaen ikke gir rom for tolkning, Q.E.D.

 

[JBlack]

Noe må vi legge til grunn, og forutsette kjent, riktig og akseptert, med eller uten de begrensningene det fører med seg.

Korrekt, men spørsmålet er hva?

 

Å kjenne f.eks. sinusfunksjonens nullpunkter må vi kunne la være en foutsetning. Selv om oppgaven ikke spesifiserer det explicit, er likevel forutsetningen der, se resonnement i første avsnitt.

Vilkårlig valgt grunnlag, la oss se på første avsnitt.

 

Jeg mener fremdeles jeg har rett. Poenget mitt er følgende, JBlack:

Oops, tydeligvis ikke første avsnitt da, men....

 

For å kunne finne de svarene oppgaven spør etter, har du to muligheter: du kan

 

a) kjenne svarene fordi du kjener sinusfunksjonens egenskaper og regelmessighet

eller

b) Løse det som en hvilken som helst annen likning, ved å derivere.

 

I eksempel b) får du f'(x)=2cos(2x). For å løse denne må du forutsette det samme som i a). Av denne grunn mener jeg at uansett hordan du snur og vender på det, lar ikke likningen seg løse uten at du har visse forkunnskaper om trigonometriske funksjoner. Altså er dette en implicit forutsetning.

Ikke holdbart. Sinus og cosinus er ikke tatt ut av løse luften. De har en definisjon og kan beregnes.

 

Hvorvidt du løser med eller uten derivasjon, om du benytter deg av formelt variabelskifte eller tar det "i hodet", har mindre betydning. Fremgangsmåten er uansett det samme, men det holder ikke å diktere at svarene er slik-og-slik fordi du ser det. Da har du ikke vist det ved regning.

Men det er jo nettopp det du gjør på ett nivå i utrgeningen!

Du dikterer: sin(x) har topppunkt for n*pi

Og så bruker du dette til å regne resten.

 

Jeg kunne diktert: sin(2x) har toppunkt på n*pi/2

Og så kunne jeg brukt det til å regne resten.

 

Tolkning!

 

Og grunnen til at jeg tolker det på første måten er at det er mest sanysnlig at det er slikt det er ment. Og det vet jeg fordi jeg selv har gått gjennom skoleverket og vært borti måten å sette opp oppgaver på. men det er ikke på noen måte implisitt gjitt.

 

Alt i alt vil jeg derfor fremdeles hevde at oppgaven er klar og konsis. Ikke alle forutsetninger trenger å være i oppgaveteksten, fordi de - av forskjellige grunner - gir seg selv. Likeledes mener jeg fremdeles at oppgaen ikke gir rom for tolkning, Q.E.D.

Det eneste du har bevist er at du ikke har kunnskap nok til å utlede sinusfunksjonen (det har ikke jeg heller), og at det derfor er usansynlig at det er en del av oppgaven. Men fortsatt kan man ikke si at det er nødvendig å regne ut topppunktet for sin(2x), for det er også banal kunnskap, avhengig av hvilket utdanningsnivå man er på.

[Feynman]

Jeg kunne diktert: sin(2x) har toppunkt på n*pi/2

Og så kunne jeg brukt det til å regne resten.

Da får du ikke vist at du skjønner hva som karakteriserer et topp- eller bunnpunkt; at den deriverte i dette punktet er lik null. At en sinus er lik null kan man derimot diktere, eller løse vha. arcsin. Når ligningen løses vil det være en fordel å bruke hele argument i sinus/cosinus:

cos(2x) = 0

Skriv heller 2x = n*pi, enn x = n*pi/2. Hadde nok selv valgt den siste skrivemåten, men vet ikk hvor smart det er i videregående.

[bfisk]

Noe må vi legge til grunn, og forutsette kjent, riktig og akseptert, med eller uten de begrensningene det fører med seg.

Korrekt, men spørsmålet er hva?

Det var jo det jeg forsøkte å forklare.

