Matte i media og forskning.

[Camlon]

Hvorfor vil ikke x^2+5 = 0 gå an i dette tilfellet?

 

Fordi uansett hva man kvadrerer, vil svaret bli positivt, og ikke -5 som er det som trengs for at x^2+5=0.

Ah, sånn du tenker ja. Nå husker jeg ikke når vi lærte om imaginære tall, eller hvilket nivå master air er på, men det er ingen matematiske problemer med den ligningen.

(+/- j5)^2 = -5 , der j^2 == -1, vil være to helt fine løsninger på x^2 + 5 = 0.

Imaginære tall gir ikke nullpunkter.

[Maelwedd]

Imaginære tall gir ikke nullpunkter.

Hvorfor tror du det? Et nullpunkt er bare et sett med tall (i dette tilfellet en verdi av x) som gir 0 som svar på den opprinnelige formelen. Et imaginært tall er et like fint svar som et reelt (generelt sett). Dette er kanskje litt i motsetning til "Får dere i på kalkulatoren så er det ikke et gyldig svar"-talen som (iallefall) jeg alltid fikk på videregående, men det var kun fordi de ikke ville lære oss imaginære tall så tidlig.

Det er bare en grunn til at x^2 + 5 = 0 ikke har en løsning, og det er hvis du definerer x til kun å være reelle tall (eller en undergruppe innen reelle tall), generelt sett er svaret x = +/- j5.

[Jaffe]

Men i denne oppgava er x^2 + 5 i nevneren, og da blir det ikke noe nullpunkt selv om den blir 0.

[A-Jay]

Tilbake til spørsmålet.

 

Grunnen til at den er symmetrisk om y-aksen er at vi kun har ledd med x² eller "vanlige" tall.

 

En annengradsligning ser slik ut:

 

ax² + bx + c

 

hvor a, b og c er vilkårlige tall. Hvis man har b=0 så vil grafen alltid være symmetrisk rundt y-aksen.

 

Hvis du har en grafisk kalkulator, så anbefaler jeg at du eksperimenterer med å sette inn forskjellige tall for a, b og c i en vanlig annengradsligning og se hvordan det påvirker grafen.

[Maelwedd]

Men i denne oppgava er x^2 + 5 i nevneren, og da blir det ikke noe nullpunkt selv om den blir 0.

Det er sant. I denne oppgava vil x = +/- j5 gi en singularitet, dvs y går mot uendelig når du nærmer deg +/- j5 (gitt at telleren går mot noe som ikke er null den også, da kan det være at det faktisk finnest en løsning).

 

Om du regner med eller uten imaginære tall har på den andre siden ingenting å si for om den er symmetrisk rundt y-aksen eller ikke.

[Camlon]

Imaginære tall gir ikke nullpunkter.

Hvorfor tror du det? Et nullpunkt er bare et sett med tall (i dette tilfellet en verdi av x) som gir 0 som svar på den opprinnelige formelen. Et imaginært tall er et like fint svar som et reelt (generelt sett). Dette er kanskje litt i motsetning til "Får dere i på kalkulatoren så er det ikke et gyldig svar"-talen som (iallefall) jeg alltid fikk på videregående, men det var kun fordi de ikke ville lære oss imaginære tall så tidlig.

Det er bare en grunn til at x^2 + 5 = 0 ikke har en løsning, og det er hvis du definerer x til kun å være reelle tall (eller en undergruppe innen reelle tall), generelt sett er svaret x = +/- j5.

Sant, men du finner ikke x-en på x-aksen, og dermed gir det ikke nullpunkter for grafen. Var ikke det hele poenget, å beskrive en graf? Det er en grunn til at vi kaller det nullpunkter. Snakker du om løsninger, altså verdier for x som gir 0, så er komplekse tall like gode løsninger som reele tall.

 

Lager du grafer av komplekse tall, ender du opp med 4D-grafer. Det er litt vanskelig å tegne.

 

Jeg har lært masse om komplekse tall, og om roots of unity og det blir brukt i kroppteori og galois teori, men jeg går forsatt på videregående, men ikke på norsk videregående da. I Norge lærer man ikke om diskret mattematikk, bare elementær kalkulus, omtrent ingenting om geometri, ingenting om gruppeteori, og nesten ingenting om statistikk. I tilegg lærer man ikke om matriser, imaginære tall og omtrent ingenting om mattematisk induksjon. Allikavel klager elevene på at R1/R2 er vanskelig. De har jo nesten ferie.

