Matte i media og forskning.

[Simen1]

Husker man riktig formel så går det kjappere å få gjort oppgavene. Tid kan være det største problemet på en del eksamener etter det jeg har erfart.

 

Hvis man husker formlene så går det også kjappere å tenke ut fremgangsmetoden. Hjernen "blar" ofte gjennom aktuelle formler etter en som kan brukes der man står fast.

[joda_321]

Noen som kan hjelpe med å skrive denne så enkelt som mulig? Hver eneste gang jeg prøver kommer jeg fram til det samme svaret som er 2(y^2 - x^2 - 2x - 1) som da selvsagt er feil.

 

Se svaret her.

Klikk for å se/fjerne innholdet nedenfor

2(1 - x^2 + y^2)

 

edit: leif

Endret 10. august 2007 av joda_321

[Simen1]

Jeg får bare det samme svaret som deg.

 

Redigert: Hvis oppgaven hadde vært formulert en smule annerledes så hadde svaret blitt som i fasiten. Dvs. hvis man bytter + med - inni en av parantesene under brøkstreken. Det virker som oppgaven er skrevet galt.

Endret 10. august 2007 av Simen1

[joda_321]

Jeg får bare det samme svaret som deg.

 

Redigert: Hvis oppgaven hadde vært formulert en smule annerledes så hadde svaret blitt som i fasiten. Dvs. hvis man bytter + med - inni en av parantesene under brøkstreken. Det virker som oppgaven er skrevet galt.

9250897[/snapback]

 

Ja, det var det jeg også ser. Så jeg får håpe fasit eller oppgave er feil.

[fireofawakening]

Hvilket nivå er den matten på, joda_321? Er det 3mx?

[Simen1]

Discouraging Students from Taking Math

[DrKarlsen]

Intet stort har kommet fra det kontinentet uansett.

[Simen1]

Vel, nå vet vi jo grunnen

 

Ellers så står det at det gjelder England også.

[Slurpeedelic]

jeg lurer på om noen kan gi meg et par eksempler på hvordan Matte er på VGS1? (jeg valgte Teoretisk matte)

 

 

takk

[endrebjo]

Bla gjennom temaene på venstre side på denne siden, så får du en grei oversikt.

[Slurpeedelic]

hmm, mange av disse temaene har jeg jo hatt opp igjennom 8,9 og 10. klasse... jaja, jeg kan det hvertfall da ^^

[endrebjo]

Førte halvår pleier å være plankekjøring fra ungdomsskolen. Og så begynner moroa.

[Cucumber]

Noen som tør gjette på funksjonen til denne grønne streken? Den prosjekterer hvordan en kule raskest mulig skal komme seg fra A til B. Jeg har prøvd funksjoner med noen enkle polynomer, e og lignende, men har ikke funnet den riktige.

 

edit: uhoops ja

Endret 12. august 2007 av Cucumber

[Simen1]

Den oppgaven har jeg sett før og hvis det ikke er noen ny variant så skal du ikke trenge å regne noe på formen til kurven. Det eneste du trenger å vite er høyden (delta Y) mellom punkt A og B. Du skal se bort i fra friksjon og luftmotstand så da er det kun høyden som spiller noen rolle.

 

I ett av de andre delspørsmålene trenger du ikke regne i det hele tatt. Der skal du bare intuitivt finne ut hvilken bane som får kula raskest fra A til B. Tenk hvordan hastigheten er ulike steder på kurvene.

[Cucumber]

Det stemmer at jeg har postet den før, da fra en litt annen vinkel. Uansett, så har google hvisket meg i øret at kurven er en "inverted cycloid".

[....]

Anbefalt lesning: How to Solve It av George Pólya.

Det var svært så positive "amazon-brukerne" var til den boken, da. Jeg pleier å stille meg skeptisk til slike bøker fordi metodene de skal lære ifra seg ofte er "obvious" eller ellerede ibruk, men jeg fikk likevel en viss tiltro til denne.

Boken kunne beskrives som en «selvhjelpsbok for matematikere», hvilket ville være å si at den ikke er noen selvhjelpsbok i det hele tatt, av grunner jeg vil komme inn på i det følgende.

