[Løst] Hjelp til oppgave om uendelig rekke (R2)

[Daniel4323]

Hei.

Trenger hjelp med denne oppgaven:

Ta for deg rekka cos x + cos² x + cos³ x + ...

 

a) For hvilke verdier av x konvergerer rekka?
 

b) Bestem x slik at summen til rekka blir 1.

 

 

Jeg har fasiten, men trenger hjelp til å komme fram til disse svarene.

 

 

Fasit:

 

a) x ∈ R\{kπ}, der k er et heltall.

 

b) x = π/3 + k⋅2π ∨ x = 5π/3 + k⋅2π, der k er et heltall.

 

 

Håper noen kan hjelpe

[Potetfar]

Jeg har et forslag (blir desverre mye tekst, vet ikke hvordan man får inn notasjon på forumet):

 

a) Vi vet at summen fra t=0 til ∞ av r^t = 1/(1-r) dersom |r|<1 .

Dette er interessant fordi i rekken du nevner er cos(x) bare en konstant som kan være mellom 1 og -1, opphøyd i en variabel t. 

Hvis vi sier at cos(x)=r (og det kan vi, for cos(x) er bare en konstant) har vi nettopp tilfellet over. Vi ser da at for alle cos(x) mellom -1 og 1 (men ikke inkludert -1 og 1!) konvergerer rekken. Vi kan tilogmed regne ut hva den konvergerer mot, selv om det ikke er en del av oppgaven. 

 

Grensetilfellene (cos(x)=1 og cos(x)=-1) er det ofte verdt å se på for seg når man holder på med uendelige rekker. Vi ser at for cos(x)=1 er rekken åpenbart divergent (1+1+1+1+1+1+......) og at for cos(x)=-1 blir rekken alternerende mellom -1 og 0 (-1+1-1+1....) og altså ikke konvergent. 

 

cos(x)=1 for alle partall*π (0, 2π, 4π, ...) og -1 for alle oddetall*π (-1, 1, 3...), slik at rekken konvergerer for alle x unntatt et heltall k*π (som løsningen sier). 

 

b) Vi bruker samme ligning som over. 

Sum fra t=0 til ∞ av r^t=1/(1-r) 

Om vi setter r=1/2 vår vi sum(...) r^t=2. 

Siden r=cos(x), må vi finne ut hvilke verdier for x som gir cos(x)=1/2. Du ser sikkert at det er tilfellet når x=π/3 + 2kπ eller x=5π/3 + 2kπ der k er et heltallm slik som løsningen sier. 

 

Håper det hjalp.

[Daniel4323]

Takker for svar, men forstod ikke mye av det, dessverre    

Det eneste jeg har erfaring med på dette temaet er fremgangsmåten som er pensum i R2 (Vg3), så jeg forstod ikke så mye av den fremgangsmåten du brukte over her.

 

Fremgangsmåten jeg har lært, er å bruke -1 < k < 1 (k må være mellom -1 og 1 for at rekka konvergerer), k ∈ <-1,1>

Her er k = cos x, dermed kan vi sette det inn for k og omregne til x. Da får jeg 0 < x < 0, altså x kan være alle hele tall unntatt 0 (er dette feil?). Dette er vel det R i fasiten står for, men jeg forstår ikke hvor resten av svaret kommer fra.

 

I b) har jeg en formel som er en del av pensum, sum av uendelig geometrisk rekke: (formel) . Her er både a₁ og k lik cos x, og s skal være 1. Dette gir cosx/(1-cosx)=1, og ut ifra dette skal jeg finne x, men lengre enn det kommer jeg ikke.

Jeg har lært å bruke enhetssirkelen for å finne flere løsninger av sin-, cos- og tan-verdier.

Endret 21. november 2015 av Daniel4323

[Potetfar]

Fremgangsmåten du nevner er helt riktig. Du er inne på noe når du får 0 < x < 0 (*), men husk at cos(x) er en periodisk funksjon som varierer mellom -1 og 1 (og alle tall mellom) med periode 2π. cos(0)=1, cos(π)=-1, cos(2π)=1, cos(3π)=-1, osv. Derfor divergerer (altså - konvergerer _ikke_) rekken hvis x=0 eller x=π eller x=2π, osv. For alle andre x (enn 0, π, 2π, ...) konvergerer rekken. 