Endret 27. november 2008 av Camlon

[clfever]

 

Tennisballen har en startfart på 20m/s i det tennisballen blir slått av en racket. Ballen får i 0,020s akselrasjonen i motsatt retning av farten 3000m/s^2.

 

Det jeg lurer på er siden ballen virker i den positive retningen og akselrasjonen i negativ retning, betyr det da at akselrasjonen er negativ? Og hvordan vil ballen i så fall bevege. Hadde vært fint med tegning om noen her kunne komme med en.

 

Jeg får en fart på -40m/s og ifølge fasiten så er farten 40m/s. Har jeg tenkt galt eller er det noe jeg har utelatt?

[Kongen av Lassa]

Du må definere en positiv retning for farten.

 

Ut fra svaret du fikk og svaret i fasiten ser det ut som om du har valgt positiv fartretning mot rackerten mens fasiten har valgt fra den.

 

Jeg husker ikke formlene for dette, men hvis du prøver å bruke -20m/s istedenfor 20m/s kommer du nok ut med fasitsvaret. Svaret du fikk er nok også riktig sålenge det kommer klart fram i besvarelsen din hva du har valgt som positiv retning for farten.

 

Akselrasjonen er positiv i samme retning som farten ballen har etter slaget så hvis du velger fartsretning mot rackerten blir den negativ og du vil få negativ fart i svaret. Hvis du velger fartsretning fra rackerten blir akserelasjon og sluttsvar positivt.

 

Edit: Formulerte meg anderledes

Endret 28. november 2008 av Kongen_av_Lassa

[clfever]

Takk for svaret. En ting til. Hvis vi definerer den positive fartsretning mot racketen, er akselrasjonen negativ siden akselrasjonen er positiv i motsatt retning av farten. Med dette skal jeg da bare forandre på akselrasjonens fortegn? Og løse det i en av bevegelsesligningen som gir negativ fart? Det jeg mener er at skal jeg i første omgang bare forandre på akselrasjonens fortegn alt ettersom hva jeg definerer som positiv fartsretningen?

Endret 28. november 2008 av YNWA8

[Kongen av Lassa]

Et mer folkelig ord for negativ akserelasjon er bremsing. Så hvis du velger positiv fart mot rackerten, blir ballen bremset ned til 0m/s og så akselerert i motsatt retning, akserelasjonen blir derfor negativ. Siden ballen etter slaget beveger seg mot den positive fartsretningen vil også farten den da har bli negativ.

 

Det du gjør for å løse oppgaven er å velge en retning for farten f.eks mot rackerten.

Du må så finne ut i vilken retning de forkjellige parameterne som er oppgitt i oppgaven virker.

 

Her er farten som ballen har positiv siden den beveger seg mot rackerten.

 

Akserelasjonen blir negativ fordi den gjør at ballen endrer retning. Hvis du velger positiv betyr det at ballen får en fartsøkning i samme retning som den allerede beveger seg. (Det samme som skjer hvis du trør ned gasspedalen og akselererer med en bil).

 

Siden du har valgt at den positive retningen for farten er mot rackerten vil sluttsvaret komme ut som negativt fordi ballen beveger seg i motsatt retning etter slaget.

[ManagHead]

Bruk epsilon-delta definisjonen av grenseverdi til å vise at lim(x->0) sqrt(1+x) = 1

 

Ehh?

[aspic]

Ohh.. Det er "alltid" like kjekt. Kva lærebok er det du har? Du finn i alle fall litt hjelp på side 98 og utover i "Thomas Calculus 1". Om du ikkje har den boka kan eg evt. prøve å forklare det til deg seinare.

[clfever]

 

Hei. Som du ser av tegningen har jeg definert den positive akselrasjonen oppover. Dermed er tyngdens akselrasjon negativ siden den virker nedover og vi har definert positv retning oppover. Det jeg lurer på er om fortegnet til startfarten, farten og strekningen endres? Jeg trenger en enkel forklaring på det, ikke vanskelig. Takk.

[Jaffe]

Du henger deg veldig mye opp i dette med positiv og negativ retning. Hva er det som er så vanskelig med det? Du har definert positiv retning som oppover, og startfarten er jo i den retningen, er den ikke? Og raketten flyr jo oppover, gjør den ikke? Farten vil i midlertid begynne med å være positiv for så å bli negativ etter raketten snur.