 

Skal det ha noe for seg å anbefale bøker for forbedring av matematiske og analytiske evner, må det gjøres med utgangspunkt i en forståelse av evnenes grunnlag og utvikling, og en slik forståelse krever at vi ser nærmere på hvordan arvelige og miljømessige faktorer samspiller med hensyn på disse ferdighetene. IQ-tester og andre målinger av analytiske ferdigheter tyder sterkt på at de er jevnt spredt utover et naturlig, genetisk betinget kontinuum, men kulturelt er matematikk betraktet som noe man enten «forstår» eller «ikke forstår». Da jeg tok 1MX, 2MX og 3MX på videregående, ble klassen delt inn i to blokker som helt åpenlyst representerte disse to kategoriene. Andre erfaringer bekrefter dette skillet, som når man kommer inn på realfaglige (dvs. «nerdete») emner i samtale med fremmede mennesker. Dette resulterer typisk i en av to reaksjoner: Enten står man overfor en person som tar det på strak arm uten avbrudd i samtalen, eller, som er mer vanlig, så har man å gjøre med den typen som umiddelbart gjør det ettertrykkelig klart at han overhodet ikke har noen «peiling på matte», gjerne med en morsom historie om hvordan han falt av lasset da man begynte å «rote rundt med bokstaver» eller noe slikt. Vi har altså et sterkt avvik mellom hva vår vitenskapelige kunnskap om disse ferdighetene tilsier og vår kulturs syn på dem, og utfordringen er å forklare hva dette skyldes.

 

Siden det ikke er mulig å fortelle at man studerer realfag på en fest uten å bli betraktet som en «sånn smart person», vil jeg gjerne ta utgangspunkt i et sitat av Mark Kac om geniet Richard Feynman: «There are two kinds of geniuses: the 'ordinary' and the 'magicians'. An ordinary genius is a fellow whom you and I would be just as good as, if we were only many times better. There is no mystery as to how his mind works. Once we understand what they've done, we feel certain that we, too, could have done it. It is different with the magicians. Even after we understand what they have done it is completely dark.» Kac beskriver her to former for intelligens, som jeg vil kalle henholdsvis kvantitativ og kvalitativ. Den kvantitativt geniale er en person som vi lett kan empatisere med (vi bare forestiller oss våre egne tanker mange, mange ganger raskere) og hvis tanker vi typisk kan forstå hvis vi bare har tilstrekkelig med tid og går inn for det. Den kvalitativt geniale, som Feynman, er derimot en person med en bevissthet så forskjellig fra vår egen at vi vanskelig kan empatisere med ham, og vår mulighet til å forstå hans tanker beror på om vi «har» eller «ikke har» noe som denne forståelsen krever. Disse begrepenes anvendelse på matematisk intelligens er opplagt: Vitenskapen tilsier at de evnene som kreves for å løse matteoppgavene som gis i grunnskolen, i det hele og store er kvantitative, mens vår kultur ser på matematisk intelligens som noe kvalitativt, omtrent som absolutt gehør. Hva skyldes dette skillet, og hva kan vi gjøre med det?

 

En umiddelbar respons ville kanskje være å se på den kvantitative anskuelsen som «riktig» og den kvalitative som «gal», hvilket betyr at det bare er et spørsmål om å informere folk om hvordan tingene «egentlig» henger sammen ved å vifte med vitenskapelige undersøkelser oppi ansiktene deres mange nok ganger. Jeg tror imidlertid at dette er et villspor. Matematiske ferdigheter må som alt annet oppøves, og den endelige kompetansen er et resultat både av genetiske forutsetninger og av denne oppøvningsprosessen, som er hva skolen skal ta seg av. Min teori er dermed at mens folk stiller med ulike genetiske forutsetninger spredt utover et kontinuum av muligheter, så blir de «matematikere» eller «ikke-matematikere» gjennom en prosess i skoleverket som «konvergerer» i den ene eller andre retningen. Hva viktigst er: Skillet skapes ikke først og fremst av matematikkfagenes beryktede «abstrakte» natur, men i stedet av mer generelle sider ved løsing av alle slags problemer, også matematiske.

 

Hvis det ikke primært er det abstrakte som gjør matematikkfagene utilgjengelige for så mange, hva er det da som skiller disse fagene fra andre, mindre forhatte fag? Tenk på et typisk (populært) lese- og puggefag som historie. Du leser og memorerer stoffet, gjør notater i timene, blir hørt av familie eller venner før prøvene, og sikrer deg en god karakter ved å feste så mye som mulig av det du husker til papiret. Enkelt og greit: Har du en god studieteknikk og jobber jevnt og trutt, har du ikke noe å frykte, for faget byr på få overraskelser. Dermed er det en grei sak å planlegge arbeidsmengden: Ut fra hvor godt du kjenner deg selv, kan du anslå hvor mye tid du vil bruke på å lese, pugge, notere og forberede deg, og du kan gjøre det samme med lignende fag og komme frem til en fornuftig arbeidsdeling dem imellom. Stoffet er kanskje ikke alltid like spennende, og alle datoene og navnene ikke alltid like lette å memorere, men i det minste kan du ha en rimelig god oversikt over hvor du er til enhver tid.

