Matte 105, leksehjelp

[Oscar Brasø]

 

Du skal produsere saft som du skal selge til naboene. Begge typene du lager er lagd av eple og bringebær, men de to har ulikt innhold av hver. Den saften du kaller bringebærsaft er laget med 1 kg bringebær per liter og 500 g epler. Eplesaften er laget med 1.5 kg epler per liter og 200 g bringebær. Totalt har du 10 kg bringebær tilgjengelig og 30 kg epler. For bringebærsaften får du 45 kr literen mens for eplesaften får du 20 kr per liter. Hvor mange liter bør du lage av hver av de to typene saft for å tjene mest mulig?

 

Har litt problemer med denne, da jeg ikke har gjort slike oppgaver på år og dag. 

Jeg skjønner jo at du kan legge inn epler som x foreksempel, og bringebær som y, men vet ikke hvordan jeg skal gå videre?

[Leiferen]

Her antar jeg du har noe litteratur med lignende oppgaver, som viser mulige metoder. Jeg husker heller ikke noe av dette, men man kan selvsagt forsøke å løse ved hjelp av en intuitiv metode. 

For eksempel kan man sette opp en ligning som viser hvor mange liter bringebærsaft man kan lage, dersom man samtidig skal bruke opp både alle bringebærene og alle eplene. Det blir slik: 

0,5x+1,5(10-x)/0,2=30

0,5 i første ledd er så mange kg epler man bruker for å lage x liter bringebærsaft, hvor x også er lik antall kg bringebær man bruker til bringebærsaften. Andre ledd viser hvor mange kg epler som brukes til eplesaften. 10-x er antall kg bringebær til rådighet, og man må gange med 1,5 siden hver liter eplesaft krever 1,5 kg epler, og dele med 0,2 siden hver liter eplesaft krever kun 0,2 kg bringebær. Til sammen skal dette bli 30. 

Løser vi denne enkle ligningen for x får vi at x=6+3/7 liter bringebærsaft. Da gjenstår det 3+4/7 kg bringebær til eplesaften, og deles dette med 0,2 får man 17+6/7 liter eplesaft. Man har da brukt 10 kg bringebær og man ser også at man har brukt 30 kg epler, nemlig 0,5(6+3/7)+ 1,5(17+6/7) = 3,2143+ 26,7857=30

Det man tjener på dette blir da 6,42857x45 + 17,85714x20 = 289,2857 + 357,1428 = 646,43 kr, som er det man tjener om man bruker alt av begge deler. Dette er nok det maksimale, etter som inntjeningen går ned om man marginalt endrer opp eller ned på et av produktene, noe som vil medføre at man får en rest av en av ingrediensene.

Men er kravet at man kun kan bruke hele liter, noe oppgaven ikke sier noe om slik du gjengir den, så kan man enkelt prøve seg fram:

6 liter bringebærsaft gir 18 liter eplesaft (27/1,5 fordi det gjenstår 27 kg epler), som gir 6*45+18*20=270+360=630 kr. Man bruker her 6+18/5=9,6 kg bringebær, og alle 30 kg med epler. Dette gir nok den maksimale inntjeningen med hele liter.

For prøver man med 5 liter bringebærsaft ser man at man ikke kan ha mer enn 18 liter eplesaft likevel, for f.eks 19 liter eplesaft vil ført til at man bruker 2,5+19*1,5=31 kg epler, som er mer enn man har, og da tjener man 45 kr mindre (585 kr) siden man har like mye eplesaft og en liter mindre bringebærsaft som i eksempelet i forrige avsnitt.

Prøver man med 7 liter bringebærsaft i stedet, så har man kun mulighet til å lage 15 liter eplesaft, fordi det kun gjenstår 3 kg bringebær (3/0,2=15), og dette gir 7*45+15*20=615 kr.

Men jeg antar det finnes langt enkelte metoder enn dette. Umiddelbart tenkte jeg en funksjon med en variabel som viser total inntekt, hvor man deriverer og setter lik 0 for å finne toppunkt, men klarte ikke å sette opp noe i farten, med de tilleggskriteriene som er gitt.

Endret 16. september 2020 av Leiferen