Gå til innhold
Trenger du skole- eller leksehjelp? Still spørsmål her ×
🎄🎅❄️God Jul og Godt Nyttår fra alle oss i Diskusjon.no ×

R2 Matematikk - Induksjon med delelighet


Anbefalte innlegg

Hei!

 

Til dere som kan en del om R2, vet dere om det ligger i pensum å kunne induksjon med delelighet? Det er ikke nevnt i pensumboka sinus R2, og har ikke kommet på tidligere eksamener. Likevel har cappelendamm det som oppsummeringsspørsmål på siden sin, så jeg er litt usikker!

 

Jeg snakker om stykker som dette:

"Vis at n3-n  er delelig med 6 når n er et naturlig tall større enn 1"

 

Tror dere at dette kommer på eksamen?

 

Takk for svar!

Lenke til kommentar
Videoannonse
Annonse

Ja, induksjon er ikke kun begrenset av aritmetiske og geometriske rekker. 

 

Denne oppgaven kan godt komme.

 

Hvis det kun står  "Vis at n3-n  er delelig med 6 når n er et naturlig tall større enn 1", så ville jeg heller tatt en algebraisk vurdering

 

n^3-n=(n-1)(n+1)n --> tre påfølgende heltall, partall oddetall -> osv..

 

 

ved induksjon

 

viser for n=1

1^3-1=0, som er delelig med 6 

 

antar at det stemmer for n=t, slik at 

t^3-t=6*k, hvor k er et naturlig tall 

 

skal vise at det stemmer for n=t+1 

 

slik at 

(t+1)^3-(t+1) er delelig med 6 

 

bevis:

 

(t+1)^3-(t+1)=t^3+3t^2+2t 

 

bruk at 2t = -t+3t 

t^3+3t^2+2t=t^3+3t^2-t+3t

t^3-t+3t^2+3t , her bruker vi antagelsen (som vi for øvrig alltid bruker)  t^3-t =6*k

6*k-+3t^2+2t

6(k+0.5t^2+1/3t)

 

som er delelig med 6, Q.E.D

  • Liker 1
Lenke til kommentar

Ja, induksjon er ikke kun begrenset av aritmetiske og geometriske rekker. 

 

Denne oppgaven kan godt komme.

 

Hvis det kun står  "Vis at n3-n  er delelig med 6 når n er et naturlig tall større enn 1", så ville jeg heller tatt en algebraisk vurdering

 

n^3-n=(n-1)(n+1)n --> tre påfølgende heltall, partall oddetall -> osv..

 

 

ved induksjon

 

viser for n=1

1^3-1=0, som er delelig med 6 

 

antar at det stemmer for n=t, slik at 

t^3-t=6*k, hvor k er et naturlig tall 

 

skal vise at det stemmer for n=t+1 

 

slik at 

(t+1)^3-(t+1) er delelig med 6 

 

bevis:

 

(t+1)^3-(t+1)=t^3+3t^2+2t 

 

bruk at 2t = -t+3t 

t^3+3t^2+2t=t^3+3t^2-t+3t

t^3-t+3t^2+3t , her bruker vi antagelsen (som vi for øvrig alltid bruker)  t^3-t =6*k

6*k-+3t^2+2t

6(k+0.5t^2+1/3t)

 

som er delelig med 6, Q.E.D

Men vil det som er igjen i sluttparentesen være et heltall? Og hvis, hvorfor?

 

6(k+0.5t^2+1/3t)

Lenke til kommentar

Litt fort i svingene her:

 

 

Påstand: n^3-n er delelig med 6 

 

trinn 1: test for n=1

 

1^3-1=0, som er delelig med 6 

 

trinn 2: antar at det stemmer for n=t

 

t^3-t=6*k , hvor k er et naturlig tall 

 

skal vise at det stemmer for n=t+1

 

skal altså vise at  (t+1)^3-(t+1)=6*k

 

bevis

 

(t+1)^3-(t+1)=t^3+3t^2+3t+1-t-1=t^3+3t^2+2t  

 

en fiffig omskrivning: 2t= 3t-t 

 

t^3+3t^2+2t=t^3+3t^2+(3t-t)t^3-t+3t^2+3t 

 

her bruker vi antagelsen t^3-t= 6k 

 

6k+3t^2+3t =6k + 3*t(*t+1) 

 

som åpenbart er delelig med 6,  (kan argumentere med påfølgende heltall og multiplum av 3 og 2 

Lenke til kommentar

Opprett en konto eller logg inn for å kommentere

Du må være et medlem for å kunne skrive en kommentar

Opprett konto

Det er enkelt å melde seg inn for å starte en ny konto!

Start en konto

Logg inn

Har du allerede en konto? Logg inn her.

Logg inn nå
×
×
  • Opprett ny...