 

Å kjenne f.eks. sinusfunksjonens nullpunkter må vi kunne la være en foutsetning. Selv om oppgaven ikke spesifiserer det explicit, er likevel forutsetningen der, se resonnement i første avsnitt.

Vilkårlig valgt grunnlag, la oss se på første avsnitt.

 

Jeg mener fremdeles jeg har rett. Poenget mitt er følgende, JBlack:

Oops, tydeligvis ikke første avsnitt da, men....

Første, femte, ente avsnitt, hvilken rolle spiller det? Dessuten er da ikke grunnlaget tilfeldig valgt. Jeg forsøker å forklare hvorfor det ikke er en forutsetning å lede ut sinusfunksjonens nullpunkter, topp- og bunnpunkter, fordi man må kunne forutsette dem kjent.

 

For å kunne finne de svarene oppgaven spør etter, har du to muligheter: du kan

 

a) kjenne svarene fordi du kjener sinusfunksjonens egenskaper og regelmessighet

eller

b) Løse det som en hvilken som helst annen likning, ved å derivere.

 

I eksempel b) får du f'(x)=2cos(2x). For å løse denne må du forutsette det samme som i a). Av denne grunn mener jeg at uansett hordan du snur og vender på det, lar ikke likningen seg løse uten at du har visse forkunnskaper om trigonometriske funksjoner. Altså er dette en implicit forutsetning.

Ikke holdbart. Sinus og cosinus er ikke tatt ut av løse luften. De har en definisjon og kan beregnes.

Jeg har heller ikke påstått at sinus og cosinus er tatt ut av luften, slik du beskylder meg for. Ja, de har en definisjon, ja, de kan beregnes, men viktigst: NEI, oppgaven ber deg ikke gjøre det.

 

Hvorvidt du løser med eller uten derivasjon, om du benytter deg av formelt variabelskifte eller tar det "i hodet", har mindre betydning. Fremgangsmåten er uansett det samme, men det holder ikke å diktere at svarene er slik-og-slik fordi du ser det. Da har du ikke vist det ved regning.

Men det er jo nettopp det du gjør på ett nivå i utrgeningen!

Du dikterer: sin(x) har topppunkt for n*pi

Og så bruker du dette til å regne resten.

Min løsning av oppgaven tidligere har aldri vært å se på som et løsningsforslag med korrekt bevisførsel, oppsett og utledninger. Dessuten har jeg aldeles aldri påstått at sin(x) har toppunkter for n*pi, det er jo faktisk feil. Det har toppunkter i pi/2 + n*2pi. Dette er noe som er en første nivås utledning; man kan f.eks. finne det gjennom enhetsirkelen eller enkel plangeometri.

 

Jeg kunne diktert: sin(2x) har toppunkt på n*pi/2

Og så kunne jeg brukt det til å regne resten.

For å gjøre dette må du først utlede toppunktene til den generelle sinusfunksjonen, slik som f.eks. beskrevet ovenfor. At du velger å gjøre om 2x til en tenkt vinkel i hodet, er greit, men bør gjøres formelt med variabelskifte. Uansett blir dette en utledning over to nivåer, og da er "dårlig latin" å bruke det som om det var en definisjon. Dessuten har faktisk ikke sin(2x) toppunkter i n*pi/2.

 

Tolkning!

Jeg ser ikke hva du mener. Enlighten me.

 

Og grunnen til at jeg tolker det på første måten er at det er mest sanysnlig at det er slikt det er ment. Og det vet jeg fordi jeg selv har gått gjennom skoleverket og vært borti måten å sette opp oppgaver på. men det er ikke på noen måte implisitt gjitt.

 

Kan du argumentere for at det ikke på noen måte er implicit gitt at du må kunne forutsette nullpunktene til de trigonometriske funksjonene kjent (evt også topp- og bunnpunkter for sinx, cosx og tanx)? Jeg har argumenter for, og da hadde jeg håpet du kunne argumentere mot.

 

Alt i alt vil jeg derfor fremdeles hevde at oppgaven er klar og konsis. Ikke alle forutsetninger trenger å være i oppgaveteksten, fordi de - av forskjellige grunner - gir seg selv. Likeledes mener jeg fremdeles at oppgaen ikke gir rom for tolkning, Q.E.D.