[Camlon]

Skjønner ikke hvorfor du må bruke alle disse forskjellige formlene hele tiden. Jeg har sagt det før og jeg sier det igjen. Alle slike oppgaver kan bli løst med v=at+v0 og s=(1/2)at^2+v0t+s0. Da blir det også veldig lett å se om du skal ha minus eller pluss i akserlasjonen og alle oppgavene blir veldig lett å løse.

 

b)

s1= (1/2) a1t^2 + v0t + s0 for de første 60 sekundene

s2= (1/2) a2t^2 + v1t + s1 for resten av tiden.

 

s1= 0.5(20)(60)^2=36000m v0=0 s0=0

v1 = at +v0= 20(60)= 1200 m/s

 

Dermed siden s2=0 fordi den skal lande

0 = (1/2)(-10)t^2 +1200t + 36000

t= 266.969

t= 266.969 + 60 = 326.969

 

a) for oppgave a vet vi at v2 må være null

0= at + v1

0= -10t + 1200

t= 120s

s= (1/2) (-10)(120)^2 + 1200(120) + 32000 = 72000 + 36000=108000

Endret 29. november 2008 av Camlon

[clfever]

Hei. Jeg bruker jo de bevegelsesligningene du oppgir, Camlon. Jeg opplever noen ganger at det med å forandre på fortegnet på størrelsene alt ettersom hva den positive retningen er definert motstrider min forståelse av det.

 

 

 

Som du ser av på tegningen så har jeg definert den positive retningen oppover. Dermed blir akserasjonen negativ pga tyngdens akselrasjon og farten negativ fordi steinen bevegeer seg ikke i samme retning som den positive retningen. Men strekningens fortegn endres jo her fordi den farer nedenfor startstreken som er negativ.

[Camlon]

Skjønner ikke hvorfor du er interesert i å tenke på hvilken retning som er opp. Jeg tenker som så. Vi er et kordinatsystem. Den beveger seg oppover kordinatsystemet. Når stenen blir sluppet løs, akserlerer den nedover, fordi den øker sin fart nedover kordinatsystemet. I oppgaven du skrev over, så vil s0=118 a= -10 v0=8 dermed

0= -5t^2 +8t+118

 

Du henter jo opp formler fra intet som v^2 - 2as = 0 2as=v^2 - v0^2 Er det ikke vanskelig å vite hvilken formel du skal bruke til enhver tid? Virket som om du fikk feil på a oppgaven og b oppgaven klarte du ikke en gang. Bruker du bare de to formlene jeg bruker, så vil alle oppgavene være lette og ta kort tid.

Endret 29. november 2008 av Camlon

[ManagHead]

Ohh.. Det er "alltid" like kjekt. Kva lærebok er det du har? Du finn i alle fall litt hjelp på side 98 og utover i "Thomas Calculus 1". Om du ikkje har den boka kan eg evt. prøve å forklare det til deg seinare.

 

Calculus 1, ja.

 

Får jo noe sånt:

 

0 < |x-0| < d , der 'd' er 'delta'

 

|sqrt(1+x)-1| < e , der 'e' er 'epsilon'

 

Tenkte å forenkle litt slik at jeg får x uttrykt ved e og så bruke det vidre, men tar jeg f.eks. å kvadrer likninga med rottegnet blir det jo enda mer rot (bokstavlig talt).

[clfever]

Jeg tror jeg skjønt oppgaven ovenfor. Siden steinen har samme fart som gondolen og farten til gondolen virker oppover (Positiv retning oppver) er startfarten til steinen positiv. Strekningen, akselrasjonen og sluttfarten derimot er negativ.

[aspic]

Det er eit godt eksempel i boka kor dei kvadrer begge sidene. Poenget er vel å få x åleine mellom ulikheitane.

 

|sqrt(1+x)-1| < e

Vil vel gå noko slikt:

 

e - 1<|sqrt(1+x)| <e + 1

(e - 1)²<|1+x| <(e + 1)²

(e - 1)²<1+x <-(e + 1)²

e²-2e+1 < 1 + x < e²-2e-1

 

osv

 

Hmhm, blei veldig rart dette også, eg bør nok absolutt lese meir på dette stoffet. Forrige gong eg gjekk gjennom det var i alle fall oppgåvene til boka/samt eksempla ganske gode/lærerike. Det er typisk stoff som ser vanskeleg ut, men eigentleg (skal) vere ganske lett, sjølv om eg sikkert faila

Endret 29. november 2008 av aspic