R2 Matematikk - Induksjon med delelighet

[holmestrandguten]

Hei!

 

Til dere som kan en del om R2, vet dere om det ligger i pensum å kunne induksjon med delelighet? Det er ikke nevnt i pensumboka sinus R2, og har ikke kommet på tidligere eksamener. Likevel har cappelendamm det som oppsummeringsspørsmål på siden sin, så jeg er litt usikker!

 

Jeg snakker om stykker som dette:

"Vis at n³-n  er delelig med 6 når n er et naturlig tall større enn 1"

 

Tror dere at dette kommer på eksamen?

 

Takk for svar!

[Gluestick]

Ja, induksjon er ikke kun begrenset av aritmetiske og geometriske rekker. 

 

Denne oppgaven kan godt komme.

 

Hvis det kun står  "Vis at n³-n  er delelig med 6 når n er et naturlig tall større enn 1", så ville jeg heller tatt en algebraisk vurdering

 

n^3-n=(n-1)(n+1)n --> tre påfølgende heltall, partall oddetall -> osv..

 

 

ved induksjon

 

viser for n=1

1^3-1=0, som er delelig med 6 

 

antar at det stemmer for n=t, slik at 

t^3-t=6*k, hvor k er et naturlig tall 

 

skal vise at det stemmer for n=t+1 

 

slik at 

(t+1)^3-(t+1) er delelig med 6 

 

bevis:

 

(t+1)^3-(t+1)=t^3+3t^2+2t 

 

bruk at 2t = -t+3t 

t^3+3t^2+2t=t^3+3t^2-t+3t

t^3-t+3t^2+3t , her bruker vi antagelsen (som vi for øvrig alltid bruker)  t^3-t =6*k

6*k-+3t^2+2t

6(k+0.5t^2+1/3t)

 

som er delelig med 6, Q.E.D

[holmestrandguten]

Ja, induksjon er ikke kun begrenset av aritmetiske og geometriske rekker. 

 

Denne oppgaven kan godt komme.

 

Hvis det kun står  "Vis at n³-n  er delelig med 6 når n er et naturlig tall større enn 1", så ville jeg heller tatt en algebraisk vurdering

 

n^3-n=(n-1)(n+1)n --> tre påfølgende heltall, partall oddetall -> osv..

 

 

ved induksjon

 

viser for n=1

1^3-1=0, som er delelig med 6 

 

antar at det stemmer for n=t, slik at 

t^3-t=6*k, hvor k er et naturlig tall 

 

skal vise at det stemmer for n=t+1 

 

slik at 

(t+1)^3-(t+1) er delelig med 6 

 

bevis:

 

(t+1)^3-(t+1)=t^3+3t^2+2t 

 

bruk at 2t = -t+3t 

t^3+3t^2+2t=t^3+3t^2-t+3t

t^3-t+3t^2+3t , her bruker vi antagelsen (som vi for øvrig alltid bruker)  t^3-t =6*k

6*k-+3t^2+2t

6(k+0.5t^2+1/3t)

 

som er delelig med 6, Q.E.D

Men vil det som er igjen i sluttparentesen være et heltall? Og hvis, hvorfor?

 

6(k+0.5t^2+1/3t)

[Gluestick]

Litt fort i svingene her:

 

 

Påstand: n^3-n er delelig med 6 

 

trinn 1: test for n=1

 

1^3-1=0, som er delelig med 6 

 

trinn 2: antar at det stemmer for n=t

 

t^3-t=6*k , hvor k er et naturlig tall 

 

skal vise at det stemmer for n=t+1

 

skal altså vise at  (t+1)^3-(t+1)=6*k

 

bevis

 

(t+1)^3-(t+1)=t^3+3t^2+3t+1-t-1=t^3+3t^2+2t  

 

en fiffig omskrivning: 2t= 3t-t 

 

t^3+3t^2+2t=t^3+3t^2+(3t-t) = t^3-t+3t^2+3t 

 

her bruker vi antagelsen t^3-t= 6k 

 

6k+3t^2+3t =6k + 3*t(*t+1) 

 

som åpenbart er delelig med 6,  (kan argumentere med påfølgende heltall og multiplum av 3 og 2 

[knopflerbruce]

Legger ved min løsning. Den ligner nok endel, men skitt au.

Det er egentlig ikke noen stor forskjell her, induksjon er induksjon

induksjon.pdf

Endret 19. mai 2017 av knopflerbruce