R2 Integraloppgave.

[holmestrandguten]

Hei!

 

Oppgave: Løs Integralet:
Integral( (x²+x-1) / (x²-x) )

 

Dersom man kun løser denne oppgaven vha. delbrøksoppspalting vil man miste en av løsningene.

Jeg fikk: ln|x| + ln|x-1| + C

 

Dersom man utfører polynomdivisjon først, for deretter å bruke delbrøksoppspalting vil man få det riktige svaret: x + ln|x| + ln|x-1| + C

 

 

Jeg lurer på om noen luringer her har en forklaring på hvorfor det er slik at denne feilen oppstår, og hvordan man kan oppdage at man er nødt til å utføre en polynomdivisjon først.

Tusen takk for svar på forhånd.

[Gluestick]

Problemet er vel at man ikke kan føre delbrøkoppslatning siden telleren er samme grad som nevneren (begge har x^2 og x. Dersom man skal bruke delbrøkspaltning må telleren ha lavere grad enn neveren. 

Dvs: sjekk alltid graden av den respektive telleren og nevneren

 

 

Dessuten er det lurt å sjekke om delbrøkoppspaltningen i det hele tatt gir mening

 

x^2+x-1/(x^2-x) er ikke lik A/x+B/(x-1)=1/x+1/(x-1)

Endret 15. juni 2017 av Gluestick

[knopflerbruce]

Kan også gjøres via varabelskifte:

 

(x^2+x-1)/(x^2-x)=(x^2-x)/(x^2-x)+(2x-1)/(x^2-x)=1+(2x-1)/(x^2-x)

int(1+(2x-1)/(x^2-x))dx=x+int 1/u du=x+ln|x^2-x|+C, med u=x^2-x og u'=2x-1

 

Gjør du delbrøksoppspaltningen riktig får du også et ledd 1, men av en eller annen grunn hopper man glatt over dette i lærebøker i R2. Jeg tipper, uten å ha satt meg dypt inn i dette, at det konstantleddet dukker opp nettopp fordi de to polynomene er av samme grad.

[Octorco]

Er også mulig via delbrøksoppspaltning uten å sette inn et førsteordens ledd i teller, men da må først gjøre et triks for å en lavere grad i teller enn nevner. Trikset er og ta pluss/minus det samme slik at det netto blir null, og dermed ikke påvirker verdien til brøken. Legger til og trekker fra 2x for å kunne forkorte deler av brøken. Man kan så utføre delbrøksoppspaltning på vanlig måte med den resterende brøken.