Matte i media og forskning.

[duperjulie]

Jeg skal finne eventuelle toppunkter og bunnpunkter for følgende graf ved regning:

 

f(x) = 3cos(0,5x)-0,5x , fra x = 0 til x = 4 pi (vi snakker altås radianer her)

 

Min fremgangsmåte var da å derivere funksjonen, sette denne lik null, og så drøfte den i et drøftingsskjema:

 

f'(x) = -1,5sin(0,5x) - 0,5

 

-1,5sin(0,5x) - 0,5 = 0

 

sin(0,5x) = - (0,1/1,5)

 

sin(0,5x) = - 1/3

 

0,5 x = arcsin(-1/3)

 

0,5 x = 0,34 + k * 2 pi (jeg finner ikke noe pi-tegn her)

 

x = 0,68 + k * 4 pi (og siden jeg skal ha mellom 0 og 4 pi, må jeg la k = 1)

 

x = 0,68 + 4 pi = 11,89. (Så setter jeg f(x) i et drøftingsskjema og finner ut at dette er et toppunkt)

 

MEN det eneste punktet jeg finner hvor stigningstallet til f(x) = 0, er 11,89. Men fasiten gir tre, hvorav to er toppunkter og ett er et bunnpunkt. Dette kan man også se hvis man plotter inn funksjonen på kalkulatoren. Det er en typisk cosinusfunksjon med bølgetopper, bare at hver bølgetopp ligger lavere og lavere. Og i intervallet fra 0 til 4 pi , ser jeg at man får med to toppunkter og ett bunnpunkt.

 

Men hvorfor finner jeg bare ett? Har jeg gjort noe feil i regningen?

 

Noen som kan hjelpe meg?

 

arcsin(-1/3) er -0.34, og i tillegg ser det ut som du har glemt den andre vinkelen med sinusverdien -1/3. Husk på at en vinkel, med mindre den er 90 eller 270 grader, har alltid to sinusverdier!

 

 

Fant en ny måte å finne hypotenusen i en rettvinklet trekant!

 

(Katet + Katet) * 0,714286

 

Skal selvsagt være flere desimaler, men gidder ikke finne dem nå.

 

Jeg vil gjerne se et bevis

 

Takk for svar=) Jeg glemmer alltid å finne den andre verdien når jeg regner med radianer.. er ikke helt vant til det enda:P Og grunnen til at det er tre svar, er at man får to ved å regne som jeg har gjort ovenfor, og det siste svaret får man ved å ta med endepuntet x = 0, fordi definisjonsmendgen er [0, 4pi >, og da skal jo 0 tas med, og siden grafen synker fra x = 0 og utover et lite stykke, vil x = 0 også være et toppunkt i dette intervallet.

 

Så tusen takk for god hjelp på veien=)

[luser32]

Har skaffet meg Introduction to Number Theory av Martin Erickson og Anthony Vazzana. Veit ikke om det er noen her som har den, har sikkert ikke så mye å si. Men jeg klarer ikke bevise excercise 2.45:

Let a be a positive integer greater than 1, and x and y arbitrary positive integers. Prove that
gcd(a^{x}-1, a^{y}-1) = a^{gcd(x,y)}-1

Noen har noen ide på hvordan man skal gå frem her?

Endret 17. januar 2009 av luser32

[Daniel]

Husk på at en vinkel, med mindre den er 90 eller 270 grader, har alltid to sinusverdier!

Jeg tror du mener at enhver sinusverdi, unntatt 1 og -1, svarer til to vinkler per omløp.

[Jaffe]

Haha, jepp.

[aspic]

Har skaffet meg Introduction to Number Theory av Martin Erickson og Anthony Vazzana. Veit ikke om det er noen her som har den, har sikkert ikke så mye å si. Men jeg klarer ikke bevise excercise 2.45:

Let a be a positive integer greater than 1, and x and y arbitrary positive integers. Prove that
gcd(a^{x}-1, a^{y}-1) = a^{gcd(x,y)}-1

Noen har noen ide på hvordan man skal gå frem her?

Du veit korleis ein går fram for å finne gcd? Eg fekk i alle fall formelen din til å fungere ved å bruke tal, men eg har aldri vore den store bevistypen :<

[DrKarlsen]

Har skaffet meg Introduction to Number Theory av Martin Erickson og Anthony Vazzana. Veit ikke om det er noen her som har den, har sikkert ikke så mye å si. Men jeg klarer ikke bevise excercise 2.45:

Let a be a positive integer greater than 1, and x and y arbitrary positive integers. Prove that
gcd(a^{x}-1, a^{y}-1) = a^{gcd(x,y)}-1

Noen har noen ide på hvordan man skal gå frem her?

 

Når du skal bevise noe som inneholder gcd er ofte euklids algoritme en god løsning.

