Matte i media og forskning.

[endrebjo]

Finnes det noen enkel løsning på:

x⁴ - x² - 1 = 0

Endret 16. april 2008 av endrebjorsvik

[GeO]

Regner med at man pent må finne seg i å substituere for x² og løse en annengradsligning. Ser for meg at svaret blir litt stygt òg ...

[endrebjo]

Svaret er 0,5sqrt(2sqrt(5)+2), altså ikke spesielt pent, nei.

 

Oppgaven:

Sidene i en rettvinklet trekant danner tre ledd som kommer etter hverandre i en geometrisk rekke med kvotient k. Finn k.

Jeg setter opp:

korteste katet = a₁

lengste katet = a₂ = a₁*k

hypotenus = a₃ = a₁*k²

 

(a₁*k²)² = (a₁)² + (a₁*k)²

og flytter om til:

k⁴ - k² - 1 = 0

som ved grafisk løsning gir det samme som 0,5sqrt(2sqrt(5)+2). Men hvordan skal en 3MX-elev løse en slik fjerdegradslikning? Hadde det vært k⁴ - 2k² + 1 = 0, hadde det vært greit.

[GeO]

Du kan jo alltids løse den numerisk vha. Newtons metode, men når det faktisk går an å finne eksakt svar, så foretrekker vi jo selvsagt det. Læreren blir sikkert fornøyd i begge tilfellene.

[endrebjo]

Hvordan finner vi eksakt svar da? x² - 1 - 1/x² = 0? Jeg kjører meg bare fast.

[GeO]

x⁴ - x² - 1 = 0

u = x²

u² - u - 1 = 0

u = 0,5·sqrt[1+sqrt(5)] (ja, to løsninger, men denne er positiv og gir reell sluttløsning, slik vi vil ha)

x = [triksing og miksing] = 0,5·sqrt[2·sqrt(5)+2] (igjen to løsninger, men den negative er jo grei å utelukke)

 

Finner sikkert at dette er eneste løsning hvis man setter prøve på svaret og sånn.

 

Edit: Bra poeng fra Knut Erik med komplekse løsninger

Endret 16. april 2008 av TwinMOS

[K..]

Du slo meg på målstreken, Gerhard. Jaja, jeg kan om ikke annet bekrefte.

Såvidt jeg kan se har likningen 4 løsninger, 2 reelle og 2 komplekse.

Endret 16. april 2008 av Knut Erik

[GeO]

Du presenterte det litt penere, da!

[endrebjo]

Se der ja. Ikke så komplisert likevel.

Jeg har aldri blitt skikkelig vant til substitusjonen. Det er så sjeldent jeg får oppgaver som krever det. Det er så mye rett-frem-oppgaver på skolen for tiden.

[John-Abruzzi]

gjenstand 1 50 øre

gjenstand 2 3 kr

gjenstand 3 10 kr

 

Jeg skal tilsammen ha 100 gjenstander, og det skal koste akkuratt 100,-

 

simpel mathmathics men jeg liker å dobbelsjekke for å være sikker

[JeffK]

gjenstand 1 50 øre

gjenstand 2 3 kr

gjenstand 3 10 kr

 

Jeg skal tilsammen ha 100 gjenstander, og det skal koste akkuratt 100,-

 

simpel mathmathics men jeg liker å dobbelsjekke for å være sikker

Setter opp krava:

a + b + c = 100

a/2 + 3b + 10c = 100

Løser med c som fri variabel:

 

a = 80 + c*14/5

b = 20 - c*19/5

 

Siden a,b og c må være heltall, må c være et helt antall ganger 5.

c må være i intervallet 0 til 100, så c kan være 0, 5, 10, ... ,100.

Siden a må være under 100, sitter vi igjen med at c kan være 0 eller 5.

Siden b må være positiv, kan c toppen være 5.

 

Altså er det mulige løsningene:

 

a=94 b=1 c = 5

a=80 b=20 c=0

Endret 18. april 2008 av JeffK

[Simen1]

Jeg finner bare ett svar på oppgaven:

gjenstand 1 = 94 stk

gjenstand 2 = 1 stk

gjenstand 3 = 5 stk

 

94 + 1 + 5 = 100 stk

94 * 0,5 kr + 1 * 3 kr + 5 * 10 kr = 100 kr

 

Ups, aaalt for sent ute.

Endret 18. april 2008 av Simen1

[Gyr0]

Hvordan faktoriserer man x^2 + 2xy - 3y^2 ?

[K..]

Hvordan faktoriserer man x² + 2xy - 3y² ?

Du kan vel skrive det som (x + y)² - 4y²

 

(x + y)² = x² + 2xy + y²

 

x² + 2xy + y² - 4y² = x² + 2xy - 3y²

 

Vetikke om det hjalp noe sæærliig?

Endret 22. april 2008 av Knut Erik

[JeffK]

Hvordan faktoriserer man x^2 + 2xy - 3y^2 ?

Vil faktorisere til formen

(ax+by)(cx+dy)

ser at a og c må være non-zero, så vi forenkler til:

ac(x+by/a)(x+dy/c)

 

gir nye navn:

 

p(x+qy)(x+ry) = p(x^2 + (q+r)xy + qry^2)

 

Ser at p=1, så

 

q+r = 2

q*r = -3

 

 

q(2-q)=-3

q^2 -2q -3 = 0

.

.

.

q=3

r=-1

(eller omvendt)

 

dvs.:

 

x^2 + 2xy - 3y^2 = (x+3y)(x-y)

Endret 22. april 2008 av JeffK

[atrax]

Hvordan faktoriserer man x² + 2xy - 3y² ?

Du kan vel skrive det som (x + y)² - 4y²

Hva med:

(x + y)² - 4y²

(x + y)² - (2y)²

((x+y)+(2y))((x+y)-(2y))

((x+y+2y))((x+y-2y))

((x+3y))((x-y))

(x+3y)(x-y)

 

Voila, to faktorer.

[JeffK]

Hvordan faktoriserer man x² + 2xy - 3y² ?

Du kan vel skrive det som (x + y)² - 4y²

Hva med:

(x + y)² - 4y²

(x + y)² - (2y)²

((x+y)+(2y))((x+y)-(2y))

((x+y+2y))((x+y-2y))

((x+3y))((x-y))

(x+3y)(x-y)

 

Voila, to faktorer.

Hadde en fortegnsfeil i min. Har rettet det nå.

[miicard]

Hva er integralet til x*e^x

[K..]

Ikke dårlig!

 

Hva er integralet til x*e^x

Ganske greit integral å løse ved hjelp av delvis integrasjon. Sett x som v og e^x som u'.

 

Står du enda fast, brøl ut.

[miicard]

Så ikke for meg noen delvis integrasjon, tenkte dere bare skulle slenge det inn. Fant det ikke i formelsamlinga, men sikkert jeg som er blind.