 

Hva byr matematikkfagene på? Problemer. Ikke store mengder stoff som skal leses, pugges og understrekes, men problemer, problemer og atter problemer. Fagene handler ikke om å huske alt som står i lærebøkene på rams, men om å opparbeide evnen til å løse den typen problemer dette stoffet åpner for. Og her er det at matematikkfagene divergerer sterkt fra alle de øvrige fagene, akkurat slik de få menneskene som liker dem, divergerer fra alle de øvrige som «ikke forstår matte». Lese- og puggefagene er pga. sin mangel på overraskelser, grunnleggende forutsigbare; arbeidsmengden kan anslås og planlegges. Et fag der fokuset er på problemløsing, derimot, er grunnleggende uforutsigbart: I matematiske fag er antall steg løsningen består av, samt tiden man bruker på å finne frem til en fungerende løsningsstrategi, umulig å anslå for mange av oppgavene. Å stå overfor et matematisk problem man ikke har noen umiddelbar løsning på, er å stå overfor det ukjente: Det eneste man har å gå på, er erfaringen med å ha klart å løse vanskelige problemer tidligere. Mennesker som erklærer seg som å «ikke forstå matematikk», forestiller seg gjerne at «matematikere» har evnen til å umiddelbart «se» noe de selv ikke har evnen til å se. Men det er feil: Det som kjennetegner «matematikerne», er først og fremst viljen til å arbeide lengre med et problem enn hva en «ikke-matematiker» vil se på som «rimelig»; «matematikeren» er den som jobber og jobber med problemet og ikke gir opp. Han vet at det er umulig å anslå når han vil finne løsningen på et krevende problem; det eneste han «vet», dvs. tror på, er at han kan finne den.

 

Jeg vil gjøre en liten avstikker her og skrive litt om dataspill, av alle ting. Vi har alle spilt den typen der fremgangen kan anslås direkte på grunnlag av innsatsen: Du slåss mot bossen igjen og igjen og igjen, inntil du er fingerferdig nok til å overvinne ham. Mange dataspill i «edutainment»-kategorien, der det er meningen at man skal lære en masse nyttig stoff mens man spiller, er av dette forutsigbare slaget. Men de dataspillene som jeg forbinder med min personlige utvikling og læring, er av et helt annet slag: pek-og-klikk-spillene til LucasArts, som Indiana Jones and the Fate of Atlantis, The Secret of Monkey Island og Monkey Island 2: LeChuck's Revenge, hvor man kunne stå fast i mange dager, endog uker, uten å øyne noen vei videre. Å spille disse spillene var å finne opp og teste en haug med hypoteser om problemenes egenart («Hva gjør egentlig denne maskinen?») og om løsninger på disse problemene («Vil dette aktivere maskinens antatte funksjon?»), utlede disse hypotesenes logiske konsekvenser og anvende kreativiteten til å finne opp nye når resultatene uteble, i et vekselspill mellom antagelser og fakta, mellom teori og observasjon, som minner veldig om den hypotetisk-deduktive vitenskapelige metoden. Det er det samme man gjør når man prøver å fikse datamaskinen til en kompis som har så liten forståelse av løsningsprosessen at han til stadighet stiller meningsløse spørsmål som «Hvor langt har du kommet nå?» (og det er sikkert derfor datamaskinen er i så dårlig stand i første omgang), og det er den samme teknikken som ligger til grunn for løsingen av matematiske problemer. Evnen til å tenke abstrakt og slikt har selvfølgelig mye å si, den også, men det primære er etter mitt syn utholdenheten, troen på at det nytter selv om noen umiddelbar løsning ikke er i syne, den indre motivasjonen og viljen til å forholde seg til det uvisste. Dette er noe som blir til gjennom mange år.