Det eneste du har bevist er at du ikke har kunnskap nok til å utlede sinusfunksjonen (det har ikke jeg heller), og at det derfor er usansynlig at det er en del av oppgaven. Men fortsatt kan man ikke si at det er nødvendig å regne ut topppunktet for sin(2x), for det er også banal kunnskap, avhengig av hvilket utdanningsnivå man er på.

 

Sinusfunksjonen er jo definert som forholdet mellom motstående katet og hypotenus i en trekant med. Jfr også enhetssirkelen samt de trigonometriske regnereglene. Ved å bruke disse definisjonene/verktøyene kan man lede ut en hel del ting, og dette kan du bruke direkte. Imidlertid kan du ikke lede ut f.eks. sin(2x) uten å gå veien om enten formelt variabelskifte eller hoderegning. Ja, du kan vite det, men du blir bedt om å finne det ved regning, ikke ved å diktere det.

 

Jeg er fremdeles ikke overbevist om ditt synspunkt. Det hadde også vært kjekt om noen andre hadde noen formeninger om saken, slik at vi unngår å sitte på hver vår haug å være bedrevitere. Jeg forsøker å argumentere for mitt syn, og jeg håper ikke du bare ser dette som munnhuggeri.

 

bfisk

 

edit: noen køddne tagger

Endret 10. februar 2005 av bfisk

[Feynman]

Sinusfunksjonen er jo definert som forholdet mellom motstående katet og hypotenus i en trekant med. Jfr også enhetssirkelen samt de trigonometriske regnereglene. Ved å bruke disse definisjonene/verktøyene kan man lede ut en hel del ting, og dette kan du bruke direkte. Imidlertid kan du ikke lede ut f.eks. sin(2x) uten å gå veien om enten formelt variabelskifte eller hoderegning. Ja, du kan vite det, men du blir bedt om å finne det ved regning, ikke ved å diktere det.

FYI:

 

sin(x) = (exp(ix) - exp(-ix)) / 2i

[JBlack]

Jeg ser ikke hva du mener. Enlighten me.

Om det er meningen at man skal ta utgangspunkt i at nullpunktene til sin(x) er kjent, eller nullpunktne til sin(2x) er kjent, det er ikke spesifisert i oppgaven. Dermed er dette åpent for tolkning. Så enkelt.

[Antihero]

I en befolkningsgruppe har 5% høyt blodtrykk. I denne befolkningsgruppen jogger 30% av de som ikke har høyt blodtrykk og 40% av de som har høyt blodtrykk.

 

a) Sannsynligheten for at en tilfeldig person i gruppen jogger?

 

0.305

 

b) Sannsynligheten for at en tilfeldig person jogger og har høyt blodtrykk?

 

0.020

 

c) Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig jogger har høyt blodtrykk?

[Jan]

(x1,y1) (0 , 0)

(x2,y2) (3/2, 3)

 

a ?

Hvordan fortsetter det?

 

Slik?

3 - 0 = 3 = 2.

3/2 -0 1,5

 

Skal jeg ikke fortsette nå?

[GeO]

Når du skriver x1, y1, a osv., regner jeg med at du snakker om koordinater og stigningstall. Hvis det dreier seg om noe helt annet, se bort fra resten.

 

For en rett linje gitt ved

y = ax + b

der a er stigningstallet og b er et konstantledd, og som har koordinatene (x1 , y1) og (x2 , y2), gjelder også at

a = (y2 - y1) / (x2 - x1)

For ditt vedkommende blir regnestykket som sådan:

a = (3 - 0) / ((3/2) - 0) = 3 / (3/2) = 3 / 1,5 = 2

Svar: Stigningstallet for linja med koordinatene (0,0) og (3/2,3) er 2.

 

Denne formelen fungerer for alle rette linjer på denne formen, også de som ikke går gjennom origo.

 

Håper jeg uttrykte meg forståelig, og at det var dette du siktet til.