 

* Det er ikke egentlig riktig å si 0 < x < 0, det er umulig (x kan ikke være både større enn og mindre enn 0 på samme tid). Man kan si 0 ≤ x ≤ 0 (x er større enn eller lik 0 og mindre enn eller lik 0). Dette er egentlig det samme som å si x=0, som helt riktig er én av verdiene for x som gjør at rekken divergerer. Dersom dette avsnittet forvirret deg, ikke tenk på det. 

 

En ting til i denne omgang: 

 

 

 

Da får jeg 0 < x < 0, altså x kan være alle hele tall unntatt 0 (er dette feil?)

Riktig tenkt her ville vært at x kan være alle reelle tall unntatt 0. x kan altså være 0,1 eller 1/2 eller e eller hva som helst, ikke bare heltall (heltallene er jo bare 1, 2, 3 osv). Som det viser seg (fordi cos(x) er periodisk), kan x helt riktig ikke være 0, men heller ikke π eller 2π eller 3π eller et hvilket som helst heltall (!) ganget med π. Dersom x er et heltall ganget med π, har vi enten cos(x)=1 eller cos(x)=-1.

 

Når fasiten sier at  x ∈ R\{kπ}, der k er et heltall, er det det samme som jeg skrev over. x kan være alle reelle tall, unntatt k*π dersom k er et heltall (fordi da får vi cos(x)=1 eller -1). ("R" betegner altså alle reelle tall)

 

b) 

Vi har

cos(x) /[ 1 - cos(x) ] = 1 , dette må bety nevner og teller i brøken er like, slik at 

cos(x) = 1 - cos(x) , hvis vi legger til cos(x) på begge sider får vi 

2 cos(x) = 1 , og dermed

cos(x) = 1/2 , og da finner vi x ved å si 

acos(1/2) = x = π/3  , acos skrives ofte arccos eller cos^-1, men de er alle samme funksjon. 

 

So far so good! Men cos(x) er som vi vet periodisk og og gjentar seg selv for hver 2π, slik at hvis cos(π/3) = 1/2, må også cos(π/3+2π) være lik 1/2, samme med cos(π/3+4π), osv...

Derfor skriver vi x=π/3+k*2π hvor k er et heltall, fordi alle verdier av k vil gi cos(x)=1/2. (Dette kan du teste på kalkulator om du vil)

 

Vi har nå sett at når du tar acos, får du kun én verdi ut (her fikk vi π/3), og verdien du får vil være den laveste positive verdien som gir riktig løsning. Det er derfor vi kan legge til k*2π og fortsatt få samme svar (1/2). Men! Du kjenner muligens til (og du kan sjekke dette i enhetssirkelen), at 

cos(x) = cos(-x) 

 

Det må bety at hvis cos(π/3)=1/2, må også cos(-π/3) være lik 1/2. 

Vi kan dermed gjøre det samme som vi gjorde over - cos(x) gjentar seg selv for hver 2π, slik at 

x = -π/3 + k*2π 

også må gi cos(x)=1/2. Dette er det samme som å si 5π/3 + k*2π (-π/3+2π = 5π/3), og da har vi begge løsningene vi var ute etter til deloppgave b, nemlig 

 

 x = π/3 + k⋅2π ∨ x = 5π/3 + k⋅2π, der k er et heltall. 

(∨ betyr "eller") 

 

Håper det var litt oppklarende. Jeg har ikke full oversikt i hodet over hva som er pensum i R2 og hvilke metoder som læres bort (det varierer sikkert fra skole til skole også), så det er fort gjort å bli revet med i sin egen tenkemåte.

Endret 22. november 2015 av Baffage

[Daniel4323]

Ja, dette var veldig oppklarende. Nå skjønte jeg hele fremgangsmåten, og hvordan man kom fram til svaret i fasiten. 
Tusen takk for hjelpen!