 

Dermed kan vi se hvordan små forskjeller i utgangspunkt kan gi opphav til markante forskjeller senere. All erfaring bygger på tidligere erfaring, og det som får mennesker til å «konvergere» i retning av gruppen av «matematikere» eller «ikke-matematikere», er disse små forskjellene i kombinasjon med rene tilfeldigheter, som baller på seg idet den tidligere erfaringen innvirker på den nåværende problemløsingen og den erfaringen som den gir opphav til, inntil man grovt sett står igjen med to grupper mennesker: «matematikeren» er den som har en masse god erfaring med å løse problemer, som gjør videre problemløsing mulig, mens «ikke-matematikeren» stort sett ikke har denne erfaringen i det hele tatt. Utenfor disse to hovedkategoriene har vi en rekke mindre sårbare grupper, slik som de med for høy IQ for det nivået som skolen legger seg på, for hvem alt stoffet faller lekende lett og dermed aldri utvikler skikkelige arbeidsrutiner, noe som medfører at de dropper ut av universitetene som utgjør krumtappen i den kunnskapsnasjonen som vi liksom prøver å få Norge til å bli. Dette illustrerer bare mitt grunnleggende poeng, nemlig at tillærte ferdigheter har veldig mye å si for ikke bare matematisk problemløsing, men problemløsing av alle slag. Og siden det er problemløsing man står overfor i det virkelige liv, i den virkeligheten som venter utenfor skolens fire vegger og ikke er forutsigbar, ryddig og trygg, men uforutsigbar, kaotisk og risikofylt, handler dette til syvende og sist om mer enn bare matematikk. Det handler om å utstyre våre oppvoksende borgere med grunnleggende ferdigheter de trenger for å navigere og ta beslutninger i en stadig mer intelligenskrevende verden.

 

Vil Pólyas bok gjøre problemløsere ut av mennesker med liten erfaring med denne aktiviteten? Dessverre, nei. Den er siktet inn på dem som allerede har en masse god erfaring med og tiltro til egne evner på dette området, på de «realfaglige» som trykker boken til sitt bryst, mens det siste de som faller utenfor denne kategorien, kan tenkes å få noe ut av, er enda en bok som ikke skammer seg over å bruke matematiske symboler for å analysere problemer. Det denne gruppen mennesker trenger, er selvtillit, som den tradisjonelle selvhjelpslitteraturen jo er ment å hjelpe til med å bygge opp, men vi vet alle at dét et tvilsomt marked. Imidlertid er det skrevet mange inspirerende bøker som belyser likheten mellom realfaglig problemløsing og kunst, slik som Emblems of Mind: The Inner Life of Music and Mathematics av Edward Rothstein eller den monumentale klassikeren Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid av Douglas R. Hofstadter, og dét kan kanskje være en fruktbar ende å begynne i. Enda viktigere er det å få gjennomført betydelige endringer i det gjeldende skoleverket, men for nå har jeg skrevet mer enn nok ...

Endret 8. februar 2012 av ....

[endrebjo]

Jeg trodde vi var matematikere og ikke lingvister.

 

Men at det hadde vært nyttig med en endring i skoleverket er helt riktig. Vi sitter stort sett med ferdige formler i ene hånden, og fyller inn i formlene med den andre hånden. Hodet sitter og sløver midt mellom armene. Det eneste man trenger er å bruke de riktige formlene på de riktige stedene. Oppgavene er laget slik. Og hvis de ikke er laget slik på prøver blir det klaging og syting med én gang. Ting skal på død og liv være gjennomgått til den minste detalj før vi skal kunne få det på en prøve.

Det går ikke én time uten at spørsmålet "Hvilken formel skal jeg bruke her?" kommer opp. Og ytterst sjeldent mindre enn fem ganger. Jeg har også sett regler som "Hvis grafen går oppover er x positiv. Hvis grafen går nedover er x negativ" i formelheftene til medelever på 2MX. Og det aller morsomste er de som fyller ut side opp og side ned med nødvendige tastetrykk på kalkulatoren.

[inaktiv000]

Det går ikke én time uten at spørsmålet "Hvilken formel skal jeg bruke her?" kommer opp. Og ytterst sjeldent mindre enn fem ganger. Jeg har også sett regler som "Hvis grafen går oppover er x positiv. Hvis grafen går nedover er x negativ" i formelheftene til medelever på 2MX. Og det aller morsomste er de som fyller ut side opp og side ned med nødvendige tastetrykk på kalkulatoren.

9278685[/snapback]

 

Ingeniører altså.

[fireofawakening]

Jeg har selv ingen erfaring med å "lete etter formler" i matten, foruten de integralene eller annet smårusk man ikke husker i hodet, men føler mer at dette gjelder fysikken, hvor det å være god til å gjenkjenne og snu formler, er egenskap krevd nr.1. Ellers var det et interresant innlegg av rezonatix, men jeg stusser på en ting, spesielt. Er det reelt at mennesker med høy IQ tenderer å droppe utav universitetet fordi de ble behandlet feil i tidlig undervisning, slik at de ikke fikk utviklet tilstrekkelig studieteknikk? Det høres rett og slett feil ut. Ikke fordi jeg tviler på at disse ikke har fått utviklet sitt potensiale til det fulle, men fordi jeg selv aldri har opplevd hvorfor dette skal være av såpass stor betydning.