[dedLy_sCoRpIoN]

I en befolkningsgruppe har 5% høyt blodtrykk. I denne befolkningsgruppen jogger 30% av de som ikke har høyt blodtrykk og 40% av de som har høyt blodtrykk.

 

a) Sannsynligheten for at en tilfeldig person i gruppen jogger?

 

0.305

 

b) Sannsynligheten for at en tilfeldig person jogger og har høyt blodtrykk?

 

0.020

 

c) Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig jogger har høyt blodtrykk?

a) (0,05*0,4)+(0,3*0,95) = 0,305 = 30,5 %

 

b) Vi innfører hendingane:

 

P(A)= Høgt blodtrykk P(ikkje A) = Lavt blodtrykk

 

P(B)= Jogger P(ikkje b) = Jogger ikkje

 

 

P( A n B) =P(A) * P(B|A) = 0,05 * 0,4 = 0,020 = 2,0 %

 

c) Bayes setning:

 

P(A|B) = P(A) * P(B|A)/P(B) = 0,05 * 0,4/0,305 = 0,0655 =6,6 %

[Breivik.]

Kan noen svare på denne for meg?

 

 

Idrettslaget Driv har meldt på 20 spillere til en håndballturnering. Erfaring fra tidligere turneringer tilsier at hver spiller har en 3% sjans for å bli skadet i løpet av turneringen.

 

a) Regn ut sannsynligheten for at Driv får ingen, én eller to spillere skadet i løpet av turneringen.

b) Hva er sannsynligheten for at minst tre av Drivs spillere blir skadet under turneringen?

 

Det deltar 32 lag i turneringen. Alle lag har 20 spillere

c) Regn ut sannsynligheten for at minst ett av lagene får tre eller flere spillere skadet.

 

Vær vennlig å vis/forklar fremgangsmåten, slik at jeg får litt forståelse

Takker for alle svar.

[EirikO]

x''-ax'+bx=u, der a og b er positive konstanter.

Hva må K_p og K_d i regulatoren u=-x*K_p-x'*K_d være for at likeveketspunket x=x'=0 skal være asymtotisk stabilt?

 

Alt:

A: K_p > 0, K_d > a

B: K_p > 0, K_d >0

C: K_p > b, K_d >-a

D: K_p > 0, K_d >-a

E: K_p > -b, K_d >a

 

To er riktige...

[dedLy_sCoRpIoN]

a) ingen skadde spillere: 0C10*(0,97^10) =

1 skadd spiller: 1C10*(0,97^9*0,03^1) =

2 skadde spillerer: 2C10*(0,97^8*0,03^2) =

[endrebjo]

Jeg sliter fremdeles med å forstå sannsynlighetsregning (10. klasse). Er det noen som kan forklare meg, på en grundig og lettfattelig måte, hvordan man løser disse oppgavene:

 

Figuren viser en stilling i Ludo: brikken står på rute 95, siste rute på brettet er 99, og mål er da rute 100.

Regel: Det skal flyttes så mange ruter som "øynene" viser (terning altså), men du skal stå i ro dersom antall øyner som vises, er mer enn det som trengs for å komme til mål. Eksempel: Dersom du slår en 6-er og bare har 5 ruter til mål, blir du stående.

 

A) Hvor stor er sjansen for at du kommer i mål på 1 terningkast?

Svar: 1/6 sant?

 

B) Hvor stor er sjansen for at du kommer i mål på akkurat to terningkast?

Svar: Blir det 1/4 * 1/3 = 1/12, eller er jeg ute og kjører?

 

C) Hvor stor er sjansen for at du kommer i mål på maksimalt to terningkast?

Svar: Blir der 1/5 * 1/3 = 1/15, eller er jeg helt ute og kjører nå?

 

Takker for all hjelp!

 

Edit: Seff skal det vær 1/6

Endret 6. mars 2005 av endrebjorsvik89

[notalive]

Sliter også litt med sansynlighetsregning

 

Bruker jo altid å svare 50% sjanse for å plage læreren Siden det alltid stemmer, tror jeg