[luser32]

Prøvd meg med Euklid et par ganger, men får litt problemer når de to er på formen a^x-1.

Jeg er kommet så langt som dette:

Når vi har fulgt Euklid hele veien ned, står vi på venstre siden igjen med

gcd(a^{d}-1,0). Og greia blir jo da å vise at gcd(x,y) = d.

 

Jeg må bare prøve å finne ut hvordan jeg skal bruke euklid-algerithmen til å vise dette:)

[DrKarlsen]

Du kan bruke at a^x - 1 = (a^y - 1)*a^(x-y) + a^(x-y) - 1

[luser32]

ah, sånn ja=)

 

Jeg prøvde meg med a^x -1 = (a^y - 1)*a^(y+k) + a^(y+k) - 1, der x=y+k, men da ble uttrykket bare mer og mer rotete etter hvert:P

[DrKarlsen]

gcd(a^x - 1,a^y - 1) = gcd((a^y - 1)*a^(x-y) + a^(x-y) - 1, a^y - 1) = gcd(a^(x-y) - 1, a^y - 1), ...

[luser32]

gcd(a^x - 1,a^y - 1) = gcd((a^y - 1)*a^(x-y) + a^(x-y) - 1, a^y - 1) = gcd(a^(x-y) - 1, a^y - 1), ...

gcd(x,y) = x*a_0 + y*b_0.

a^{gcd(x,y)} - 1 = a^{x*a_0 + y*b_0} - 1

 

Hvis vi går ut ifra at gcd(a^x -1, a^y - 1) = a^{gcd(x,y)} - 1 har vi fra

gcd(a^(x-y) - 1, a^y - 1) at:

(1) [a^{x*a_0 + y*b_0) - 1] | [a^{x-y} - 1]
(2) [a^{x*a_0 + y*b_0) - 1] | [a^y - 1]
(3) [a^{x*a_0 + y*b_0) - 1] | [a^x - 1]

Som i hvert fall stemmer for (a_0, b_0) = (1, -1), (0, 1) og (1, 0) respektivt.

 

Jeg er ikke noen mester i bevisførsel enda jeg heller, men virker i hvertfall som om du har litt styring på dette DrKarlsen. Holder måten jeg går frem på til noe som helst? I hvert fall som en indikasjon på at det er riktig? Eller er det helt på jordet?

Endret 18. januar 2009 av luser32

[DrKarlsen]

Jeg tror ikke de stegene dine er helt riktige ....

[luser32]

Neivel, da gir jeg opp jeg ass:P

[Boneraw]

Noen som vil hjelpe meg med denne Polynomdivisjonen:

 

(4x^4+3x^3+x)/(x^2-1)

 

Jeg kommer meg til 4x^2+3x+4, men det siste leddet i svaret skjønner jeg ikke hvordan jeg får til. Jeg setter inn koeffisienter (0x^2) i begynnelsen.

 

Det står ikke så bra forklart i læreboka og ettersom jeg tar R1 som privatist uten å ha hatt det før trenger jeg litt hjelp.

 

 

Fasit: 4x^2+3x+4+(4/(x-1))

[Matsemann]

Hmm, håper dette ikke blir for kronglete:

 

+(4/(x-1)) er resten. Resten man sitter igjen med etter polynomdivisjonen.

Du vil, når du er ferdig sitte igjen med 4x^2+3x+4, og 4x+4 i rest. Disse 4x+4 kan skrives som (4x+4)/(x^2-1). Altså resten delt på tallet du deler polynomet med.

 

Lat som om det er en brøkstrek:

 

(4x+4)

(x^2-1)

 

=

 

4(x+1)

(x+1)(x-1)

 

stryk begge (x+1) mot hverandre.

 

4

(x-1)

 

4/(x-1) legger du altså bare til tallene du allerede har funnet, og får 4x^2+3x+4+(4/(x-1))

 

Håper det var forståelig.

Endret 20. januar 2009 av Matsemann

[Boneraw]

Det var veldig forståelig.. Herregud at jeg ikke så det... haha..

Takk for hjelpen!

[Matsemann]

Bare hyggelig.

[DrKarlsen]

(4x^4+3x^3+x)/(x^2-1) = x * (4x^3+3x^2+1)/ [(x-1)(x+1)] = x * (x+1)(4x^2-x+1) / [(x+1)(x-1)] = x * (4x^2 - x + 1) / (x-1) = ...

[Boneraw]

hvorfor er det +4 i rest og ikke -4?

 

jeg vil jo si at -1*4=-4.

Og dermed at jeg har 4x-4 i rest.

Er det en regel jeg ikke har lært ved polynomdivisjon?

[Matsemann]

Klarer ikke forklare via PC, gi met øyeblikk så tegner jeg et bilde.