 

Edit: Og for de idioter som tror at det finnes et noe som helst element av selvopphøyelse i min tekst, noe som lett kan forekomme når temaet er hva det er, kan jeg bare si at jeg min syntaks er av såpass konsekvent valgt karakter at jeg ikke skulle kunne falle i en slik, nedverdigende, felle.

Endret 14. august 2007 av vinterriket

[....]

Jeg trodde vi var matematikere og ikke lingvister.

 

Men at det hadde vært nyttig med en endring i skoleverket er helt riktig. Vi sitter stort sett med ferdige formler i ene hånden, og fyller inn i formlene med den andre hånden. Hodet sitter og sløver midt mellom armene. Det eneste man trenger er å bruke de riktige formlene på de riktige stedene. Oppgavene er laget slik. Og hvis de ikke er laget slik på prøver blir det klaging og syting med én gang. Ting skal på død og liv være gjennomgått til den minste detalj før vi skal kunne få det på en prøve.

Det dette forteller meg, er at det er noe galt med prøvene, ikke studentene. Jeg har argumentert langt og omstendelig for at matematisk problemløsning er en grunnleggende uforutsigbar prosess, ikke en «svart boks» som bare mottar oppgavedataene langsmed samlebåndet og produserer et korrekt svar fem minutter senere. Når man så gjør noe så helsikes idiotisk som å forholde seg til matematikk som bare enda et fag som kan skvises inn i timeplanen sammen med de forutsigbare fagene, med prøver på en eller to timer basert på den samme hjernedøde effektivitetstanken om «riktig svar innen en bestemt tid», er det derfor en naturlig forventning at oppgavene som gis, vil være greie og forutsigbare og ikke vil by på noen overraskelser og ikke vil ha noe som helst med virkelig problemløsing i det virkelige liv å gjøre. Når man ikke gir elevene muligheten til å virkelig sette seg inn i et dypt problem og bruke sine bevisste så vel som ubevisste evner på å analysere det, men behandler dem som menneskelige datamaskiner ved å optimere for evnen til å løse så mange små og uvesentlige «formel-oppgaver» så raskt som mulig, er elevenes «klaging og syting med én gang» på oppgaver som ikke svarer til forventningene deres - akkurat som en kompilator som stopper opp og spytter ut en feilmelding straks den kommer over programkode den ikke skjønner - bare den ultimate responsen på hva man har behandlet dem som.

 

Den riktige måten å teste evnen til matematisk problemløsning på (det er ikke den dagens prøver tester), er å utforme den en- eller totimers prøven på grunnlag av en case som deles ut til elevene god tid i forveien (gjerne en halv måned eller så). Denne casen kan da inneholde problemstillinger av det mer dype og «ekte» slaget, som eleven vil måtte bruke betraktelig med tid og innsats på å sette seg inn i, mens den en- eller totimers prøven utelukkende byr på «formel-oppgaver» som er lette å løse gitt at man har jobbet skikkelig med casen. På denne måten tester man både evnen til å manipulere matematiske symboler på autopilot og evnen til å sette seg ned og tenke om dype problemstillinger, begge deler i et fruktbart samspill, til forskjell fra dagens «formel-oppgaver» som har så lite med den virkelige verden å gjøre at det sannelig ikke er lett å forklare for en utenforstående hva matematikkfaget egentlig er «godt for».

 

Ellers var det et interresant innlegg av rezonatix, men jeg stusser på en ting, spesielt. Er det reelt at mennesker med høy IQ tenderer å droppe utav universitetet fordi de ble behandlet feil i tidlig undervisning, slik at de ikke fikk utviklet tilstrekkelig studieteknikk? Det høres rett og slett feil ut. Ikke fordi jeg tviler på at disse ikke har fått utviklet sitt potensiale til det fulle, men fordi jeg selv aldri har opplevd hvorfor dette skal være av såpass stor betydning.

Problemet er både velkjent og ukjent, avhengig av hvilken del av befolkningen du spør. Jeg har dessverre ikke noen kilder for hånden nå, men mener at det var i studentavisen Under Dusken at jeg sist leste om det. Du kan nok finne mer informasjon ved å søke opp nettsidene til interesseorganisasjoner for foreldre av «gifted children».

Endret 8. februar 2012 av ....